第08讲 一次方程的解法及应用-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

这是一份第08讲 一次方程的解法及应用-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用），文件包含第8讲一次方程的解法及应用原卷版docx、第8讲一次方程的解法及应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

(全国通用版)
第8讲一次方程的解法及应用
题组特训详解
选择题
1．解方程，以下去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：，
去分母，得，
故选：D．
2．在解方程时，第一步应先“去分母”，去分母后所得方程是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】
方程两边同乘以，可得：．
故选：A
3．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按配套．为求x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：设x名工人生产螺丝，则生产螺母的工人为名．
每天生产螺丝个，生产螺母；
根据“恰好每天生产的螺母和螺丝按配套”，
得出方程：．
故选：B．
4．如图，已知线段米，于点，米，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ）
A．10B．20或10C．6D．6或10
【详解】解：当 时，，即 ，
解得： ；
当 时，，
此时，（不合题意，舍去），
综上所述：．
故选：A．
5．方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解： ，
由②得：，
由得：，
解得：．
将代入①得：，
解得：．
故原方程组的解为．
故选B．
6．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：将两个不等式相加可得，
则，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
7．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．15B．18C．20D．22
【详解】解：，
，得，
即，
故选A．
8．已知点，，若点M、N关于y轴对称，则的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【详解】解：∵点，关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
9．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，
则符合题意的方程组是，
故选：C．
10．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故选：D．
二、填空题
11．关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______．
【详解】，
，得：③
得：
解得，
将代入①得：
解得，
将代入得，
解得，．
故答案为：5．
12．若关于x，y的方程组的解满足，则n的值为 _____．
【详解】解：，
①+②得：．
又∵，
∴，
解得：，
∴n的值为．
故答案为：．
13．如果关于x的方程的解是，则___________．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
14．若关于x的方程与的解相同，则a的值为___________．
【详解】解：
解得：，
∵关于x的方程与的解相同，
将，代入，得
，
解得：，
故答案为：．
15．对有理数a，b，规定运算☆的意义是：，则方程的解是____________；
【详解】解：已知等式利用题中的新定义化简得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为：．
16．已知，则______．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴．
17．关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是______．
【详解】解：解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是：，
故答案为：．
三、解答题
18．解下列各方程（组）
(1)(2)
(3)(4)
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
故原方程组的解为；
（4）解：原方程组整理，得，
②，得③，
③①，得，
解得，
把代入②，得，
故原方程组的解为．
19．用适当的方法解下列方程组．
(1)；(2)．
【详解】（1）
将①代入②，，
解得，，
把代入①得，，
∴原方程组的解为．
（2），
，得，，
解得，．
将代入①：
解得，，
∴原方程组的解为．
20．某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该公司共有300名员工．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？
②已知A客车160元一天，B客车120元一天，请问该公司租车最少花费多少钱？
【详解】（1）设A、B分别坐a、b人．
，
解得，
∴A、B两种客车分别坐60，40人．
（2）①设租用A客车x辆，则B需：辆
花费：．
∵x为正整数且为正整数，
∴，3，5．
②当时，元．
答：租车最少花费800元．
21．非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市俏售，销售完后共获利元．进价和售价如下表：
(1)该超市胸购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
(2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，此次用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出的取值范围和超市的最大利润．
【详解】（1）解：根据题意，设甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋，用元购进，获利元，
∴，解方程组得，，
∴甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋．
（2）解：以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，甲种口罩袋，
∴乙型口罩为袋，
∵用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元，
∴，解不等式得，，
∵获利元，
∴，整理得，，
∵一次函数中，，
∴函数值随自变量的增大而增大，且自变量的取值范围为，
∴当时，利润最大，最大值为（元），
∴关于的函数关系式为，且自变量的取值范围为，当时，有最大利润，最大利润为元．
22．周末，小明和爸爸沿同一条道路慢跑到红梅公园，两人从家中同时出发，爸爸先以125米/分钟的速度慢跑一段时间，休息了5分钟，再以米/分钟的速度慢跑到红梅公园，小明始终以同一速度慢跑，两人慢跑的路程（米）与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1) ______，______，______；
(2)若小明的速度是80米/分，求小明在途中与爸爸第二次相遇时行驶的路程．
【详解】（1）解：根据题意得：
（分钟），
（分钟），
（米/分钟），
故答案为：8；13；100；
（2）解：根据题意可得：
小明从家到公园的时间为：（分钟），
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，
，
解得：，
所以直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把代入得，
，
解得：，
所以直线的解析式为：，
由解得，
所以小明在途中与爸爸第二次相遇时行驶的路程是1200米，
故答案为：1200米．
23．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
（1）小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点，他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给滴滴快车的乘车费相同（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算两人各自的实际乘车时间.
【详解】（1）设小王乘坐的滴滴快车的实际行车时间为x分钟，小张乘坐的滴滴快车的实际行车时间为y分钟，
由题意，得：
，
，
，
.
答：这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.
（2）由（1）及题意，得，
化简得
得，
解得.③
将③代入①，得.
答：小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟.
过关检测详细解析
一．选择题
1．在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：，
去分母，方程两边同时乘以6得：
，
故选：C．
2．解方程时，下列去分母变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：，
等式两边同时乘以6得，，
故选C．
3．解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵，得到解为．
∴，
解得：，
∴原方程为，
去分母得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为1：，
故选：C．
4．若一元一次方程有无数个解，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【详解】解：
整理得：
方程有无数个解，
，，
解得：，，
．
故选A
5．若方程和有相同的解，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【详解】解：解方程，得，
把代入方程，得
，
解得，．
故选：D．
6．某服装电商销售某新款羽绒服，标价为元，若按标价的七折销售，仍可获利元，设这款羽绒服的进价为元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：∵标价为元，若按标价的七折销售,
∴羽绒服的售价为：，
∴设这款羽绒服的进价为x元，
∴根据题意可得方程：，
故选．
7．元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日问良马几何追及？”大意如下：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
由题意，得，
故选：C．
8．小明从家里骑自行车到学校，如果每小时骑，可按时到达；如果每小时骑，就会迟到5分钟，问小明家到学校的路程是多少？设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
【详解】设小明家到学校的路程是，则据题意列出的方程是，
故选：A．
9．有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A种长方形的宽为，则B种长方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：解：设B长方形的宽是，则B长方形的宽长是，大正方形的边长为，
依题意得：
解得
则B长方形的长是，
则B种长方形的面积是
故选：C．
10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是，
完善九宫格如下：
∴，
解得：，
故选：C．
11．二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
故选D．
12．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将
B．要消去y，可以将
C．要消去x，可以将
D．要消去y，可以将
【详解】解：利用加减消元法解方程组，要消元x，则或；要消去y，则，
故选：C．
13．两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，
∴把代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴，
故选：C．
14．如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ）
A．143B．99C．44D．53
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：
，
解得： ，
小长方形的面积为 ，
大长方形的面积为
空白部分面积为 ，
故选：D．
15．甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：设甲车和乙车的速度分别为，，
根据甲车比乙车每小时快，得，
根据甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，得，
故选：B．
16．新世纪商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高．设上衣和裤子在调价前单价分别为x和y元，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：设上衣和裤子在调价前单价分别为和元，根据题意可列方程组为
，
故选：C．
二、填空题
17．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有_______块．
【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块，
∴五边形的边数共有条，六边形边数有条．
由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，
∴白皮的边数为黑皮的2倍，
∴
解得：，
答：白皮20块，黑皮12块．
故答案为：12
18．若关于 的方程的解是， 则的值为___________．
【详解】把代入
得
解得
故答案为：6．
19．若是关于的方程的解，则___________．
【详解】解：将代入中，得：
，
解得：，
故答案为：．
20．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______．
【详解】解：
∵，
∴，
∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
∴把代入①②得：，
整理得：，
得，解得，
故答案为：．
21．已知方程组的解为则的值为______．
【详解】解：把代入得：，
得：，
∴，
故答案为：8．
22．已知方程组的解满足，则k的值为_____．
【详解】解：，
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
解得：，
故答案为：2．
23．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
【详解】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，
根据题意得： ，
得： .
.
故答案为：．
24．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
25．我国已研制出新型新冠疫苗一一重组亚单位疫苗（细胞），预计4月初开始接种．3月底我市部分小区率先开始了新型新冠疫苗接种预约，这部分小区平均每个小区有144名业主申报，其中申报人数低于120名的小区平均每个小区有112名业主申报，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有168名业主申报．根据统计结果发现，若每个小区同时新增20名业主申报，则此时申报人数低于120名的小区平均每个小区有116名，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有180名业主申报，且该市这部分小区个数高于100，且低于130，则这部分小区有______个．
【详解】解：设低于120名的有x个小区，不低于120名的有y个小区，再设每个小区增加20名业主后，低于120名的会在x个小区的基础上减少e个小区，不低于120名的会在y个小区的基础上增加e个小区
∴增加20名业主后，低于120名的有个小区，不低于120户的有个小区，
由题意得：，
∴①，
同时有：，
化简得：②，
由①②解得：，
∵x，y，e都是正整数，且
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：112．
三、解答题
26．解下列一元一次方程
(1)(2)
【详解】（1），
解：去括号得：，
移项合并得：，
故答案为：；
（2），
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
，
故答案为：．
27．解方程：
(1)
(2)
【详解】（1）解：，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
28．解方程组：
(1)(2)
【详解】（1），
得：，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2），
原方程组可化为：，
得：，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：
29．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品120件、种物品90件，共需2280元；如果购买种物品90件、种物品60件，共需1680元．
(1)求、两种防疫物品每件各多少元？
(2)现要购买、两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么种防疫物品最多能购买多少件？
【详解】（1）解：设、两种防疫物品每件分别为、元，
根据题意，得：，
解得：，
答：、两种防疫物品每件分别为16元、4元；
（2）解：设种防疫物品能购买多件，
根据题意，得：，
解得，
答：种防疫物品最多能购买多766件．
30．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的小长方形．
(1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示）
(2)求这张长方形大铁皮的面积S；（用含a、b的代数式表示）
(3)若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．
【详解】（1）解：这张长方形大铁皮长为厘米，宽为厘米；
故答案为：，；
（2）根据题意得：
（平方厘米）；
（3）根据题意得：，，
整理得：，，
解得：，
，，
，
则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．
31．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进型和型两种吉祥物．据了解，8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元．
(1)求型和型两种吉祥物每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有几种采购方案？
【详解】（1）解：设型吉祥物每只进价x元，型两种吉祥物每只进价y元，
依题意得：，
解得：，
∴型吉祥物每只进价150元，型两种吉祥物每只进价80元；
（2）设购进m只型吉祥物，n只型吉祥物，
依题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进22只型吉祥物，15只型吉祥物；
方案2：购进14只型吉祥物，30只型吉祥物；
方案3：购进6只型吉祥物，45只型吉祥物．
型号
价格
甲型口罩
乙型口罩
进价（元/袋）
售价（元/袋）
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/千米
0.3元/分
0.8元/千米
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为行车里程7千米以内（含7千米）不收远途费，超过7千米的，超出部分每千米收0.8元.