新高考数学一轮复习精选讲练专题4.12 正弦定理和余弦定理（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.12 正弦定理和余弦定理（含解析），共19页。

1．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．1B．C．D．2
【解题思路】利用正弦定理运算求解.
【解答过程】由正弦定理，则，
故外接圆的半径为1.
故选：A.
2．（5分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【解答过程】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
3．（5分）（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据正弦定理利用角B表示，利用三角变换及三角函数的性质可求的取值范围.
【解答过程】因为，，故三角形外接圆直径为，
所以，所以，，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范围为，
故选：A.
4．（5分）（2022·安徽亳州·高一期末）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知条件，根据余弦定理求解即可.
【解答过程】在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，．
设，，
则．
故选：B.
5．（5分）（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．9B．C．6D．
【解题思路】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案.
【解答过程】解：因为，
所以，
又因为，
所以，为锐角，
所以，，
因为由余弦定理得，解得或，
因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.
所以，
所以的周长为．
故选：A.
6．（5分）（2022·重庆高三阶段练习）李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多游客来此打卡拍照.如图所示，李明为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB，采用了如下方法：在观景台的D点处测得站台A点处的仰角为60°；沿直线BD后退12米后，在F点处测得站台A点处的仰角为45°.已知李明的眼睛距离地面高度为CD=EF=1.6米，则李子坝站站台的高度AB约为（ ）（精确到小数点后1位）（近似数据：）
A．米B．米C．米D．米
【解题思路】设AG高度为米，利用正弦定理结合条件可得高度，进而求出高度.
【解答过程】设AG高度为米，由题可知，
所以米，
在中，由正弦定理得： ，
所以，
所以，
解得，
所以(米).
故选：A.
7．（5分）（2022·湖北恩施·高二期中）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，，，点在线段上，，过点作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由结合正弦定理得，，由余弦定理可得，结合不等式得，又，所以，求得，，从而得面积的表达式，进而求出最大值．
【解答过程】因为，所以，
所以，则．
由余弦定理可得，即．
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，
所以，
所以，，
则．
故选：C．
8．（5分）（2022·四川·高二开学考试（理））在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.
【解答过程】由三角形面积公式可得：，故，
，故，
因为，所以，
解得：或0，
因为为锐角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因为为锐角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
因为，所以，
则.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·福建漳州·高二期末）在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由余弦定理及同角三角函数的关系可得，根据三角形内角性质即可求角的大小.
【解答过程】由，显然，故，
又，则为或.
故选：AD.
10．（5分）（2022·全国·高三专题练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
【解题思路】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案.
【解答过程】画出示意图如图所示，由题意得，，，
所以，解得，
所以或．
当船在B处时，，所以；
当船在处时，，所以．
综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．
故选：AB.
11．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）在中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则满足条件的有且仅有一个
C．若，则是直角三角形
D．若，，则外接圆面积的最小值为
【解题思路】对于A，利用三角形大边对大角及正弦定理的边角变换可证得命题正确；
对于B，结合图像，利用直角三角形中正弦的定义可求得，比较与边会发现存在两个满足条件的；
对于C，利用余弦定理的推论化简，即可证得命题正确；
对于D，先由余弦定理及基本不等式求得的取值范围，再由正弦定理求得外接圆半径的取值范围，，从而求得外接圆面积的最小值
【解答过程】对于A，因为，所以由三角形大边对大角得，
又由正弦定理知，故，即，故A正确；
对于B，如图，在中，，即，
以为圆心，为半径作圆，会发现该圆与有两个交点，即存在两个满足条件的，故B错误；
对于C，因为，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形，故C正确；
对于D，因为，，
所以 ，即，
故，即，
所以外接圆面积，即外接圆面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．（5分）（2022·全国·高一单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则面积的最大值为
【解题思路】由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D.
【解答过程】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，故A正确；
对于B选项，，则，
所以有两解，故B正确；
对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，，
可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确．
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知中角所对的边分别为，若，则的面积为 ．
【解题思路】先利用余弦定理算出，再利用三角形的面积公式即可求解
【解答过程】由余弦定理可得即，解得，
所以的面积为
故答案为：.
14．（5分）（2022·全国·高三专题练习）某人在C点测得某直塔在南偏西，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进到D，测得塔顶A的仰角为，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为 ．
【解题思路】作出图形，设出塔高，表达出，，在中，使用余弦定理求出，得到答案.
【解答过程】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，在 中，，
则，在 中，，则，
在中，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍去）．
故答案为：10m.
15．（5分）（2022·黑龙江·高一期中）对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．在中，已知，设P为的费马点，且满足，则的外接圆直径长为 ．
【解题思路】根据已知条件，结合三角形的内角和定理可得，可得，进一步由正弦定理可得的值，由余弦定理求出，最后，在中，由正弦定理求出外接圆的直径．
【解答过程】，
，
在中，，故，
在中，由正弦定理得，则，
，
，
在中，由余弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
故的外接圆直径长为．
故答案为：．
16．（5分）（2022·新疆高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，下列结论中正确的选项有 ①②③④ .
①若A，则；
②若，则△ABC可能为等腰三角形或直角三角形；
③若，则△ABC定为直角三角形；
④若且该三角形有两解，则b的取值范围是（）；
【解题思路】①利用大边对顶大角，结合正弦定理可知；②利用正弦函数的图象与性质可得、的关系；③边齐次，利用正弦定理将边化角，通过三角恒等变换求出为直角；④若三角形有两解，则，可得出答案．
【解答过程】①三角形大角对大边，所以，由正弦定理有，
所以，故①正确；
②，且，，
则或，即或，
所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，故②正确；
③，由正弦定理有：，
又，
即，
即，因为，所以，所以，
即，故③正确；
④三角形有两解，则，即，故④正确；
故答案为：①②③④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数．
【解题思路】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作答.
【解答过程】(1)当a=10时，因c=，A=45°，有a>c，则角C比角A小，角C是锐角，所以角C有一解；
(2)当a=5时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则，所以角C有一解；
(3)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则或，所以角C有两解；
(4)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，无解，所以角C无解.
18．（12分）（2022·广东·高三阶段练习）在中，其内角分别为，且满足.
(1)求角的大小：
(2)已知外接圆的半径为 为边上的一点，，求的周长.
【解题思路】（1）利用已知条件转换角，利用正弦的两角和与差的公式展开，根据条件即可求出的大小
（2）由（1）外接圆的半径求出，利用正弦定理、余弦定理求出，最后就可以得到
【解答过程】（1）因为，所以，
所以，所以，
因为，且，所以，所以；
（2）设内角所对的边分别是，
由（1）和题设知，，外接圆的半径为，
由正弦定理得，
由余弦定理得：得，，
即 ①，
因为，，所以，
因为，
所以，
所以 ②.
联立①②消去，得，
解得，
所以的周长为.
19．（12分）（2022·重庆·高一期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点A在边BC上的垂足为点D.
(1)判断的形状；
(2)如图，若，且，求的值.
【解题思路】（1）利用正弦定理作边化角，结合即可判断的形状；
（2）由，则是等腰直角三角形，根据，可得的长，在中，结合余弦定理求解即可.
【解答过程】(1)
由题，因为，所以，
因为，所以，
即，则，
所以在中，，
所以是等腰三角形.
(2)
由（1），因为，则，，
因为，所以，，
因为，所以，
所以，
在中，.
20．（12分）（2022·海南高三阶段练习）如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足.
(1)求；
(2)若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积.
【解题思路】（1）根据正弦定理化简，结合角的范围即可求解；
（2）在中利用余弦定理求出，已知可得，再用余弦定理求出，可求得和面积，即可求解
【解答过程】（1）由结合正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，则；
（2）在中，，，，
则由余弦定理得，解得，
因为，，，均在圆上，且，
所以，在中，，，
所以由余弦定理可得，
解得或（舍），
所以四边形的面积.
21．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.
(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值.
【解题思路】（1）在中，利用余弦定理即可求解；
（2）设，则，在中，由正弦定理可得，，则由整理可得，结合的范围，即可求解.
【解答过程】（1）
在中，由余弦定理得，
，
所以，
所以线段的长度为3千米.
（2）
设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
，
因为，所以.
所以当，即时，所围成的面积的最大值为.
所以两条观光线路与所围成的面积的最大值为平方千米．
22．（12分）（2022·北京市高三阶段练习（理））在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求:
(1)的值；
(2)的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
【解题思路】（1）由正弦定理和余弦定理可知条件①不合题意，由条件②和③均可求得.
（2）由三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）若选条件①，则，，，
由正弦定理得：，得，
因为，所以，而，
所以在上有两根，不唯一.
若选条件②，，，，
由余弦定理得：，
代入数据解得：或（舍）.
若选条件③：，，，
所以，由正弦定理得：，
代入数据得：，
所以
，
由余弦定理得：，
代入数据得：，解得或（舍）
综上：.
（2）因为，，，
所以.