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初中数学1.1 反比例函数教案设计
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这是一份初中数学1.1 反比例函数教案设计，共31页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。
1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.
2.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.
3.培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.
一、情境导入，初步认识
1.复习小学已学过的反比例关系，例如：
(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)
(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)
2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？
【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的概念
（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.
（2）利用（1）的关系式完成下表：
（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
（4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？
【教学说明】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数.
【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．
探究2：反比例函数的自变量的取值范围
思考：在上面的问题中，对于反比例函数，其中自变量t可以取哪些值呢？
分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.
【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．
三、运用新知，深化理解
1.见教材P3例题.
2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是a cm，这边上的高是h cm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合 (k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解：(1)，是反比例函数；
(2)F＝pS，是正比例函数；
(3)，是反比例函数；
(4)，是反比例函数．
3.当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
解：由反比例函数的定义可知：2m-2＝1，．
所以反比例函数的解析式为．
4.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时，ρ=1.98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度.
解：略
5.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析：y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则，又由y＝y1＋y2，可知，，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
解：因为y1与x成正比例，所以y1＝k1x；
因为y2与x2成反比例，所以，
而y＝y1＋y2，所以，
当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．
所以.
解得
所以．
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.
学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
1.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数 （k>0）的图象与性质
1.会用描点法画反比例函数图象；
2.了解并学会应用反比例函数（k>0）图象的基本性质.
3.观察、比较、合作、交流、探索.
4.通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数（k>0）的图象的性质.
【教学重点】
画反比例函数的图象，理解反比例函数（k>0）的性质.
【教学难点】
理解反比例函数（k>0）的性质，并能灵活应用.
一、情境导入，初步认识
你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？
反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数图象的画法
画出反比例函数的图象．
分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
(1)列表：取自变量x的哪些值?
x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等．
(3)连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
思考：（1）观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？
（2）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
探究2：反比例函数（k>0）所在的象限
画出函数的图形，并思考下列问题：
（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？
【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
探究3：下图是反比例函的图象，根据图象，回答下列问题：
（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；
（2）如果点A(-3,y1)，B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.
分析：（1）由图象可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.
（2）因为点A(-3,y1)，B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.
【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.
三、运用新知，深化理解
1.如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝_________．
【答案】 -2
2.反比例函数的图象大致是图中的( )．
解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.
【答案】 C
3.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )
【答案】 C
4.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 (k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．
A. y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
【答案】 A
5.作出反比例函数的图象，并根据图象解答下列问题：
(1)当x＝4时，求y的值；
(2)当y＝-2时，求x的值；
(3)当y＞2时，求x的范围．
解：列表：
由图知：(1)y＝3；(2)x＝-6；(3)0＜x＜6
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第1、3、4题.
通过本节课的学习使学生理解了反比例函数（k>0）的图象和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.
第2课时 反比例函数 （k<0）的图象与性质
1.了解并学会应用反比例函数（k<0）图象的基本性质；
2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.
3.经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
4.提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
【教学重点】
理解反比例函数（k<0）的性质.
【教学难点】
反比例函数（k<0）图象和性质的运用.
一、情境导入，初步认识
我们学会了反比例函数（k>0）的图象与性质，那么反比例函数（k<0）的图象与性质又有什么不同呢？
【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的图象．
可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．
【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
探究2：反比例函数的性质
反比例函数与的图象有什么共同特征?
【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．
【归纳结论】反比例函数 (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.
反比例函数与 (k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.
【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.
三、运用新知，深化理解
1.如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是________．
【答案】 1，2
2.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象在第_______象限．
【答案】 二、四
3.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线上，则y1、y2中较小的是_______．
【答案】 y2
4.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )
A.b1＜b2 B.b1=b2
C.b1＞b2 D.大小不确定
【答案】 D
5.函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )
A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定
【答案】 A
6.已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
解： (1)由反比例函数的定义可知：解得，m＝-2．
(2)因为k=-4＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在每个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝时，y最大值＝;
当x＝-3时，y最小值＝．
所以当-3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．
7.作出反比例函数的图象，结合图象回答：
(1)当x＝2时，y的值；
(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；
(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．
解：列表：
由图知：(1)y＝-2；(2)-4＜y≤-1；(3)-4≤x＜-1．
【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第2、7题.
教学的过程中，引导新的问题引发学生自主解答，在解决问题的过程中，加深对知识的理解和巩固.自主探究和合作交流相互结合，循序渐进，逐步积累解决问题的基本技巧，使学生能够适应考试命题方向.
第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
1.会求反比例函数的表达式；
2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
4.经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
5.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
1.会用待定系数法求反比例函数的表达式；
2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.
一、情境导入，初步认识
1.正比例函数有哪些性质？
2.一次函数有哪些性质？
3.反比例函数有哪些性质？
4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究，获取新知
1.思考：已知反比例函数的图象经过点P（2,4）
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
分析： (1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k1x，，其中，k1，k2是常数，且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.
因此，
解得，
所以，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为.
函数图象如下图.
【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.
3.在反比例函数的图象上取两点P（1，6），Q（6，1），过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=_______；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2=_______；S1与S2有什么关系？为什么？
【归纳结论】反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．
三、运用新知，深化理解
1.已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝．
解：根据题意可知：S△AOB＝＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6．
【答案】 C
2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A. B.2 C.3 D.1
分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=1，
∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2．
【答案】 B
3.已知点P(2，2)在反比例函数 (k≠0)的图象上，
(1)当x=-3时，求y的值；
(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．
解： （1）∵点P（2，2）在反比例函数的图象上，
∴2=，即k=4，
∴反比例函数的解析式为．
∴当x=-3时，y=．
（2）∵当x=1时，y=4；当x=3时，y=，
又反比例函数在x＞0时y值随x值的增大而减小，
∴当1＜x＜3时，y的取值范围为＜y＜4．
4.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(-2，m)和C，求k、b的值．
解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝-3．
一次函数的解析式为：y＝x-3．
又因为点B(-2，m)也在直线y＝x-3上，所以m＝-2-3＝-5，即B(-2,-5)．
而点B(-2,-5)又在反比例函数上，所以k＝-2×(-5)＝10．
5.已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x-1的图象交于A(2,1)．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析: (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．
解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．
1＝2k2-1，k2＝1．
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x-1．
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1)．
把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．
把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2-1＝-3，所以点A′不在一次函数图象上．
6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．
分析: (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．
解∶(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(-2,1)，m＝-2×1＝-2．
所以反比例函数的解析式为：．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=．即B(1,-2)．
因为一次函数图象过点A、B．所以解得，
一次函数解析式为：y＝-x-1．
(2)观察图象可知，当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第6题.
教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.
1.3 反比例函数的应用
1.经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.
2.观察、比较、合作、交流、探索.
3.体验数形结合的思想.
【教学重点】
建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.
【教学难点】
经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.
一、情境导入，初步认识
复习回顾
1.什么是反比例函数？
2.反比例函数的图象是什么？
3.反比例函数图象有哪些性质?
4.反比例函数的图象对称性如何？
【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.
二、思考探究，获取新知
1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？
（1）根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？
（2）如人对地面的压力F=450N，完成下表：
（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.
解：（1）对于，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.
（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由得：=90000（Pa)
类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；
当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa
（3）当F=450N时，该反比例函数的表达式为,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.
2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0)，即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？
【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.
三、运用新知，深化理解
1.教材P15例题.
2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出x m3的水，经过y h可以把水放完，那么y与x的函数关系式是_____________，自变量x的取值范围是_____________．
【答案】 ；x＞0
3.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是_____________ (不考虑x的取值范围)．
【答案】 ．
4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
【答案】 A
5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )
A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系
B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系
C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系
【答案】 D
6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．
【答案】 D
7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
【答案】 A
8.一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．
(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
(2)画出(1)中函数的图象；
(3)当高是3cm时，求长．
解：(1)(x>0)；(2)图象略；(3)长为cm.
【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.3”中第1、2、4题.
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.
章末复习
1.理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.
2.经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程，了解数学与实际问题相结合.
3.初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性.
【教学重点】
能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.
【教学难点】
反比例函数的应用.
一、知识结构
【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.
二、释疑解惑，加深理解
1.反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的性质：
反比例函数 (k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大.双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.
3.画反比例函数图象时要注意以下几点：
a.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点；
b.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
c.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.
4.反比例函数的应用
【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，让课堂所学的知识尽快被学生掌握.
三、典例精析，复习新知
1.下面函数中，哪些是反比例函数？
解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．
【教学说明】判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义， (k≠0)，它也可变形为y=kx-1及xy=k的形式，（4），（5）就是这两种形式.
2.已知反比例函数，y随x增大而减小，求a的值及解析式．
分析∶根据反比例函数的定义及性质来解此题．
解∶因为是反比例函数，且y随x的增大而减小，
所以解得
所以解析式为．
3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=3时，y=5，求x=-1时，y的值．
分析∶先求出y与x之间的关系式，再求x=-1时，y的值．
解∶因为y1与x成正比例，y2与x成反比例，
所以y1=k1x， (k1k2≠0)．
所以y=y1+y2=．
将x=1，y=4；x=3，y=5代入，得解得
所以y=．
所以当x=-1时，y==-4．
【教学说明】不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值.
4.已知函数是反比例函数，且其函数图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，求反比例函数的解析式．
解：因为y是x的反比例函数，
所以4m2-2=-1，所以m=或m=.
因为此函数图象在每一象限内，y随x的增大而减小，
所以m+>0，所以m>，所以m=，
所以反比例函数的解析式为y=.
【教学说明】此题根据反比例函数的定义与性质来解.反比例函数 (k≠0)，当k>0时，y随x增大而减小；当k<0时，y随x增大而增大.
5.一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当x=3厘米时，求y的值.
分析：本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式．
解：（1）因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米，
所以5xy=100，所以．
（2）因为x是长方体的高，所以x>0．即自变量x的取值范围是x>0．
（3）当x=3时，（厘米）
【教学说明】通过例题讲解可以提高学生的观察、分析、综合应用及合情推理能力.
四、复习训练，巩固提高
1.一次函数y=-x+1与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是如图中的（ ）
解：∵y=-x+1的图象经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图象两支在第一、三象限，故排除D．∴答案应选A.
2.如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式.
分析：求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．
解：设P点坐标为(x,y)．
因为P点在第二象限，所以x<0，y>0．
所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x，y．
又-xy=2，所以xy=-2．因为k=xy，所以k=-2．
所以这个反比例函数的解析式为．
【教学说明】过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于中的|k|．
3.当n取什么值时，是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？
分析：根据反比例函数的定义(k≠0)可知，是反比例函数，必须且只需n2+2n≠0且n2+n-1=-1．
解：是反比例函数，则
∴ 即 n=-1．
故当n=-1时，表示反比例函数：．
∵k=-1<0，
∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大.
4.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果放在桌上，对桌面的压强是200 Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？
解：设下底面是S0，则由上底面积是S0，由，且S=S0时，p=200，
有F=pS=200×S0=200S0.
因为是同一物体，所以F=200S0是定值．
所以当S=S0时，.
五、复习训练，巩固提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业：教材“复习题1”中第1、3、4、8、11、14题.
本节课的学习是学生对函数的概念、图象与性质一个再知和整合的过程.可以帮助学生形成解决问题的一些基本策略，提高分析问题，解决问题的能力和发展他们的创新精神.
1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.
2.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.
3.培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.
一、情境导入，初步认识
1.复习小学已学过的反比例关系，例如：
(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)
(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)
2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？
【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的概念
（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.
（2）利用（1）的关系式完成下表：
（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
（4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？
【教学说明】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数.
【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．
探究2：反比例函数的自变量的取值范围
思考：在上面的问题中，对于反比例函数，其中自变量t可以取哪些值呢？
分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.
【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．
三、运用新知，深化理解
1.见教材P3例题.
2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是a cm，这边上的高是h cm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合 (k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解：(1)，是反比例函数；
(2)F＝pS，是正比例函数；
(3)，是反比例函数；
(4)，是反比例函数．
3.当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
解：由反比例函数的定义可知：2m-2＝1，．
所以反比例函数的解析式为．
4.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时，ρ=1.98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度.
解：略
5.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析：y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则，又由y＝y1＋y2，可知，，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
解：因为y1与x成正比例，所以y1＝k1x；
因为y2与x2成反比例，所以，
而y＝y1＋y2，所以，
当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．
所以.
解得
所以．
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.
学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
1.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数 （k>0）的图象与性质
1.会用描点法画反比例函数图象；
2.了解并学会应用反比例函数（k>0）图象的基本性质.
3.观察、比较、合作、交流、探索.
4.通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数（k>0）的图象的性质.
【教学重点】
画反比例函数的图象，理解反比例函数（k>0）的性质.
【教学难点】
理解反比例函数（k>0）的性质，并能灵活应用.
一、情境导入，初步认识
你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？
反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数图象的画法
画出反比例函数的图象．
分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
(1)列表：取自变量x的哪些值?
x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等．
(3)连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
思考：（1）观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？
（2）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
探究2：反比例函数（k>0）所在的象限
画出函数的图形，并思考下列问题：
（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？
【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
探究3：下图是反比例函的图象，根据图象，回答下列问题：
（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；
（2）如果点A(-3,y1)，B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.
分析：（1）由图象可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.
（2）因为点A(-3,y1)，B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.
【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.
三、运用新知，深化理解
1.如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝_________．
【答案】 -2
2.反比例函数的图象大致是图中的( )．
解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.
【答案】 C
3.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )
【答案】 C
4.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 (k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．
A. y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
【答案】 A
5.作出反比例函数的图象，并根据图象解答下列问题：
(1)当x＝4时，求y的值；
(2)当y＝-2时，求x的值；
(3)当y＞2时，求x的范围．
解：列表：
由图知：(1)y＝3；(2)x＝-6；(3)0＜x＜6
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第1、3、4题.
通过本节课的学习使学生理解了反比例函数（k>0）的图象和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.
第2课时 反比例函数 （k<0）的图象与性质
1.了解并学会应用反比例函数（k<0）图象的基本性质；
2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.
3.经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
4.提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
【教学重点】
理解反比例函数（k<0）的性质.
【教学难点】
反比例函数（k<0）图象和性质的运用.
一、情境导入，初步认识
我们学会了反比例函数（k>0）的图象与性质，那么反比例函数（k<0）的图象与性质又有什么不同呢？
【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的图象．
可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．
【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
探究2：反比例函数的性质
反比例函数与的图象有什么共同特征?
【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．
【归纳结论】反比例函数 (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.
反比例函数与 (k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.
【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.
三、运用新知，深化理解
1.如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是________．
【答案】 1，2
2.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象在第_______象限．
【答案】 二、四
3.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线上，则y1、y2中较小的是_______．
【答案】 y2
4.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )
A.b1＜b2 B.b1=b2
C.b1＞b2 D.大小不确定
【答案】 D
5.函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )
A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定
【答案】 A
6.已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
解： (1)由反比例函数的定义可知：解得，m＝-2．
(2)因为k=-4＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在每个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝时，y最大值＝;
当x＝-3时，y最小值＝．
所以当-3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．
7.作出反比例函数的图象，结合图象回答：
(1)当x＝2时，y的值；
(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；
(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．
解：列表：
由图知：(1)y＝-2；(2)-4＜y≤-1；(3)-4≤x＜-1．
【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第2、7题.
教学的过程中，引导新的问题引发学生自主解答，在解决问题的过程中，加深对知识的理解和巩固.自主探究和合作交流相互结合，循序渐进，逐步积累解决问题的基本技巧，使学生能够适应考试命题方向.
第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
1.会求反比例函数的表达式；
2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
4.经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
5.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
1.会用待定系数法求反比例函数的表达式；
2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.
一、情境导入，初步认识
1.正比例函数有哪些性质？
2.一次函数有哪些性质？
3.反比例函数有哪些性质？
4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究，获取新知
1.思考：已知反比例函数的图象经过点P（2,4）
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
分析： (1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k1x，，其中，k1，k2是常数，且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.
因此，
解得，
所以，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为.
函数图象如下图.
【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.
3.在反比例函数的图象上取两点P（1，6），Q（6，1），过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=_______；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2=_______；S1与S2有什么关系？为什么？
【归纳结论】反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．
三、运用新知，深化理解
1.已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝．
解：根据题意可知：S△AOB＝＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6．
【答案】 C
2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A. B.2 C.3 D.1
分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=1，
∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2．
【答案】 B
3.已知点P(2，2)在反比例函数 (k≠0)的图象上，
(1)当x=-3时，求y的值；
(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．
解： （1）∵点P（2，2）在反比例函数的图象上，
∴2=，即k=4，
∴反比例函数的解析式为．
∴当x=-3时，y=．
（2）∵当x=1时，y=4；当x=3时，y=，
又反比例函数在x＞0时y值随x值的增大而减小，
∴当1＜x＜3时，y的取值范围为＜y＜4．
4.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(-2，m)和C，求k、b的值．
解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝-3．
一次函数的解析式为：y＝x-3．
又因为点B(-2，m)也在直线y＝x-3上，所以m＝-2-3＝-5，即B(-2,-5)．
而点B(-2,-5)又在反比例函数上，所以k＝-2×(-5)＝10．
5.已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x-1的图象交于A(2,1)．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析: (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．
解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．
1＝2k2-1，k2＝1．
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x-1．
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1)．
把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．
把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2-1＝-3，所以点A′不在一次函数图象上．
6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．
分析: (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．
解∶(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(-2,1)，m＝-2×1＝-2．
所以反比例函数的解析式为：．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=．即B(1,-2)．
因为一次函数图象过点A、B．所以解得，
一次函数解析式为：y＝-x-1．
(2)观察图象可知，当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.2”中第6题.
教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.
1.3 反比例函数的应用
1.经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.
2.观察、比较、合作、交流、探索.
3.体验数形结合的思想.
【教学重点】
建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.
【教学难点】
经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.
一、情境导入，初步认识
复习回顾
1.什么是反比例函数？
2.反比例函数的图象是什么？
3.反比例函数图象有哪些性质?
4.反比例函数的图象对称性如何？
【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.
二、思考探究，获取新知
1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？
（1）根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？
（2）如人对地面的压力F=450N，完成下表：
（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.
解：（1）对于，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.
（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由得：=90000（Pa)
类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；
当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa
（3）当F=450N时，该反比例函数的表达式为,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.
2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0)，即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？
【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.
三、运用新知，深化理解
1.教材P15例题.
2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出x m3的水，经过y h可以把水放完，那么y与x的函数关系式是_____________，自变量x的取值范围是_____________．
【答案】 ；x＞0
3.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是_____________ (不考虑x的取值范围)．
【答案】 ．
4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
【答案】 A
5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )
A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系
B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系
C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系
【答案】 D
6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．
【答案】 D
7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
【答案】 A
8.一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．
(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
(2)画出(1)中函数的图象；
(3)当高是3cm时，求长．
解：(1)(x>0)；(2)图象略；(3)长为cm.
【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业：教材“习题1.3”中第1、2、4题.
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.
章末复习
1.理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.
2.经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程，了解数学与实际问题相结合.
3.初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性.
【教学重点】
能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.
【教学难点】
反比例函数的应用.
一、知识结构
【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.
二、释疑解惑，加深理解
1.反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的性质：
反比例函数 (k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大.双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.
3.画反比例函数图象时要注意以下几点：
a.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点；
b.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
c.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.
4.反比例函数的应用
【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，让课堂所学的知识尽快被学生掌握.
三、典例精析，复习新知
1.下面函数中，哪些是反比例函数？
解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．
【教学说明】判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义， (k≠0)，它也可变形为y=kx-1及xy=k的形式，（4），（5）就是这两种形式.
2.已知反比例函数，y随x增大而减小，求a的值及解析式．
分析∶根据反比例函数的定义及性质来解此题．
解∶因为是反比例函数，且y随x的增大而减小，
所以解得
所以解析式为．
3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=3时，y=5，求x=-1时，y的值．
分析∶先求出y与x之间的关系式，再求x=-1时，y的值．
解∶因为y1与x成正比例，y2与x成反比例，
所以y1=k1x， (k1k2≠0)．
所以y=y1+y2=．
将x=1，y=4；x=3，y=5代入，得解得
所以y=．
所以当x=-1时，y==-4．
【教学说明】不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值.
4.已知函数是反比例函数，且其函数图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，求反比例函数的解析式．
解：因为y是x的反比例函数，
所以4m2-2=-1，所以m=或m=.
因为此函数图象在每一象限内，y随x的增大而减小，
所以m+>0，所以m>，所以m=，
所以反比例函数的解析式为y=.
【教学说明】此题根据反比例函数的定义与性质来解.反比例函数 (k≠0)，当k>0时，y随x增大而减小；当k<0时，y随x增大而增大.
5.一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当x=3厘米时，求y的值.
分析：本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式．
解：（1）因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米，
所以5xy=100，所以．
（2）因为x是长方体的高，所以x>0．即自变量x的取值范围是x>0．
（3）当x=3时，（厘米）
【教学说明】通过例题讲解可以提高学生的观察、分析、综合应用及合情推理能力.
四、复习训练，巩固提高
1.一次函数y=-x+1与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是如图中的（ ）
解：∵y=-x+1的图象经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图象两支在第一、三象限，故排除D．∴答案应选A.
2.如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式.
分析：求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．
解：设P点坐标为(x,y)．
因为P点在第二象限，所以x<0，y>0．
所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x，y．
又-xy=2，所以xy=-2．因为k=xy，所以k=-2．
所以这个反比例函数的解析式为．
【教学说明】过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于中的|k|．
3.当n取什么值时，是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？
分析：根据反比例函数的定义(k≠0)可知，是反比例函数，必须且只需n2+2n≠0且n2+n-1=-1．
解：是反比例函数，则
∴ 即 n=-1．
故当n=-1时，表示反比例函数：．
∵k=-1<0，
∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大.
4.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果放在桌上，对桌面的压强是200 Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？
解：设下底面是S0，则由上底面积是S0，由，且S=S0时，p=200，
有F=pS=200×S0=200S0.
因为是同一物体，所以F=200S0是定值．
所以当S=S0时，.
五、复习训练，巩固提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业：教材“复习题1”中第1、3、4、8、11、14题.
本节课的学习是学生对函数的概念、图象与性质一个再知和整合的过程.可以帮助学生形成解决问题的一些基本策略，提高分析问题，解决问题的能力和发展他们的创新精神.
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