新高考数学二轮复习百题必刷题专题08 基本不等式综合（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习百题必刷题专题08 基本不等式综合（含解析），共67页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题08 基本不等式综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解.
【详解】
由均为正实数，且满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，即的最大值为.
故选：C
2．已知，，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件将多项式写成的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由题知，，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：B
3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【分析】
根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，

当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，
故选：C.
6．已知直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.
【详解】
解：因为直线与圆相切，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：D.
7．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】A
【分析】
根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确，
对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误，
对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误，
对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误，
故选：A
8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.
【详解】
解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故选：C.
10．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】
解：，
又，
，令，
则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．
故选：A．
11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【分析】
由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，
∴2x+y=2x+2=3，
当且仅当，即x=1时取等号.
故选：B.
12．已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求的最小值.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴的最小值为3，
故选：C.
13．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
解析：法一：由题意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（当且仅当时，取等号），
所以的最小值为.
法二：由，得.
因此（当且仅当时，取等号） ，所以的最小值为.
故选：C.
14．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据题意得到，结合基本不等式，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】
在中，满足，且，
可得，当且仅当时取等号，所以，可得，
所以．
故选：A.
16．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
17．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
18．已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意可得，结合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范围，从而得解．
【详解】
解：，，且，
，
当且仅当且时取等号，此时，
若恒成立．
，
，
解不等式可得，，故实数的最小值为，
故选：．
19．已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】
由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
20．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【分析】
整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
21．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
22．若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即，
，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.
【详解】
直线被圆截得的弦长为4，
圆的半径为 ,圆心为
直线过圆心，故 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.
故选：A
【点睛】
理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由，求的最小值联想用基本不等式求最值.
23．设为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式，结合“1”的妙用，即可得解.
【详解】
可得，

当且仅当时成立，
故选：A
24．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
故选：A
25．在等比数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等比数列性质可求得及，利用基本不等式可求得的最大值，即为所求结果.
【详解】
由等比数列性质知：，
（当且仅当时取等号），
，，即的最大值为.
故选：B.
26．已知实数a，b，c成等差数列，则点到直线的最大距离是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由等差数列性质得，求出点到直线的距离，代入消元后应用基本不等式可得最大值．
【详解】
由已知，点P到直线的距离，
由均值不等式知，当且仅当时取等，故，最大值为．
故选：C．
27．实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】
令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
令，，则，，且，，，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：D.
28．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
29．设 (其中0 A．P C．P 【答案】A
【分析】
利用基本不等式证明可得.
【详解】

又，
∴.
故选：A
30．若函数的图象经过点，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【答案】B
【分析】
将点代入函数，可得，进而结合基本不等式，可得，即可求出的最小值.
【详解】
因为函数的图象经过点，所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
31．已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】
利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.
【详解】
由，
得，
又因为，
所以，
即，
解得或，
又，
所以，当且仅当，即时取等号．
故选：B．
32．设，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
借助于，将不等式转化为，然后按照基本不等式的性质即可求出最小值.
【详解】
解：，且，则有，即

当且仅当 即时“等号”成立.
故选：D.
33．设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【分析】
根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为均为正实数，
所以，当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
34．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题中条件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，
所以只需，即，解得.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
35．已知实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】
因为，则，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：A.
36．设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
变形为，利用基本不等式求解.
【详解】
,
,
当且仅当和，即时取等号，
故选：D.
37．若x，y∈R＋，3x＋y—xy=0，则2x＋y的最小值为（ ）
A．2＋5 B．4 C．12 D．6
【答案】A
【分析】
将3x＋y—xy=0，变形为，再利用“1”的代换，将，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为3x＋y—xy=0，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以2x＋y的最小值为2＋5，
故选：A
38．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，得到y＝ 然后由x＋2y＝x＋＝，利用基本不等式求解.
【详解】
因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝ .由即解得0 所以x＋2y＝x＋＝，
当且仅当，即，时取等号．
所以x＋2y的最小值为.
故选：A
39．若，，，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：，当且仅当时取等号，
，
当且仅当时取等号.
故选：C.
40．已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先通分化简，分子分母同除以，原式化为，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为，
则，
当且仅当时取等号，此时的最大值为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.















任务二:中立模式(中档)1-40题
1．已知，且，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用基本不等式可比较A，B大小，作差判断正负可判断大小.
【详解】
，即，
，，
故.
故选：B.
2．已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解
【详解】
解：实数，满足
化为：
令，，则
解得：，
则：
当且仅当，即时取等号
所以的最小值为.
故选：A.
3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在，中利用余弦定理，并结合，利用诱导公式，消去角，
求得，结合中使用余弦定理，得到，
然后结合基本不等式求得的取值范围，进而得到中线长的取值范围.
【详解】
是边上的中线， 在中，①，
在中，②.
又，，
由①＋②得.
由余弦定理得.
，
，
，即，
.
故选C.
4．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．
【详解】
若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，
根据题意得：，
又由，即有，

，
当，分别取时，等号成立，
即 的最小值为-5，
故选：D
5．如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，
∴，当且仅当时取等号，
故选：C.
6．已知，满足则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案.
【详解】
由题意，设，代入方程得：，
所以，即的最小值为：.
故选：D.
7．已知实数，，则的最小值为（ ）
A．1 B．27 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
根据基本不等式得，，从而可求得最小值.
【详解】
因为所以，当且仅当时取等号，即，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：B.
8．若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：


，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
9．若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：D
10．设，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】
，
，

，
当且仅当，
即时取等号
故选：A
11．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
设BD、AE交于O，根据题意可得，所以，进而可得，根据O、F、B三点共线，可得x，y的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.
【详解】
设BD、AE交于O，因为，
所以，所以,
所以，则，
所以，
因为O、F、B三点共线，
所以，即，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以，
故选：A

12．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】
由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
13．的最大值为（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】B
【分析】
先由基本不等式得到，进而可得结果.
【详解】
因为，（当且仅当时，取等号.）
所以，，
即当且仅当时，有最大值13.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由基本不等式得到.
14．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
15．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】
由题得，再通过变形得到，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对式子进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
17．已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可知函数在上单调递增，即在上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以为变量建立函数关系式，利用构造函数和基本不等式求出其最小值.
【详解】
，
，
因为函数没有极值点，
所以函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
则有，即，
所以，
令，因为，所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研究三次函数的问题，正确解题的关键对函数无极值点这个条件的正确转化，以及会利用基本不等式求最值.
18．若，，平面内一点满足，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由知为线段的靠近的一个三等分点，且，由推出为的平分线，根据角平分线定理得到，设，则，根据余弦定理以及基本不等式求出的最小值，从而可得的最大值.
【详解】
由知为线段的靠近的一个三等分点，且，
因为，所以，
所以，所以，
所以为的平分线，
根据角平分线定理可得，设，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值是.
故选：B
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19．设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简，然后由基本不等式得最值，及，这样可化为的二次函数，易得最大值．
【详解】
当且仅当时成立，因此
所以时等号成立．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现．
20．已知，且，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】
根据题意，化简,结合基本不等式，即可求解.
【详解】
因为，且，
所以,
由，可得，所以，
代入，得解得，
又因为，所以．此时“等号”成立，
故所求最小值为8．
故选：A.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知，，且，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】
由题可知，再利用基本不等式可得，然后分类讨论即得.
【详解】
∵，
当时，，当时，；
又，当且仅当，即，时等号成立，
所以当，时，取得最小值，且最小值为．
故答案为：
22．若，，且，则的最小值为________.
【答案】
【分析】
将目标式改写为，再应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
，
当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故答案为：
23．已知正实数x，y，z满足，则的最大值为________．
【答案】2
【分析】
利用凑配法，结合基本不等式，化简求得的最大值.
【详解】
依题意，
故，当且仅当时等号成立.
故答案为：2.
24．已知正实数，满足，则的最小值为___________.
【答案】.
【分析】
将所求代数式整理为，再利用的代换即可得正确答案.
【详解】
因为，所以，
所以

，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
故答案为：.
25．已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【答案】2
【分析】
证明，由，即，结合基本不等式求出，即可得出答案.
【详解】
解：因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2.
26．已知，则的最小值是__________．
【答案】2
【分析】
根据已知条件将进行变形，进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
而



,
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值是2，
故答案为：2.
27．若实数x，y满足，则的最小值为 ___.
【答案】2
【分析】
由题设可得，而，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】
∵，令，则，
∴2，当且仅当时取等号，此时的最小值为2.
故答案为：2.
28．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】2
【分析】
将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.
【详解】
因，则，
而，当且仅当时取“=”，则，
所以实数的最小值为2.
故答案为：2
29．已知，且满足，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
由已知条件可知，且，由展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，
所以

，
当且仅当 即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
30．已知a，b为正实数，且，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，利用基本不等式得到，再开平方即可得到答案.
【详解】
因为，所以.
又因为，所以.
所以.
所以，当且仅当时取等号.
所以，即，即.
故答案为：
31．已知实数x＞0，y＞0，且满足x2y+xy2﹣11xy+8x+2y＝0，则x+y的取值范围是________．
【答案】[2，9]
【分析】
根据已知条件可考虑等式两边同时除以，使得等式中有“”，进一步利用基本不等式求解即可．
【详解】
解：由，，得等式两边同时除以，
有，即，
令，则．
由，
当且仅当，，即、或、时，等号成立．
所以，所以，所以，
所以，即，解得，
当、时，；当、时，，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
32．已知且满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．
【详解】
解：，
令，，
则，，且，
所以
当且仅当时取等号，此时的最小值
故答案为：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

三、解答题
33．已知a，b，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据给定条件利用配凑思想借助均值不等式及不等式性质即可得证.
【详解】
因为a，b，，则，，，
于是得，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
将上述三个不等式相加得：，
当且仅当时等号成立，因此有，
所以，当a，b，时，.
34．设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）把展开化简，利用基本不等式即可得证；
（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.
【详解】
（1）证明：因为，，.
.
且（当且仅当时取等号），
故.
所以
（2）证明：



当且仅当时取等号，
又，
故.
35．设函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若（1），，求的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．
【分析】
（1）化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
（2）结合基本不等式以及对分类讨论，由此求得的最小值.
【详解】
（1）由题意可得，即为，
即，
当时，，由，解得或；
当时，，可得；
当时，，由，解得；
当时，，由，解得．
综上可得，时，解集为或；时，解集为；
时，解集为；时，解集为；
（2）由，，可得，，
可得，
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为．
36．已知a，，且，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】
根据条件及基本不等式可得，变形得，利用对勾函数的单调性可求得最小值.
【详解】
证明：，，且，
，当且仅当时等号成立.
又
，
设函数，，
由对勾函数的性质可得在区间上单调递减.
又，，
，即.
37．设x、y为实数，若，求的最大值.
【答案】
【分析】
方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，可选用极坐标方程再结合所表示的几何意义求解
【详解】
解法一：方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线.
可以联想到极坐标方程达到减少参数的目的，再利用代数式所反映的几何意义求解最值问题，把代入：
，.
令，可看成是点与连线的斜率，
点在圆上，如图1-109所示.

借助圆的方程与直线相切、相交的位置关系，
可以得，∴.
所求的最大值为.
解法二：设，
则，
，∴，∴.
取，∴，
∴.即取最大值.
38．设a>0，b>0，且＋＝1，求证：a＋2b＋.
【答案】证明见解析
【分析】
设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1，＋＝1，则a＝，b＝y－1，所以a＋2b＝＋2y－2，利用基本式不等式化简计算即可证明结果.
【详解】
设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1，＋＝1，则a＝，b＝y－1，
所以a＋2b＝＋2y－2＝＋－＝－
＝＋＋2＋＝＋，
当且仅当＝，即a＝＋，b＝时等号成立.
故a＋2b＋.
39．已知函数的最小值为．
(I)求的值；
(II)当时，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】
(1)利用绝对值不等式得，再加上可得，；
(2)先用基本不等式得，再用基本不等式得，
所以.
【详解】
(I)因为，当时，等号成立；
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为3，所以.
(II)当时，由基本不等式得，
，
又，
所以.原命题得证.
40．已知是正实数.
（1）证明：；
（2）若，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）利用三个同向不等式，，相加即可得证；
（2）利用，将化为，再根据基本不等式即可得证.
【详解】
（1）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式和不等式的性质求解是解题关键.




任务三:邪恶模式(困难)1-20题
1．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数单调性可知恒成立，结合二次函数图象与性质可确定，由此化简所求式子为；利用，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.
【详解】
在上单调递增，恒成立，
，，，，
，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.
2．已知函数，若，其中，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以
，
令
则所以
所以，所以，其中，则.
当时

当且仅当 即 时等号成立；
当时

，
当且仅当 即 时等号成立；
因为，所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】




，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．已知，则的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】
利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】


令

，等号在时取到．
故选：A
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
5．若a，b均为正实数，则的最大值为　　
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则，
当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等
即则的最大值为，
故选B．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题.
6．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.
7．已知正数满足， 则的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用不等式进行变型，转化为，所以原式
变化成关于z的函数，然后求导进行求最值即可得到答案.
【详解】
(当且紧当时取等号)

又因为已知正数满足，所以
即
故
令
此时函数递增；
此时函数递减；
故
故选B
【点睛】
本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，属于较难题.
8．（改编）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
分析：由变形为，将乘以后再根据基本不等式求解即可得到所求．
详解：∵，
∴．
∴
，当且仅当且，即时等号成立．
∴的最小值为．
故选C．
点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．
（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
9．若，，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设,则,所以,因为,所以,故选A.
点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：，(a>0，b>0)．
10．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．
【详解】
，，
令，，，
，
，
，
，y，z能组成一个三角形的三条边长，
可得，
即为，
设，可得，可令，
即有，
即为，
由，
当且仅当上式取得等号，但，可得，
则，即；
又设，可得，
由的导数为，
由可得，即函数y为增函数，
可得，
即有，即有，
可得，
故选C．
【点睛】
本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.

第II卷（非选择题）
二、填空题
11．已知实数，，满足，则的最大值是________．
【答案】
【分析】
先消去，再将分子分母同除以，然后令，利用对勾函数的单调性即可求解.
【详解】
解：先消去，再将分子分母同除以，可得原式，
设，可得原式，
由对勾函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以或，
所以原式，
故答案为：.
12．若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.
【详解】
因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为:
13．已知，，若，则的最大值是________．
【答案】
【分析】
以为主元，以为参数，将问题转化为对勾函数的最值问题，利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】
令，则，令，
因为，
等价于，
所以题意可转化为函数在有最小值，
因为对勾函数在上递减，在上递增，
所以，即，
所以，
故的最大值是．
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由函数在有最小值结合对勾函数的单调性得到.
14．已知a，b，，记，则T最大值为________.
【答案】
【分析】
将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母 ，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.
【详解】
，
而，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，.
当且仅当，即时取等号，
所以T最大值为
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．已知，，若，则的最大值是________．
【答案】
【分析】
以为主元、为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，根据对勾函数的单调性可解得结果.
【详解】
令，则,令，
因为，
等价于，
所以题意可转化为函数在有最小值，
因为对勾函数在上递减，在上递增，
所以 ，即，
所以，
故的最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用．根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法．本题中以为主元、为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，达到了“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．属于中档题.

三、解答题
16．已知函数．
（1）求不等式的最小整数解；
（2）在（1）的条件下，对任意，，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）8
【分析】
（1）利用分类讨论法求解不等式，进而得到最小整数解；
（2）化简整理，再利用基本不等式及不等式的性质求出，进而求得结果.
【详解】
（1）当时，原不等式化为，解得，所以；
当时，原不等式化为，解得，所以；
当时，原不等式化为，解得，所以．
综上，原不等式的解集为．
所以最小整数解．
（2）由（1）知，，又，
所以

．
，，，
又，当且仅当时等号成立，
，，，所以的最小值为8
【点睛】
方法点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与基本不等式的综合应用，含有多个绝对值符合的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解，解答题采用零点分段法求解，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
17．已知a，b，c均为正实数，且满足.
证明：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；
（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．
【详解】
（1）由，，均为正实数，且满足，
，
可得，当且仅当时取得等号．
则，
当且仅当，时取得等号．
（2）由，，均为正实数，且满足，
，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．
【点睛】
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
18．已知，，为正数，且满足，证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据，，为正数，且，将不等式转化为，再利用基本不等式结合不等式的性质证明；
（2）根据，，为正数，且，直接利用基本不等式证明.
【详解】
（1）因为，，为正数，且.
所以不等式等价于
，即等价于.
因为，，为正数，
所以，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
（2）因为，，为正数，且，
所以
原式

.
当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
【点睛】
本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
19．已知，，，．
证明：．
证明：．
【答案】证明见解析；证明见解析.
【分析】
先利用完全平方式子证出，再利用均值不等式证出，进而可求证；
化简式子得，再利用完全平方公式和基本不等式的运用得，进而可求证结论.
【详解】
解：证明：由，
得．
另一方面，，，，
所以，即．
所以．
证明：
，
因为，
即，则，
所以．
【点睛】
本题考查不等式的证明，结合基本不等式和完全平方公式的运用，属于中档题.
20．已知实数满足.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值，
【答案】（1）9；（2）4.
【分析】
（1）由得，并且将其代入得，再根据二次函数的最值可求从而可得的最小值；

（2）由得，并代入得，再由，利用基本不等式得，可得的最小值.
【详解】
（1）由得，所以，
而当取等号，
所以，当取等号，
所以的最小值为；
（2）由得，所以，
因为，所以,
又，当且仅当，即(舍去)时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
故得解.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，解决问题的关键在于将两个量转化成求关于一个量的最值，再运用二次函数的最值和基本不等式求解，属于中档题.