第07讲 二次根式的概念、性质、运算-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第7讲二次根式的概念、性质、运算
题组特训详解
一、选择题
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：是二次根式，符合题意，是三次根式，不合题意，是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．故选：B．
【反思】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
2．若二次根式有意义，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：二次根式有意义，
，
解得．
故选C．
【反思】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大于等于0．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、，不一定成立，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【反思】本题考查了算术平方根，二次根式的减法，二次根式的除法，正确的计算是解题的关键．
4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
解：A．，，不是同类二次根式；
B．，，不是同类二次根式；
C．，，不是同类二次根式；
D． 与 ，是同类二次根式；
故选D．
【反思】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
5．比较：（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
解：=，=，
∵45<75，
∴<．
即<，
故选：B
【反思】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算数平方根就越大是解决此题的关键.
二、填空题
6．计算：______．
解：
故答案为：．
【反思】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
7．计算＋的结果是______．
解：原式
，
故答案为：．
【反思】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是正确解答的前提．
8．当时，代数式______．
解：∵时，
，
∴原式=1+2022
=2023，
故答案为：2023．
【反思】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及完全平方公式，本题属于基础题型．
三、解答题
9．计算：
解：原式
．
【反思】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是 二次根式的混合运算法则和运算顺序．
10．计算：.
解：
．
【反思】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
过关检测详细解析
一．选择题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
A.，无意义，故A错误；B.是二次根式，故B正确；C.是三次根式，故C错误；
D.没有说明a的取值范围，故D错误；故选B．
【反思】本题主要考查了二次根式的概念．
2．要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
解：由题意可得，，解得：，故选：C．
【反思】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．计算：（ ）
A．2B．C．3D．
解：，故选：B．
【反思】本题考查了利用平方差公式进行运算，二次根式的性质，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．
4．已知方程，记两根为，求的值为（ ）
A．3B．C．4D．
解：∵方程的两根是、
∴，
∵，
∴
．
故选：C．
【反思】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
5．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
解：
=
=；
∵，
即，
∴．
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【反思】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
6．如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11B．13C．21D．27
解：是二次根式，
，解得，
A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：B．
【反思】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
7．能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【反思】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
8．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，即，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴，
故选：A．
【反思】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
9．当时，多项式的值为（ ）
A．3B．C．1D．
解：，，
，
，
多项式
，
故选：D．
【反思】转化思想，是数学中一种很重要的思想．
10．代数式的最小值是（ ）
A．0B．3C．D．不存在
解：若代数式++有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即++＝1+0+2＝3．
故选：B．
【反思】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
二、填空题
11．已知，化简：_______．
；
因为，所以，
即，
故答案为：．
【反思】此题考查二次根式的性质和绝对值的性质，牢记公式．
12．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ____．
解：由数轴可得：，
故
．
故答案为：．
【反思】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
13．如果代数式的值为7，那么，的值是___________．
由题意得
故答案为：
【反思】本题主要考查了整体代入法求代数式的值
三、解答题
14．计算：
(1)；(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
【反思】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
15．计算： ．
解：原式
．
【反思】本题主要考查去绝对值、积的乘方、平方差公式、二次根式混合运算，注意运算法则以及运算顺序是解题的关键．
16．先化简，再从，0，，2中选择一个合适的值代入求值：．
解：
，
∵分式要有意义，
∴，
当时，
．
【反思】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
17．（1）已知其中，化简求值；
（2）已知，探究m与n的关系．
解：（1）
，
，
原式；
（2）
，
，即，
，
，即，
．
【反思】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键．
18．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
解：（1），
，
，，
故答案为：，；
（2）当，时，，，
，，，，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）；
（3），
，，
，
，均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为13或7．
【反思】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．