新高考数学二轮复习导数培优专题11 利用导数证明不等式（含解析）

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专题11 利用导数证明不等式
考点一　单变量不等式的证明
1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．　　
2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．　　
3.导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．　　
考点二　双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　
考点三　证明与数列有关的不等式
(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．　　

专项突破一　单变量不等式的证明
1．已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【解析】(1)，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x




+
0
-

增函数
极大值
减函数
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
(2)显然，要证：，即证：，即证：，
即证：．令，故只须证：．
设，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．故，即．
2．已知函数.
(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；
(2)证明：.
【解析】(1)当时，，由，得.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
因为，且在上有2个零点.
所以a的取值范围为.
(2)要证，只需证.
当时，，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
故，因为，所以等号取不到，所以，
即，所以.
3．已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【解析】(1)，，，
故曲线在点处的切线方程为.即．
(2)设，
则．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．
4．已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若且，求证：.
【解析】（1）函数的定义域为，，又在定义域内为增函数，   
则恒成立，即恒成立，即，                       
又当时，，当且仅当时等号成立，∴，
即实数的取值范围是；                                                                   
（2）∵，则，要证，
即证：，                                                                 
设，其中，则，当时，
故在为增函数，∴，                                     
设，其中，
则当时，，又，∴，
则，∴恒成立，即原不等式成立.
5．已知函数.
(1)当时，，求实数的取值范围；
(2)证明：.
【解析】(1)当时，等价于.
令函数，则.
若，则单调递减，，不符合题意.
若，则，.因为函数在上单调递增，所以
.当时，单调递减，，不符合题意.
若，则单调递增，，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是
(2)证明：由（1）知:当时,.
要证，只需证，即证 .
令函数，则
当时，单调递减；当时，，单调递增.
故，即.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
故，因为，所以，即，从而
6．已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】(1)的定义域为，，由题意在上有两解，
即，即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，，递增；
当时，，递减，，，
时，；时，，
，，a的取值范围是.
(2)当时，，即证，即证，
令，，令，则，
当时，，在递增.，，
存在唯一的，使得，
当时，，递减；当时，，递增，
.又，，，
，
，.
7．已知函数的最小值为．
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，．
【解析】(1)函数定义域为，．
① 若，则，在上单调递增，没有最小值；
② 若，则由，得；由，得．
因此，在上单调递减，在上单调递增，
故,解得.
(2)证明：由（1）知．
令，则
．
当时，，，
所以（当且仅当时“＝”号成立），所以在上单调递减．
因此，当时，有，即．
8．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】(1)依题意知，，令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
9．已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，证明：（其中为自然对数的底数）．
【解析】(1)当时，，
所以，，
故在点处的切线方程是；
(2)当时，要证明，只需证明，
令，，则，令
，故在上单调递增，又，，
故存在，使得，即，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故时，取得唯一的极小值，也是最小值，
即．所以，即．
10．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
【解析】(1)函数，定义域为，
（i）当时，单调递增；
（ii）当时，时，单调递减；
时，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由（1）知，当时，，且，所以，
因为，所以不等式等价于，
令，则在时恒成立，
所以当时，，又，所以，
故，即.
11．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性，并求函数的极值；
(2)证明：对任意，都有．
【解析】(1)因为，所以，
由得或，由得，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
因此，．
(2)要证对任意，都有，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立.构造函数，.
因为在上恒成立，所以在上是增函数，故，
即，当且仅当时等号成立，因为，所以，
所以只需证对任意恒成立，
即证对任意恒成立．
令，，
则，
因此在上是增函数，所以当时，．
所以当时，恒成立．
故对任意，都有．
12．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
【解析】(1)由题意知：定义域为，；
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)当时，，
令，则；
当时，，，，；
当时，令，则，
，，，，即，
，即在上单调递增，，
在上单调递增，；
综上所述：，即.
13．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【解析】(1)因为，所以，即切点坐标为，
又，∴切线斜率，∴切线方程为：
(2)因为，       所以，
令，则，
∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
(3)原不等式等价于，令，，
即证，∵，
，
由（2）知在上单调递增，∴，∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
14．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
【解析】(1)由题可知，，．
若，，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或（舍），
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明：若，要证，即证，即证．
令函数，则．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令函数，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为，所以，
即，从而得证．


专项突破二　双变量不等式的证明
1．已知函数，（）．
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，为的两个极值点，证明：．
【解析】(1)（1），，若存在两个极值点，
则在上有两个根，所以有两个根，
即与，有两个交点，，
所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，
所以时，，所以，所以的取值范围为．
(2)由（1）知，且，，
所以
，所以只需证明，
令，故，原不等式等价于对成立，令，
，所以单调递减，则有（1）．
2．已知函数.
(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)记的两个极值点为，，求证：.
【解析】(1)的定义域为，，又单调，
∴对恒成立，即()恒成立，
而，当且仅当时取等号，∴.
(2)由（1）知：，是的两个根，则，，且，
∴，故，
，而，
∴，得证.
3．设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
【解析】(1)时，，，
令得；令得或
故的单增区间为，单减区间为，
(2)结论：，证明如下：

设，由 均为正数且得
设，则
① 当时，由得即，故单调递减，从而，
而，此时成立，
② 当时，在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证
综上：不等式得证．

4．记函数，其导函数为.
(1)讨论的极值点个数；
(2)当时，令，若是关于的方程的两个相异的实数根，证明：.
【解析】(1)定义域，
要讨论的极值点个数，即讨论方程有几个根，
令，则，令，解得
所以，函数单调递增；，函数单调递减；
所以函数有最大值，函数在上的大致图象为：

所以当时，函数有两个极值点；当时，函数无极值点.
(2)证明：当时，，所以
由（1）知方程的两个相异的实数根时，，
令，则，
令，则
所以，函数单调递增；，函数单调递减
所以，即
因为，所以
因为，函数在上单调递减，所以，即，
因为，所以，所以.
5．已知函数，且．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个极值点，且，求证：．
【解析】(1)对函数进行求导，
，，切点为 ，故切线为.
(2)

由题意知，有三个实数跟，则，
方程有两个根，即有两个交点，令，
当时，，故在上单调递增；        
当时，，故在上单调递减；
作出，的图象如图

由图可知，，与的图象有两个交点，
横坐标分别为，且，要证，即证，
即证，，则，
则 ，即，由对数平均数表达式可得
， ，故，即可证得.

6．已知函数
(1)当时，若对任意的都有求m的最大值
(2)若函数有且只有两个不同的零点求证
【解析】(1)时，，则，
令，解得：，令，解得：，
∴在递减，在,递增，对任意都有，即恒成立，由，有，故，因为在,单调递增，故，可得，即，
当时，的最小值是，故的最大值是；
(2)证明：要证，只需证明即可，
由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又，
∴，消去，整理得：，
不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明，
设，则，
∴在单调递增，从而，故，即得证．
7．已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【解析】(1)由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
(2)证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
8．已知函数.
(1)若，曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)若，是的两个极值点，且，证明：.
【解析】(1)若，则，
所以，所以，
又曲线在点处的切线方程为，
所以，解得，
所以，即，解得；
(2)，
若，是的两个极值点，且，
所以，是方程的两根，且，所以，
若要证不等式成立，即证成立，
即证成立，即证成立，即证成立，
令，则即证成立，令，
所以,
所以在区间上单调递减，所以，
所以当时，不等式成立，
即若，是的两个极值点，且，则不等式成立.
9．已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)证明：；
(3)设a，b为正数，且，证明：．
【解析】(1)因为，所以，令，则，
当时，，即的单调递减区间为，
当时，，即的单调递增区间为．
(2)因为定义域为，所以，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时函数取得极大值及最大值，所以．
(3)由（2）可知，所以，所以若，即，则．
因为，即，故只需证明，
即证．设，则，
设，则当时，，在单调递增，
所以当时，，在单调递增，
所以当时，，即，
综上，若，则．
10．已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，若满足，求证：．
【解析】(1)函数的定义域为，.
i.当时，若，有，所以单调递增；若，有，所以单调递减.
ii.当时，若，有，所以的增区间为；若，有，所以单调递减.
iii.当时，有恒成立，所以在单调递增.
iv.当时，若，有，所以的增区间为；若，有，所以单调递减.
综上所述：当时， 的增区间为；的减区间为；
当时，的增区间为；的减区间为；
当时， 的增区间为；
当时，的增区间为；的减区间为.
(2)不妨设，由（1）可知，当且时，有，.
要证，只需证明.因为，所以.
因为在上单增，只需.因为，只需.
因为

所以只需.
因为，所以，所以只需
记（其中，）.
则，所以在上单调递减，
所以当时，.
记，则，所以在上单调递增.
所以当时，即.
所以成立，即成立.即证.
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设方程的两个根分别为,，证明：.
【解析】(1)，
则，又，
所以所求切线方程为，即.
(2)证明：由（1）可知，
令，得，令，得或，
所以在和上为增函数，在上为减函数.
当时，，当时，.
设，因为，所以.
设函数，
则.
设函数，则，
因为，所以，故在上为增函数.
从而，所以，所以在上为增函数，
所以，即.
因为，所以，所以.
因为，，且在上为增函数，所以，即.
12．已知实数，设函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数单调递增，求a的最大值；
(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．
注：是自然对数的底数．
【解析】(1)当时，，故在上单调递增．
(2)若函数单调递增，
则对任意的恒成立．
令，
在上，单增，在上，单减，
所以，即.
所以在恒成立，
则在恒成立，
令，则，
所以时，即递减，时，即递增，
故，即.综上，a的最大值是1．
(3)由于时，单调递增，故当有两个不同极值点时，．
此时，
于是在上单调递减，在上单调递增．
当趋向于0时，趋向于正无穷，，
趋向于正无穷时，趋向于正无穷，则存在两个零点，
不妨设，也即的两个不同极值点，故
先估计，令，，
则，所以在上单调递增，
所以当时，，则，
当时，，所以，
所以
则
于是，
由知，，故．只需再证明：．
由，
趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
故存在．
又是的最大零点，则，得证！
13．已知函数．
(1)若直线与的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：．
【解析】(1)由题意，切点坐标为，
所以切线斜率为，所以，
切线为，整理得，所以．
(2)由（1）知．
由函数在上存在两个极值点，且，知，
则且，
联立得，即，
设，则，
要证，，只需证，只需证，
只需证．构造函数，则．
故，在上递增，，即，
所以．
14．已知函数
(1)求函数在点处的切线的方程；
(2)若有两个极值点m，n，证明：．
【解析】(1)设切线斜率为,因为,故,
又因为切点为,故切线方程为:.
(2)，
所以.令,       
因为有两个极值点且为正数，所以有两个不等正根，
只需，解得：.
为的两根，，
；

令，则，在上单调递减，
，即.
专项突破三　证明与数列有关的不等式
1．已知关于的函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
【解析】（1）由得
知当时在上单调递减
当时，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减.
（2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增，
，即有，
，，，
，
以上各式相加得，

2．设函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：当且时，.
【解析】(1)显然，，且，故
故切线方程为，即
(2)令，

当时，，单调递增，故，
即当时，，令，得，
即，由此可得，，
，……，，
将以上个式子相加，得，且
3．已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；
②证明：当时，．
【解析】(1)，又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述：；极大值为，极小值为.
(2)①，令，则；
（i）.当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ii）.当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
②由①知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；
，
，
即当时，.
4．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；
(2)证明：．
【解析】(1)因为f(x)＝lnx﹣ax+1，x∈R，所以＝﹣a＝，
当a＝0时，＞0，所以f(x)在[]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝ln2+1，当a＜0时，，
所以f(x)在[]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，
当0＜a≤时，≥2，在[]上成立，
所以f(x)在[]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，当＜a≤2时，，
当时，，f(x)单调递增；时，，f(x)单调递减；
所以f(x)max＝f（）＝﹣lna；
当a＞2时，，在[]上成立，所以f(x)在[]上单调递减，
所以f(x)max＝f（）＝﹣ln2﹣a+1；综上所述：f(x)max＝；
(2)先证明一个不等式：，
设，在，
故在上为减函数，故即成立.
要证明，
即证明，
而，
故对，
5．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，求证：．
【解析】(1)的定义域为，，
令，解得
当，，递增；
当，，递减，
当时,因为,则在上单调递增, 所以恒成立,
当时,因为,则在区间单调递增,在区间单调递减.
又,与恒成立相矛盾.
综上, 实数的取值范围为.
(2)由（1）知当时，
即
令，则
所以

6．已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．
(2)证明：对任意的，．
【解析】(1)要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根．
令，，则．
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，．
恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，
即函数的图象与直线只有一个公共点．
(2)由（1）知：恒成立，
即恒成立（在时等号成立）．
，，即，
，，，…，
，，
，即．
7．已知函数.
(1)若，求实数m的值；
(2)当且时，证明：.
【解析】(1)当时，由，不符合题意.
∴，，
令，得；令，得.
则函数在上单调递减，在上单调递增，
∴在取得最大值，∵，
∴，.
(2)由（1）知当时，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得最大值，且.∴，
当时，令，，即，，
所以，，…，，，
相乘得，
∴.
8．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围；
(3)证明：，.
【解析】(1)由可得，
所以在点处的切线斜率为，
因为，所以切点为，
所以在点处的切线方程为即.
(2)，定义域为，
，
若在区间上不存在极值点，
则或恒成立，
令，则或对于恒成立，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，若恒成立，则，所以符合题意；
因为对于不可能恒成立，
所以时，恒成立，此时在区间上不存在极值点，
所以的取值范围为.
(3)设，定义域为，
则
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以即，
令，则，
所以，
所以，
即.