广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）
A.-2B.2C.3D.4
3.若方程无实数根，则实数的值不可能是（ ）
A.4B.5C.6D.7
4.如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为（ ）
A. ，B. ；
C. ；D. ；
5.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A.3B.-3C.1D.-1
6.某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以
从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边平行且相等B.对角线互相平分
C.每条对角线平分一组对角D.对角互补
8.如图，矩形的顶点，分别在菱形的边和对角线上，连接，，若，则的长为（ ）
A. B. C.3D.4
9.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（ ）
A.8cmB. C. D.16cm
10.某企业2021年初投资100万元生产畅销产品，2021年底将获得的利润与年初的投资的和作为2022年初的投资，到2022年底，两年共获利润56万元.已知2022年的年获利率比2021年的获利率多10个百分点.如果设2021年的获利率是，那么下列所列出的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
11.将方程化成一元二次方程的一般形式后，其中一次项系数是__________.
12.如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，，，则四边形EFGH是__________.
13.已知，，是方程的两个实数根，则的值是__________.
14.如图，平面直角坐标系中，点，点，点D为AB的中点，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则C点的坐标为__________.
15.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，根据以上规律写出的表达式__________.
三、解答题
16.解方程.
17.某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”.如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率.
18.如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，.若平分，，，求的长度.
19.已知关于的方程.
（1）取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值.
20.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作，垂足为H，连接AF.
（1）求证：；
（2）若，，当时，求的度数.
21.如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，.
（1）证明：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积.
22.有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪.
（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路.
①请写出两条小路的面积之和____________（用含、的代数式表示）；
②若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（，为常数），若，，且草坪的总面积为120平方米，求的值.
23.等腰的直角边，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，的面积为S.
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，？
（3）作于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.
24.如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点，Q分别在边和上，且.
（1）如图1，若点是中点.
①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由.
②设，.请探究m，n之间的关系.
（2）如图2，，连接，，若，，求的长.
（3）如图3，若点是中点，连接，.请直接写出所有情形下的最小值=_______.
2023-2024学年上学期九年级第（一）次学业评价答案与评分标准
一、单选题（每题3分共30分）
1--5.CDABA 6--10BCCBD
二、填空题（每题3分共15分）
11.-7 12.正方形. 13.2039 14. 15.
三、解答题
16.解：
∴，
17.解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下：
∴共有20种等可能的结果，其中2名都是女生的结果有6种，
∴P（两名女生），
∴恰好选中2名女生的概率是.
18.解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴四边形是矩形.
∵平分，，
∴，，∴，∴，
∵，，∴，
∴在矩形中，，，
∴
∴在中，.
19.（1）解：，
∵当，方程有两个实数根，
∴，解得：，
∴当时，方程有两个实数根；
（2）解：由，①当时，，
∴方程有两个相等实数根，
∴，即，
∴.
又当时，有，
∴符合条件；
②当时，得，∴，
由根与系数关系得，
∴，
由（1）知，与当矛盾，
∴舍去，
综上可得，.
20.（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，∴；
（2）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴.
21.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即
∴四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形是菱形，，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积.
22.（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
②根据题意，得，
又∵，∴，
∴原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
∴（米），
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
∵，为正整数，
∴是正整数且是30的约数，是正整数且是30的约数，
当时，，
∴，，∴；
当时，，
∴，，∴；
当时，，
∴，，∴，
综上所述，或10.
23.解：（1）当秒时，P在线段AB上，此时，，
∴，
当秒时，P在线段AB得延长线上，此时，，
∴.
（2）∵，
∴当秒时，，
整理得，此方程无解，
当秒时，，
整理得，解得（舍去负值），
∴当点P运动秒时，.
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.
证明：过Q作，交直线AC于点M，
易证，
∴，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半.
又∵，∴
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.
同理，当点P在点B右侧时，.
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.
24.（1）解：①如图，
∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴，∴，
∵是中点，
∴.∴.
②当时，如图，过点作于点
∵∴四边形是矩形，
∴，，
同（1）可得
∴，∴.
当时，如图，
同理可得.
∴或.
（2）∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，，
类比（1）②得，，
即或.
（3）的最小值为：
将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则四边形为平行四边形，
则：，，
∴，
∴当，，三点共线时，的值最小，
由（1）②可知：，
∴，∴，∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
即：的最小值为：.