湘教版九年级数学上册第四章《锐角三角函数》教案

这是一份湘教版九年级数学上册第四章《锐角三角函数》教案，共40页。

第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值

1.使学生理解锐角正弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的正弦值.
3.使学生经历探索正弦定义的过程.逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力.
4.通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
根据定义求锐角的正弦值.
【教学难点】
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程.

一、情境导入，初步认识
1.下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？

2.学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”.
【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考.
二、思考探究，获取新知
1.画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：

（1）与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等.
（2）根据计算的结果，你能得到什么结论？
（3）这个结论是正确的吗？
（4）若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
2.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°，则成立吗？请说出你的证明过程.

通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα.
3.计算sin30°、sin45°、sin60°的值.
【教学说明】引导学生利用“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”和“勾股定理”进行计算.
【归纳结论】sin30°=；sin45°=；sin60°=.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P110例1.
2.在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
3.若sinA=0.1234 sinB=0.2135，则A_____B（填＜、＞、＝）
解析：根据sin30°=，sin45°=，sin60°=，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大.
【答案】 <
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
(1)求∠A的正弦sinA.
(2)求∠B的正弦sinB.
分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算.
解：(1) ∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ， 于是sinA=.
(2)∠B的对边是AC， 因此sinB==.
5.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（ ）
A.不变化 B.扩大3倍
C.缩小 D.缩小3倍
分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变.
【答案】 A
6.已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长.
分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角.
解：作CD⊥AB于D点.
∵∠B=45°，∠ACB=75°，∴∠A=60°
∵AC=2，sinA=，∴CD=2sin60°=.
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°，
∴sinB==，∴BC=.
【教学说明】收集学生在课堂上学习的时候出现的易错点和难点，引导学生查找、 分析原因，并且有针对性补充练习，促进提高，由基础慢慢进入到提高，照顾每个层次的学生的能力，提高学生学习数学的积极性和主动性.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.1”中第2题.

本节课重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究：（1）讨论角的任意性（从特殊到一般），（2）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值.
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求正弦值或锐角

1.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值，及由已知的三角函数值求锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，学会应用方法.
2.能用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.培养学生良好的操作能力，以及实际应用思维，体会三角函数在生产、生活中的应用价值.
【教学重点】
用计算器求任意角的三角函数值.
【教学难点】
用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序.

一、情境导入，初步认识
同学们，前面我们学习了特殊角30°、45°、60°的三角函数值，但一些非特殊角（如17°、56°、89°等）的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
二、思考探究，获取新知
1.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？
2.利用计算器计算sin50°的值.
在计算器上依次按键 ，则屏幕上显示的就是sin50°的值.
3.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键 ，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P113例2.
2.计算sin36°=_________. (保留四个有效数字)．
【答案】 0.5878
3.求sin63°52′41″的值.（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

再按下列顺序依次按键：

显示结果为0.897 859 012.
所以sin63°52′41″≈0.8979.
4.如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求∠CBA的度数.
【答案】32°44′7″
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.1”中第3、4题.

本课时让学生经历用计算器进行三角函数值计算的过程，体会三角函数的意义，培养学生应用现代化学习工具的能力，激发学生的学习兴趣.
第3课时 余弦

1.使学生理解锐角余弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的余弦值.
3.会用计算器求一般锐角的余弦值.
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
5.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
求直三角形中锐角的余弦值.
【教学难点】
求直三角形中锐角的余弦值.

一、情境导入，初步认识
1.什么叫作正弦？
2.sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？
【教学说明】对上节课的内容进行复习.
二、思考探究，获取新知
1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=.
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°-α)，从而有：
sinα=cos(90°-α).
2.计算cos30°，cos45°，cos60°的值.
【归纳结论】cos30°=；cos45°=；cos60°=.
3.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算.
例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键 ，则屏幕上显示的就是cos50°的值.
4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键 ，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下了基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P115例4.
2.下列说法正确的个数有（ ）
(1)对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
(2)对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
(3)如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2
(4)对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 C
3.在△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，求∠A的度数及cosB的值．
分析:利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用．
解：∵∠C=90°，2AC=AB，∴
∵cosA=，∴cosA=，
∴∠A=45°，∴cosB=cos45°=.
4.计算：




5.用计算器求值(保留四位小数)：
(1)sin38°19′；(2)cos78°43′16″．
解：（1）按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.620007287，则结果为0.6200.
（2）按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.195584815，则结果为0.1956.
6.若sin40°=cosα，求α的度数．
解：∵sin40°=cosα，
∴α=90°-40°=50°.
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，求的值.
解：∵sin2B+cos2B=1，∠B为Rt△ABC的内角，
∴cosB==，
即cosB==．
8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.

解：如图，在OA上取一点E，过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
∴cos∠AOB==．
【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出解答过程.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.1”中第6、7、8题.

教学中，我一直比较关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念.若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中.
4.2 正切

1.使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两直角边的比，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.
3.培养学生独立思考、勇于创新的精神.
【教学重点】
了解正切的概念，熟记特殊角的正切值.
【教学难点】
正切的应用.

一、情境导入，初步认识
1.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
sinA=_______；cosA=_______.

2.当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？
【教学说明】巩固复习，同时引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即： tanα=.
2.求tan30°、tan45°、tan60°的值.
【归纳结论】tan30°=、tan45°=1、tan60°=.
3. 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值分别是多少？
【归纳结论】

【教学说明】通过表格的形式进行归纳，可使学生熟记三角函数值.
4.如何用计算器求一般锐角的正切值？
例如：求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，则屏幕上显示的0.4663…就是25°角的正切值.
5.如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知tanα=0.8391，求α的度数.我们可以依次按键 ，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础.
6.什么是锐角三角函数？
【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.
三、运用新知，深化理解
1.求tan70°45′的值.（精确到0.0001）
解:在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键：

显示结果为2.863560231.
所以tan70°45′≈2.8636.
2.（1）求下列三角函数值：sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，tan18°31′.
（2）计算下列各式：
sin25°+cos65°; sin36°·cos72°; tan56°·tan34°
解：略
3.计算：


4.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，求BC的长．
分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长.
解：∵cosA=，
∴AC=AB·cosA=8×=6，
∴BC===．
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是___________.（只需填上正确结论的序号）
分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论.
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==，故①错误；
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴cosB=cos60°=，故②正确；
∵∠A=30°，
∴tanA=tan30°=，故③正确；
∵∠B=60°，
∴tanB=tan60°=，故④正确．
【答案】 ②③④
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，AC=6，求BC，AB的长.（精确到0.001）
解：因为=tanA=tan35°，
由计算器求得tan35°≈0.7002，
所以BC=AC·tanA≈6×0.7002≈4.201.
又= cosA=cos35°，
由计算器求得cos35°≈0.8192，
所以AB=≈7.324.
7.如图，工件上有一V型槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到度).
解：tan∠ACD=≈0.5208，∴∠ACD≈27.51°.
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.51 ≈55°.
∴V型角的大小约为55°.
【教学说明】教师要强调，让每位学生必须动手操作，达到熟练的程度.从而提高学生动手操作能力，巩固所学知识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.2”中第1、2、3题.

三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识，如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，熟记30°、45°、60°角的三角函数值.另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.给学生留充分的时间,采取多种形式让学生记住特殊角的三角函数值.根式化简与负指数的运算易出错.
4.3 解直角三角形

1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【教学重点】
直角三角形的解法．
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

一、情境导入，初步认识
1.什么是锐角三角函数？
2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？
【教学说明】通过复习，使学生便于应用.
二、思考探究，获取新知
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边、角之间的关系：

(2)三边之间的关系：
a2+b2=c2 (勾股定理)
(3)锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°．
3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.
解：∵∠B=90°-∠A=60°，
又∵tanB=，
∴b=a·tanB=5·tan60°=.
∵sinA=，
∴c==10.
【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.
【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P122例2 .
2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝，∠A＝60°，求∠B、a、b．
解：a＝csin60°＝·＝12，
b＝ccos60°＝·＝，
∠B＝30°.
3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝， ∠A＝30°，求∠B、b、c.
解：∠B＝90°-30°＝ 60°，
b＝atanB＝·＝，
c＝
=.
(另解：由于＝sinA ，所以 c＝).
4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝，a＝ ， 求∠A、∠B、 b.

由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°-45°＝45°，且有b＝a＝.
5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝，求 ∠A、∠B、c.
解：由于 tanA＝，所以
tanA＝=，
则∠A＝60°，∠B＝90°-60°＝30°，且有c＝2b＝2×＝
6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．
解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，
所以CD＝BD＝×8＝4（cm），
△ADB 是等腰三角形，
所以AD＝BD＝8（cm），
则有 AC＝8＋4＝12（cm），
BC＝ACcot60°＝ 12×=（cm），
AB＝.
7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？

分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.
解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
∵AD=BD，
∴AB=2BC，AE=BE，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，
∵AC=6，
∴BC=AC·tan30°=6×=，
设BE=x，则CE=6-x，
在Rt△BCE中，
∵BC=，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,
∴x2=（6-x）2+（）2，解得x=4．
即BE=4．
【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.3”中第1、3、4题.

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与俯角、仰角有关的实际问题

1.比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
2.通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.
3.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
【教学重点】
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
【教学难点】
选用恰当的直角三角形，分析解题思路.

一、情境导入，初步认识
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.
二、思考探究，获取新知
1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？

分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m)

解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此
tan25°=
∴BC=1000×tan25°≈466.3(m)，
∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米.
【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.
三、运用新知，深化理解
1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)

分析：利用正弦可求.
解：在Rt△ABC中sinB=
∴AB=≈4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
解:如图，α=30°，β=60°，AD=120.
∵tanα=，tanβ=，
∴BD=ADtanα=120×tan30°=120×=，
CD=ADtanβ=120×tan60°=120×=.
∴BC=BD+CD=+=≈227.1
答:这栋高楼约高277.1m.
3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号)

分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．

解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，
∴DE=AC=12米．CE=AD=1.5米．
在直角△BED中，∠BDE=30°，
tan30°=，
∴BE=DE·tan30°=米．
∴BC=BE+CE=（+）米．
4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)

分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．
解：设AP=h米，
∵∠PFB=45°，
∴BF=PB=（h+1）米，
∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，
在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，
∴h=（h+6）tan30°，
3h=（h+6），

∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．
【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题.

本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.
第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题

1.了解测量中坡度、坡角的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.
3.通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.
4.进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
【教学重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.
【教学难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.

一、情境导入，初步认识
如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

从图形可以看出，，
即tanA1＞tanA.
【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．
解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
在Rt△ABC中，cosA=，
∴AB=≈6.0（米）
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，
所以α≈18°26′.
∵=sinα，
∴AB=≈72.7（m）.
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，由i=1∶得tanC=，∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)
在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）
120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）
答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．
4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：

(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．
解：（1）∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，
∴∠BFA=∠CED=90°，
∵CE=BF，BF=3米，
∴CE=3米，
∵CD=6米，∠CED=90°，
∴∠D=30°.
（2）∵sin∠BAF=，
∴，
∵BF=3米，∴AB=米，
∴AF=米，∴AE=米.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.4”中第1、7题.

通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
第3课时 与方位角有关的实际问题

1.了解方位角的有关概念.
2.能利用解直角三角形的知识，解决与方位角有关的实际问题.
3.通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.
4.渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.
【教学重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与方位角有关的实际问题.
【教学难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与方位角有关的实际问题.

一、情境导入，初步认识
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.
二、思考探究，获取新知
如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A.72海里
B.142海里
C.7海里
D.14海里
分析：作BN⊥AM，垂足为N，由题意知，在Rt△ABN中，∠BAN=30°，AB=14海里，∴BN=AB·sin30°=7（海里），∴在Rt△BMN中，∠MBN=45°，BN=7海里，∴MB=（海里）.故选A.
【答案】A
【归纳结论】这类题目，首先根据题意画出几何图形，然后将问题转化为解直角三角形问题，最后解直角三角形.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P128例3.
2.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.

(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)
分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.
在Rt△APC中，∵tanA=，
∴AC=
在Rt△PCB中，∵tanB=，
∴BC=
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,
∴AC+BC=AB=21×5，
∴+=21×5，
解得x=60.
∵sin∠B=，
∴PB==60×=100（海里）
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．
【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.4”中第6题.

本课时所学习的内容强调实际应用，在数学过程中要引导学生展开联想，在日常生活中发现问题，联系所学知识并灵活运用，鼓励学生自己动手来解决问题.此类与实际应用练习结合紧密的知识，能更为有效地提升学生的应用能力.
章末复习

1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.
2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.
3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.
5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.
【教学重点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
【教学难点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.正弦的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：

2.余弦的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即

3.正切的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：

4.特殊角的三角函数值：

5.三角函数的概念：
我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.
6.解直角三角形的概念：
在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
7.仰角、俯角的概念：
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角.

8.坡度的概念：
坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生的印象.
三、典例精析，复习新知
1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=，求sin∠DAC.

解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，
由tanB=，得，
设AD=2k，AB=3k，
∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE=k
∴在Rt△ADE中，AE=k，
∴sin∠DAC=.

3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的个数为（ ）
①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2cm.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm.
在Rt△ADE中，∵ AD＝5 cm，sin A＝，
∴ DE＝AD·sinA＝5×=3(cm).
∴ AE==4(cm).
∴BE＝AB-AE＝5-4＝1(cm).
菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2).
在Rt△DEB中，BD=(cm).
综上所述①②③正确.
【答案】 C
4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).

分析： 由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形.因此很自然作PC⊥AB交AB于C.
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，
在Rt△APC中，cos∠APC=.
∴PC＝PA·cos∠APC＝，
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
∴PB===
∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里.
【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）

分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF·cos30°=2×=.
∵FQ是BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2.
在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=.
【答案】 C
2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：≈1.73）

解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50.
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x.
则AF=AB-BF=AB-DE=x-50，
DF=BE=BC＋CE=x＋50.
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=， ∴.
∴x=50(3+)≈236.6.
答：山AB的高度约为236.6米.
3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．

解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米.
设AG=x米，GF=y米，
在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°=，
在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°=，
二者联立，解得x=4，y=4.
∴AG=4米，FG=4米.
∴AB=AG＋GB=4＋1.5≈8.4（米）.
∴这棵树AB的高度约为8.4米.
五、复习训练，巩固提高
师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.

布置作业:教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题.

根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解.力争更多的学生学好本章内容.