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第12讲 一次函数-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）
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这是一份第12讲 一次函数-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用），文件包含第12讲一次函数原卷版docx、第12讲一次函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
(全国通用版)
第12讲一次函数
核心考点1：一次函数的概念
1．正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
2．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
3．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
核心考点2：一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
2．一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
（2）一次函数的性质
3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
核心考点3：一次函数与方程（组）、不等式的关系
1．一次函数与一元一次方程的关系
直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解．
简记：交点的横坐标就是对应方程的解
2．一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组的关系
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标：
一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。
简记：交点的坐标就是对应方程组的解
核心考点4：一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答案．
一次函数是函数中最基本的一种，是初中学习函数的开端，在中考中占有相当重要的地位，一般小题大题都会有，尤其是解答题中，不论是考反比例函数，还是考二次函数都会与一次函数综合，所以一次函数如果不熟练会直接影响综合大题的解决!
1——考查一次函数的概念
1．下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数．
【详解】解：y是x的一次函数的有：①，④，共2个，
故选：B．
【反思】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．
2——考查一次函数的图象与性质
2．下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ）
A．经过第二、三、四象限B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于D．与y轴交于
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：直线中，，
A．∵，
∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C．∵当时，，
∴与x轴交于，原说法错误，故本选项符合题意；
D．∵当时，，
∴与y轴交于，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【反思】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而减小是解题的关键．
3．已知点都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能比较
【分析】根据一次函数的性质即可求得与的大小关系．
【详解】解：∵直线的解析式为：，
∴函数，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选．
【反思】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
3——考查一次函数与方程（组）、不等式的关系
4．如图一次函数的图象分别交轴，轴于点、，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据方程的解即为一次函数与x轴交点的横坐标进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点，
∴方程的解为，
故选C．
【反思】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟知一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解是解题的关键．
5．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：C．
【反思】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
5——待定系数法求一次函数解析式（综合题）
6．如图，直线的函数关系式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线与交于点C．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)设点P在y轴上，若，求点P的坐标．
【分析】（1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式；
（2）联立和的解析式，再解方程组可得C点坐标；
（3）设与y轴的交点为E，首先求出点C和点D的坐标，然后设点P的坐标为，根据列方程求解即可．
【详解】（1）设直线的函数关系式为：，
∵直线过点，，
∴解得：，
∴直线的函数关系式为：；
（2）∵直线和交于点C．
∴，解得，
∴；
（3）如图，设与y轴的交点为E，
当时，
∴点C的坐标为
当时，，解得
∴点D的坐标为
设点P的坐标为
∵
∴，即
∴，解得或．
∴点P的坐标为或．
【反思】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型．
7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点的横坐标为，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接 求的面积．
【分析】（1）将代入得，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先把点代入直线表达式求出点坐标，进而根据两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出点坐标根据可求出答案。
【详解】（1）解：将代入得
点坐标为
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
（2）解：将代入一次函数得
即点的坐标为，
将代入反比例函数得
即点坐标为，
，
【反思】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键．
6——一次函数的应用题
8．某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地，乙班比甲班晚出发一小时，设甲班步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为、千米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)M点的横坐标是___________；
(2)直接写出、与x的函数关系式___________；
(3)甲班离出发地A地多远时两班相距4千米？
【分析】（1）由函数图象就可以求出M的坐标；
（2）运用待定系数法就可以求出、与x的函数关系式；
（3）根据（2）的解析式由或就可以求出结论．
【详解】（1）解：∵乙班比甲班晚出发一小时，
∴M点的横坐标是1；
故答案为：1
（2）解：设、与x的函数关系式分别为，，
把点代入得：
，解得：，
把点，代入得：
，解得：，
∴、与x的函数关系式分别为，；
（3）解：根据题意得：或，
∴或，
解得：或，
当时，甲班离出发地A地千米；
当时，甲班离出发地A地千米；
综上所述，甲班离出发地A地或千米时两班相距4千米．
【反思】本题考查了函数图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系运用，解答时求出一次函数的解析式是解题的关键．
——要想尽一切办法彻底理解透一个新的概念！
学习就是要不断地接接触新的概念，当我们要学习一个新的概念时，第一时间就要想尽一切办法将它理解透彻。例如，关系函数的概念，一直是几乎所有学生的一大难关，所以导致后来学习一次函数、反比例函数，二次函数都会遇到各种各样的难处！如果我们能在学习函数概念时，想尽一切办法将其理解透，对于我们以后的学习是大有好处的！
秘籍十：要想尽一切办法彻底理解透一个新的概念！
一、选择题
1．函数的图象一定经过下列四个点中的( )
A．点B．点C．点)D．点
2．已知正比例函数，若y的值随x的增大而减小，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知点，在一次函数的图像上，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于的方程组 的解是
7．如图，已知直线，则方程的解等于（ ）
A．0B．2C．4D．1
8．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，若一次函数与（）的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 _____．
12．已知点，点在一次函数的图象上，则a______b（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．已知一次函数（为常数且）．
（1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为___________；
（2）当时，函数有最大值8，则的值为___________．
14．函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
15．已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解是___________．
16．已知直线，，的图象如图，若无论取何值，总取中的最小值，则y的最大值为_____.
三、解答题
17．如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积．
18．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求：
(1)的值；
(2)一次函数y与x的函数解析式；
(3)这两个函数图象与轴所围成的三角形的面积．
19．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
20．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1∼4的整数）．已知点，直线经过点．
(1)若直线过点，求直线的解析式；
(2)试推算出和的数量关系；
(3)若直线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各个点，求的取值范围；
(4)若直线将图中阴影部分（矩形，，）分成的两部分，直接写出的值．
21．一辆摩托车和一辆小轿车同时从A地到B地，匀速行驶，摩托车到达B地后停止，小轿车到达B地后，停留4小时，再原路原速度返回A地，到达A地后停止，两车距离A地的路程y（km）与所用时间t（h）的关系如图所示，请回答下列问题：
(1)摩托车的速度是 ___________；小轿车速度是 ___________；
(2)两人出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离A地路程是多少km？
22．某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
(1)求a的值；
(2)结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
(3)通过计算，写出当月主叫通话时间t（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
23．某公园举办一年一度的郁金香花展，根据历年举办花展的经验知道，每天进入公园观赏花展的市民的累计入园人数y（单位：人）与开园时间x（单位：小时）的变化情况符合函数关系式：，数据记录如表所示．
(1)试确定y与之间的函数表达式；
(2)如果该公园有东、南、西、北四个大门，从开园4小时（不含4小时）开始，每个大门每小时有600人离开公园，求当天观赏花展的在园人数的最大值（在园人数＝累计入园人数-离开公园的人数）；
(3)根据相关规定，为了安全，当在园人数不低于11000人时，应实施安全应急方案，请在（2）的条件下，直接写出实施安全应急方案的时间为________小时．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
25．如图，中，，，，，AD平分，交于点D．动点Q从点B发，按的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当点Q在边上运动时，线段的长为______（用含的代数式表示）：
(2)当点Q在边上运动时，线段长度不可能是______（其序号即可）．
①7.2； ②5.3； ③4.8； ④4.5．
(3)设的面积为S，请用含t的代数式表示．
(4)当为轴对称图形时，请写出满足条件的t的值．
一、选择题
1．下列关于一次函数的图象的说法中，错误的是（ ）．
A．函数图象经过第一、二、四象限B．y的值随着x值的增大而减小
C．当时，D．函数图象与x轴的交点坐标为
2．将正比例函数的图象沿轴向右平移3个单位后经过点，则的值为
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点（是任意实数），则点不会落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下图中，能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的大致图象的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
6．如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点， 交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
11．如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（ ）．
A．①②③B．①②④C．②③⑤D．②④⑤
12．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
13．已知点、都在一次函数的图像上，比较大小：______．
14．已知直线经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a______b（填>、=或<）．
15．如图，一次函数的图象经过点，，则方程的解是_______．
16．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
17．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________．
18．已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________．
三、解答题
19．已知一次函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)若，求函数y的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，已知．
(1)求直线的解析式．
(2)直线过点，交线段于点，把的面积分为3：2两部分；求出此时的点的坐标．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点．
(1)直接写出点D、B的坐标：
(2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___；
(3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标
22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴轴分别交于点、点，点是轴上一点．
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)连接，若的面积为10，求点的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
24．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题．
(1)甲登山的速度是______．
(2)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，直接写出当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为85米？
25．在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图像回答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是_____；
(2)无人机在米高的上空停留的时间是_____分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(4)图中a表示的数是______；b表示的数是______；
(5)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
时间x（小时）
0
1
…
4
5
6
7
…
10
累计人数y（人）
0
3000
…
12000
15000
17600
19800
…
24000
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第12讲一次函数
核心考点1：一次函数的概念
1．正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
2．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
3．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
核心考点2：一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
2．一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
（2）一次函数的性质
3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
核心考点3：一次函数与方程（组）、不等式的关系
1．一次函数与一元一次方程的关系
直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解．
简记：交点的横坐标就是对应方程的解
2．一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组的关系
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标：
一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。
简记：交点的坐标就是对应方程组的解
核心考点4：一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答案．
一次函数是函数中最基本的一种，是初中学习函数的开端，在中考中占有相当重要的地位，一般小题大题都会有，尤其是解答题中，不论是考反比例函数，还是考二次函数都会与一次函数综合，所以一次函数如果不熟练会直接影响综合大题的解决!
1——考查一次函数的概念
1．下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数．
【详解】解：y是x的一次函数的有：①，④，共2个，
故选：B．
【反思】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．
2——考查一次函数的图象与性质
2．下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ）
A．经过第二、三、四象限B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于D．与y轴交于
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：直线中，，
A．∵，
∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C．∵当时，，
∴与x轴交于，原说法错误，故本选项符合题意；
D．∵当时，，
∴与y轴交于，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【反思】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而减小是解题的关键．
3．已知点都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能比较
【分析】根据一次函数的性质即可求得与的大小关系．
【详解】解：∵直线的解析式为：，
∴函数，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选．
【反思】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
3——考查一次函数与方程（组）、不等式的关系
4．如图一次函数的图象分别交轴，轴于点、，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据方程的解即为一次函数与x轴交点的横坐标进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点，
∴方程的解为，
故选C．
【反思】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟知一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解是解题的关键．
5．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：C．
【反思】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
5——待定系数法求一次函数解析式（综合题）
6．如图，直线的函数关系式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线与交于点C．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)设点P在y轴上，若，求点P的坐标．
【分析】（1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式；
（2）联立和的解析式，再解方程组可得C点坐标；
（3）设与y轴的交点为E，首先求出点C和点D的坐标，然后设点P的坐标为，根据列方程求解即可．
【详解】（1）设直线的函数关系式为：，
∵直线过点，，
∴解得：，
∴直线的函数关系式为：；
（2）∵直线和交于点C．
∴，解得，
∴；
（3）如图，设与y轴的交点为E，
当时，
∴点C的坐标为
当时，，解得
∴点D的坐标为
设点P的坐标为
∵
∴，即
∴，解得或．
∴点P的坐标为或．
【反思】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型．
7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点的横坐标为，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接 求的面积．
【分析】（1）将代入得，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先把点代入直线表达式求出点坐标，进而根据两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出点坐标根据可求出答案。
【详解】（1）解：将代入得
点坐标为
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
（2）解：将代入一次函数得
即点的坐标为，
将代入反比例函数得
即点坐标为，
，
【反思】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键．
6——一次函数的应用题
8．某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地，乙班比甲班晚出发一小时，设甲班步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为、千米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)M点的横坐标是___________；
(2)直接写出、与x的函数关系式___________；
(3)甲班离出发地A地多远时两班相距4千米？
【分析】（1）由函数图象就可以求出M的坐标；
（2）运用待定系数法就可以求出、与x的函数关系式；
（3）根据（2）的解析式由或就可以求出结论．
【详解】（1）解：∵乙班比甲班晚出发一小时，
∴M点的横坐标是1；
故答案为：1
（2）解：设、与x的函数关系式分别为，，
把点代入得：
，解得：，
把点，代入得：
，解得：，
∴、与x的函数关系式分别为，；
（3）解：根据题意得：或，
∴或，
解得：或，
当时，甲班离出发地A地千米；
当时，甲班离出发地A地千米；
综上所述，甲班离出发地A地或千米时两班相距4千米．
【反思】本题考查了函数图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系运用，解答时求出一次函数的解析式是解题的关键．
——要想尽一切办法彻底理解透一个新的概念！
学习就是要不断地接接触新的概念，当我们要学习一个新的概念时，第一时间就要想尽一切办法将它理解透彻。例如，关系函数的概念，一直是几乎所有学生的一大难关，所以导致后来学习一次函数、反比例函数，二次函数都会遇到各种各样的难处！如果我们能在学习函数概念时，想尽一切办法将其理解透，对于我们以后的学习是大有好处的！
秘籍十：要想尽一切办法彻底理解透一个新的概念！
一、选择题
1．函数的图象一定经过下列四个点中的( )
A．点B．点C．点)D．点
2．已知正比例函数，若y的值随x的增大而减小，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知点，在一次函数的图像上，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于的方程组 的解是
7．如图，已知直线，则方程的解等于（ ）
A．0B．2C．4D．1
8．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，若一次函数与（）的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 _____．
12．已知点，点在一次函数的图象上，则a______b（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．已知一次函数（为常数且）．
（1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为___________；
（2）当时，函数有最大值8，则的值为___________．
14．函数的图像过点及点和，则当时，___________（填“”，“”或“”）
15．已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解是___________．
16．已知直线，，的图象如图，若无论取何值，总取中的最小值，则y的最大值为_____.
三、解答题
17．如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积．
18．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求：
(1)的值；
(2)一次函数y与x的函数解析式；
(3)这两个函数图象与轴所围成的三角形的面积．
19．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
20．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1∼4的整数）．已知点，直线经过点．
(1)若直线过点，求直线的解析式；
(2)试推算出和的数量关系；
(3)若直线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各个点，求的取值范围；
(4)若直线将图中阴影部分（矩形，，）分成的两部分，直接写出的值．
21．一辆摩托车和一辆小轿车同时从A地到B地，匀速行驶，摩托车到达B地后停止，小轿车到达B地后，停留4小时，再原路原速度返回A地，到达A地后停止，两车距离A地的路程y（km）与所用时间t（h）的关系如图所示，请回答下列问题：
(1)摩托车的速度是 ___________；小轿车速度是 ___________；
(2)两人出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离A地路程是多少km？
22．某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
(1)求a的值；
(2)结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
(3)通过计算，写出当月主叫通话时间t（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
23．某公园举办一年一度的郁金香花展，根据历年举办花展的经验知道，每天进入公园观赏花展的市民的累计入园人数y（单位：人）与开园时间x（单位：小时）的变化情况符合函数关系式：，数据记录如表所示．
(1)试确定y与之间的函数表达式；
(2)如果该公园有东、南、西、北四个大门，从开园4小时（不含4小时）开始，每个大门每小时有600人离开公园，求当天观赏花展的在园人数的最大值（在园人数＝累计入园人数-离开公园的人数）；
(3)根据相关规定，为了安全，当在园人数不低于11000人时，应实施安全应急方案，请在（2）的条件下，直接写出实施安全应急方案的时间为________小时．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
25．如图，中，，，，，AD平分，交于点D．动点Q从点B发，按的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当点Q在边上运动时，线段的长为______（用含的代数式表示）：
(2)当点Q在边上运动时，线段长度不可能是______（其序号即可）．
①7.2； ②5.3； ③4.8； ④4.5．
(3)设的面积为S，请用含t的代数式表示．
(4)当为轴对称图形时，请写出满足条件的t的值．
一、选择题
1．下列关于一次函数的图象的说法中，错误的是（ ）．
A．函数图象经过第一、二、四象限B．y的值随着x值的增大而减小
C．当时，D．函数图象与x轴的交点坐标为
2．将正比例函数的图象沿轴向右平移3个单位后经过点，则的值为
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点（是任意实数），则点不会落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下图中，能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的大致图象的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
6．如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点， 交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
11．如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（ ）．
A．①②③B．①②④C．②③⑤D．②④⑤
12．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
13．已知点、都在一次函数的图像上，比较大小：______．
14．已知直线经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a______b（填>、=或<）．
15．如图，一次函数的图象经过点，，则方程的解是_______．
16．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
17．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________．
18．已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________．
三、解答题
19．已知一次函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)若，求函数y的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，已知．
(1)求直线的解析式．
(2)直线过点，交线段于点，把的面积分为3：2两部分；求出此时的点的坐标．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点．
(1)直接写出点D、B的坐标：
(2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___；
(3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标
22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴轴分别交于点、点，点是轴上一点．
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)连接，若的面积为10，求点的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
24．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题．
(1)甲登山的速度是______．
(2)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，直接写出当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为85米？
25．在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图像回答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是_____；
(2)无人机在米高的上空停留的时间是_____分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(4)图中a表示的数是______；b表示的数是______；
(5)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
时间x（小时）
0
1
…
4
5
6
7
…
10
累计人数y（人）
0
3000
…
12000
15000
17600
19800
…
24000
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