新高考数学二轮复习百题必刷题专题24 圆锥曲线的离心率及范围（含解析）

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专题24 圆锥曲线的离心率及范围必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题设易知，结合已知条件可得渐近线斜率，进而可求双曲线的离心率.
【详解】
如下图所示：

由题意可知，直线与渐近线垂直，则，
又，则，故，则，则，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：B.
2．已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．或4 B．或2 C． D．2
【答案】B
【分析】
分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】
圆：的圆心为，半径为1，
当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，
由题意得，即，
所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，，
则，
故选：B
3．已知为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，A点为双曲线的右顶点，B（0，-b），P为双曲线左支上的动点，若四边形FBAP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
从平行四边形出发，可以得到，从而得到P点坐标，代入双曲线方程即可求解离心率.
【详解】

由题意得：，，设，因为四边形FBAP为平行四边形，所以，即可得：，，故，代入双曲线得
故选：B．
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
5．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得．
又
，，，．
故选：D．

6．设为双曲线的左､右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左､右支交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断四边形为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设双曲线的半焦距为，可得，
即有四边形为矩形，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
即有，
可得，
即
故选：．
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件结合双曲线的定义可得，即，从而可得双曲线的离心率.
【详解】
由双曲线的定义可得，∵，
∴，即，
则的离心率为．
故选：D．

8．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】

由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
9．椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.
【详解】
解：椭圆的上､下顶点分别为，
右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，
=1，解得e=.
故选：C.
10．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率.
【详解】
由得，
所以圆心，半径，
双曲线：的一条渐近线为，
由题意得圆心到渐近线的距离，所以，
所以，所以.
故答案为：.
11．已知双曲线（，）的右焦点为，过作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点，（，分别在一、四象限），若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，即，可得，即可求得离心率.
【详解】
由题，根据双曲线的对称性，可得轴，设与轴交于C，
，，
为渐近线垂线，则，，
则可解得，即，
故离心率.
故选：C.

12．已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为，直线AB的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的第三定义，可求得的关系，进而求得离心率；
【详解】
设的中点，
因为原点O是△ABC的重心，所以三点共线，
所以，
由于，所以，
故选：B.
13．若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件可得出，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的实轴端点为，抛物线的焦点坐标为，
由题意可得，即，因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
14．已知双曲线的焦距为，是的右顶点，在的一条渐近线上存在，两点，使得，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
求得点到渐近线的距离，由余弦值即可求得关系，则离心率可求．
【详解】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，
又，，
则，即有，
所以，.
故选：A
15．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过点的直线垂直于的一条渐近线，垂足为，直线与轴交于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取一条渐近线，得直线的方程，求得点坐标后，然后利用得出的等式，变形后可求得离心率．
【详解】
不妨取渐近线，则直线的方程为，
令，得到点的坐标为，由，得，
即有，所以，则，解得.
故选：B．
16．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得关系，从而求得离心率．
【详解】
一条渐近线方程为，圆的标准方程为，圆心是，半径是2，
圆心到渐近线的距离为，所以，，即，所以．
故选：D．
17．已知椭圆：.则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由椭圆方程以及的范围分析椭圆的长轴和短轴，再由离心率公式计算出范围.
【详解】
解：椭圆方程为：，则椭圆的长半轴长为，又短半轴长为，则离心率为，，则.
故选：C.
18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，进而可判断各选项的正误.
【详解】
设、，由已知可得，
所以，，则，即，变形可得，
故选：C.
19．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
易知两渐近线的夹角为60°，再由离心率公式和即可得解.
【详解】
由对称性知两渐近线夹角为60°，∴，∴.
故选：B．
20．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由条件可得，然后分、两种情况求出答案即可.
【详解】
因为三个数1，a，9成等比数列，所以，即，
当时，圆锥曲线为椭圆，其离心率为，
当时，圆锥曲线为双曲线，其离心率为.
故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题
21．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据双曲线的一条渐近线过点，求得 ，b的关系即可.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线过点，
所以双曲线的一条渐近线方程是，
又因为该渐近线过点，
所以，则，
所以.
故答案为：.
22．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
取双曲线的右焦点，渐近线，利用点到直线的距离公式可得，再由即可求解.
【详解】
解：取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即，
依题意得，即，
∴该双曲线的离心率，
故答案为：.
23．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，若(其中O为坐标原点)成等差数列，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由双曲线的性质可知，，，由等差中项的性质及双曲线参数关系即可求离心率.
【详解】
由题设知：，，成等差数列，
∴，又，
∴且，解得.
故答案为：.
24．已知抛物线的准线恰好与双曲线的右准线重合，双曲线的左准线与抛物线交于，两点，且双曲线的右顶点到左准线的距离等于线段的长，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据抛物线与双曲线的准线方程以及抛物线的通径长列式可得,再根据双曲线的离心率公式可得结果.
【详解】
抛物线的准线为，双曲线的右准线为，左准线为，在抛物线中，，
所以，消去得，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
25．已知F为双曲线的右焦点，过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若以为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．
【答案】
【分析】
由过双曲线焦点且垂直于x轴的直线，求出弦长AB，得出关于a，b，c的等式解得.
【详解】
设，把代入得，
，即点，，
而以AB为直径的圆过原点，则有，又，
，而e>1，解得.
故答案为：.
26．已知长方形，，，则以、为焦点，且过、的椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】
利用椭圆定义求出的值，并求出的值，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】
如图，，，
因为点在椭圆上，则，所以，椭圆的离心率为.
故答案为：.

27．已知抛物线上一点到焦点的距离为6，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】3
【分析】
利用抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的标准方程，进而可得出抛物线的准线方程，求出抛物线的准线与双曲线的渐近线所围成的三角形的面积，可得出，利用公式可求得结果.
【详解】
∵抛物线上一点到焦点的距离为6，
∴由抛物线定义知，即，其准线方程为，
而双曲线的两条渐近线方程为，
则与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为，
∴，即，∴，可得，
∴双曲线的离心率.
故答案为：3.
28．已知为双曲线的左焦点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，以原点为圆心的圆与直线相切，且切点恰为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得为线段的垂直平分线，再结合双曲线的对称性可得，从而得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
，
为的中点，又由已知，
为线段的垂直平分线，
，
，即，，
故答案为：2

29．已知双曲线C：（，），以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点，若，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】
根据题意，在中可得，可得点坐标为，代入双曲线方程即可得解.
【详解】

如图，根据题意，
根据圆的性质可得，
又，
所以，所以，
所以为等边三角形，
由可得点坐标为，
代入双曲线方程可得，
由，可得，
由双曲线的离心率，
所以解得，
故答案为：.
30．已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由已知有求出a、b，又，进而求双曲线的离心率.
【详解】
由题意，，渐近线方程为，
∴，解得，
∴.
故答案为：.























任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．如图，、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线的定义求出在中，，则由为等边三角形得，再利用余弦定理可得，从而可求出双曲线的离心率
【详解】
解：根据双曲线的定义可得，
因为为等边三角形，所以，
所以，
因为，所以，
因为在中，，，
所以，
即，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B
2．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)
【答案】D
【分析】
根据正弦定理的边角互化以及双曲线的定义可得，再由，代入上式，解不等式即可.
【详解】
，
，
，，
，
解得，
.
故选：D
3．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
双曲线的渐近线方程为，设点，可得，从而可求出点，的坐标，进而结合点在双曲线上，可表示出，则，从而可求出求出离心率的范围
【详解】
解：双曲线的渐近线方程：，
即，
设点，可得，
分别联立两组直线方程可得，，
，
∵，∴，
∴，由题意，
所以，即，
所以，即
∴.
故选：B.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点与双曲线的右支交于A，B两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意设，则，结合双曲线定义和已知条件，运用余弦定理求解t以及的值，即可求出双曲线离心率.
【详解】
解：设，则，
由双曲线的定义，可知，即有，
，
在中，由余弦定理可得，
解得t＝1，
则，
在中，由余弦定理可得，
解得，
所以．
故选：A
5．过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】
依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】
解：由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
6．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点(为坐标原点)，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用正弦定理求得，由此求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简求得离心率.
【详解】
，
所以，
所以，，在双曲线上，
所以，，
，
，
，两边除以得
，
解得，
所以.
故选：A
7．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）


A．6+ B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用双曲线与椭圆定义得到，进而两元换一元，利用导数判断单调性即得最值．
【详解】
连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形 ，

故.
由，，得.
令，代入上式得
故.
设，
由，得t=2，
当12时，，函数是增函数，
故t=2时，函数取得最小值，故．
故选：C.
8．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解.
【详解】
因为过的直线的倾斜角为，
所以直线斜率，
因为直线与双曲线右支交于，两点，
如图所示：

由图象知：，
所以，
又，
所以.
故选：A.
9．直线交双曲线于P，Q两点，M是双曲线C上一点，若直线MP与直线MQ的斜率之积是，则双曲线C的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】
首先设点，，，表示，再利用点在双曲线上，化简等式后，求双曲线的斜率.
【详解】
设，，，，，
.
故选:A.
10．已知双曲线的左、焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由切线的性质可得，运用向量共线定理可得，运用双曲线的定义可得，作，由三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理，化简整理，结合，，的关系和离心率公式，解方程可得所求值．
【详解】

由题意可知，，则，
又， ，
又，，
作，可得，，则．
在△中，，即，
即，可得．
又，化简可得，得，
解得．
故选：D
11．已知椭圆的左，右焦点分别是，，点是椭圆上一点，满足，若以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切，其中，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由两边平方，可得，由以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切，结合椭圆的定义列方程组可得和，再利用勾股定理解出离心率．
【详解】
由两边平方，可得，则，
由已知可得，
由，则
在中，由．
故选：C
12．已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，直线，为双曲线的两条渐近线，过点的直线与渐近线平行，且与双曲线交于点，若直线的斜率为直线的斜率的，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将直线于双曲线联立，得点的坐标，再由坐标表示斜率列方程求解即可.
【详解】
不妨设直线的方程为，联立，解得，
有，有，得，有，有，．
故选：B.
13．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为，，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，若，且，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，变形得到，即，设，，由，得到B的坐标，然后由点B在双曲线上求解.
【详解】
由已知得，设，
由，得，
轴，即，
不妨设点在第一象限，则.
设，由，得，
，
即，
点在双曲线上，
，
整理得，
，
解得或（负值舍去）.
故选：D
14．已知双曲线的左､右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得，且是等边三角形，所以，，再根据双曲线的定义得，由 即可求解.
【详解】
如图，设双曲线的半焦距为.
若，因为以原点为圆心，
为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，
所以，所以，
所以，所以，
又，则是等边三角形，
则，则，
再根据双曲线的定义得，得，
所以.

故选：D
15．已知椭圆，点为右焦点，为上顶点，平行于的直线交椭圆于，两点且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得直线的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.
【详解】
设，直线的斜率为
则
所以，由线段的中点为
所以
所以，又，所以，又
所以，∴，
故选：A.
16．已知点，分别是双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，得到为直角三角形，再由，结合双曲线定义得到，然后代入求解.
【详解】
因为，
所以，故为直角三角形，且，
∴.
由双曲线定义可得.
∵，
∴，
∵，
∴.
又，
整理得.
所以.
所以，
又，
所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B
17．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，与轴垂直的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由余弦定理可求出，利用双曲线定义可得，代入离心率公式，结合求值即可.
【详解】
由题意得，所以．设，则，连接，则．
由双曲线的定义得，
所以．
因为，
所以，所以，即双曲线的离心率的取值范围为，
故选：D
18．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦定理求出，即可得到，即，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：如下图所示：

因为，所以由余弦定理得，又，所以．因为分别为的平分线，所以，所以．由题意可知，点，则．
由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，解得或．因为，所以
故选：C．
19．设，，分别为椭圆的左、右焦点，经过点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，，与轴分别交于点，．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解法一 由，，求得A，B的坐标，进而得到D，E的坐标，然后利用求解；
解法二 由，，求得A，B的坐标，设，易得在轴上，且，再由，求得，，再由求解.
【详解】
解法一 由题意知，．
将代入椭圆的方程得，
解得，
不妨设，，
依题意知，分别为线段，的中点，
则点的坐标为，点E的坐标为，
故，．
由，得，
又，所以，
等式两边同除以并整理，得，
得，
故椭圆的离心率．
解法二 由题意知，．
将代入椭圆的方程，解得，
不妨设为坐标原点，，，
所以，
依题意知，分别为线段，的中点，
则，
由得．
如图所示：

设，易得在轴上，且，
所以，
所以，，
所以，即，
结合，得，
等式两边同除以得，，
所以，
故选：D．
20．设为双曲线的右焦点，过点且垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于，两点（，分别在一、四象限），和双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】
设，可得，，，根据，可得，从而可得，结合，利用即可求解.
【详解】
设，依题意，，，
由于是直线和双曲线的交点，因此可以求出，
故，，
由于，因此可以得到，
化简得，即，
再结合，得，于是离心率.

故选：A.
21．已知点A1，A2分别为双曲线C：的左、右顶点，直线y＝kx交双曲线于M，N两点，若•••4，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
设M（x0，y0），利用两点连线的斜率公式以及点M在双曲线上，可得，同理，代入等式求解即可．
【详解】
设M（x0，y0），则，
同理可得，所以，
即，所以双曲线C的离心率为．
故选：C
22．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设，则，根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理，建立方程求出，的关系进行求解即可.
【详解】
设，则，
，，
同理，，
，
，，
在，中，，
即，得，
有，，
在中，
由，
即，
得，即离心率，
故选：D.

23．已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出直线的方程，以及与渐近线方程联立，进而通过，转化求解双曲线的离心率.
【详解】
解：由题意可知，左焦点，直线的方程为：，与渐近线联立可得，，
因为，即，整理可得，
，即，则，
因为，解得.
故选：A.
24．已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意作出椭圆图象，结合图象可知，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图，设直线与圆相切于点，连接，

则，
椭圆的左右焦点分别为，，
轴，，，
，轴，，
，即，解得，
故选：A.
25．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为，不妨令，根据椭圆定义，得到，，再由，得到和都是直角三角形，由勾股定理求出，再由，化简整理，即可求出离心率.
【详解】
因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.

故选：C.
26．已知椭圆的左、右焦点分别为，，顺次连接上的四个点，，，，可以得到一个正方形，若，不落在正方形外侧，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设出第一象限内点的坐标，根据其坐标满足椭圆方程，结合，求解不等式即可.
【详解】
根据题意，不妨设点是椭圆在第一象限内的点，
根据椭圆和正方形的对称性，故可设其坐标为，
则，解得；
又，不落在正方形外侧，
故，即，代入，
可得，
不等式两边同除以，可整理化简为：
，
解得，又，故可得.
故选：.
27．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据若，则有成立，由求解.
【详解】
由题意得：，
所以，
所以，
解得.
故选：C
28．已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，.A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解.
【详解】
因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等），
所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或，
所以，或，.
不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，
由余弦定理得，
即，则，所以，则，所以.

故选：D
29．如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，可得，为则双曲线的实半轴），，又，，则，即可求椭圆的离心率．
【详解】
解：如图，设，则，，
，，为则双曲线的实半轴），
根据双曲线定义可得，，
在△中，满足，，
则，
则椭圆的离心率是．
故选：C．

30．已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接､，是的内心，
可得､分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又因为，所以椭圆的离心率.
故选：A.


第II卷（非选择题）

二、填空题
31．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________．
【答案】
【分析】
由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围．
【详解】
由已知可得，且四边形为矩形．

所以，
又因为，所以．
得离心率．
因为，所以，可得，
从而．
故答案为：
32．已知双曲线：（，）与抛物线：（）有共同的一焦点，过的左焦点且与曲线相切的直线恰与的一渐近线平行，则的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由题意可得过左焦点的直线为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，由可求得，再由直线与抛物线的渐近线平行，可得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
由题意得，双曲线右焦点为，则，
由双曲线的方程得其渐近线方程为，
设过左焦点的直线为，
由，得，
因为直线与抛物线相切，所以，
即，解得，
因为直线与抛物线的渐近线平行，所以，
所以，
故答案为：
33．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．
【答案】
【分析】
由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，
所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.

34．已知双曲线的右焦点为F，焦距为4，双曲线C的一条渐近线将以F为圆心，OF为半径的圆的圆周分成两段长度之比为的弧，其中为坐标原点，则双曲线C的离心率是___________.
【答案】
【分析】
画出图形，结合题意计算圆心到直线的距离，即可计算出双曲线的离心率.
【详解】
设双曲线的一条渐近线与圆交、两点，因为渐近线将圆周分为两份，所以，设点为过点向渐近线作垂线的垂足，则渐近线为，且点为双曲线的焦点，，则焦点到渐近线的距离，，为等腰三角形，也是的角平分线，
，则，故，又因为双曲线焦距为，即，，故，，则离心率.

故答案为：
35．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在直线上，直线交椭圆于点，若，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
设，，根据比值关系可得，代入可得，由，整理即可得解.
【详解】
由题意可得：，，设，
由，可得，
代入可得：，解得，
，
整理可得：，
所以，
所以或（舍）
故答案为：.
36．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，垂线交该双曲线的一条渐近线于点，在另一条渐近线上取一点，使得，若，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】
根据得到，设直线的方程为，与另一条渐近线方程联立，求得点B，再由求解.
【详解】
设双曲线的半焦距为，且不妨设.
由知，，
所以直线的方程为，
由，解得，
又，
所以，
解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
37．已知双曲线：，过下焦点作斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第一象限，若 （为坐标原点），则双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】
设直线的方程为，与双曲线的渐近线方程联立，求得点A的坐标，再由由求解.
【详解】
设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
由，解得，
所以，
由，，
化简得
整理得，
所以，即，
所以离心率.
故答案为：
38．已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是________．
【答案】
【分析】
设右焦点为，设直线的方程为：，设，，利用几何性质可得，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得，求出的坐标后代入椭圆方程可求离心率.
【详解】

解：设右焦点为，由题意可得直线的方程为：，设，，
连接，，因为，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
整理得到即，
故，
所以可得，代入直线的方程可得，
将的坐标代入椭圆的方程可得：，
整理可得：，即，
解得：，由椭圆的离心率，
所以，
故答案为：．
39．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为右支上任意一点，若的最大值为2，则双曲线离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
根据双曲线的定义得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
根据双曲线的定义有，即．
令，则，
当且仅当时，取得最大值2，即，所以双曲线离心率的取值范围是．
故答案为：.
40．设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解.
【详解】
椭圆的焦点为，
在中，由正弦定理得：，
解得，，
设，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以，
又，
所以，
整理得，即，
解得或（舍去）
故答案为：






任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，.A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解.
【详解】
因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等），
所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或，
所以，或，.
不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，
由余弦定理得，
即，则，所以，则，所以.

故选：D
2．已知双曲线的左顶点与右焦点分别为，.若点为的右支上（不包括的右顶点）的动点，且满足恒成立，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
取轴的情况，根据角度关系可求得，由此得到，从而构造出关于的齐次方程求得离心率，，再验证一般情况下当时，，即可
【详解】

为右支上动点，且满足恒成立，
不妨取轴，则，，
解得：，，
又为双曲线半通径，，且，
，即，，
，解得：.
当时，，设
，又

故



，故得证
故选：
3．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用椭圆和双曲线的定义把，用长半轴长和实半轴长表示，再用余弦定理求得与的关系，从而得的等式，结合已知可求得．
【详解】
设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，
则，解得，
中由余弦定理得，即，
所以，
，，又，，所以，
，所以．
故选：B．
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、分别为双曲线的左、右顶点，过作直线，在直线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由关于的方程有实数解，转化为一元二次方程，利用得的范围，在此范围内取最大值时，求方程的解，满足题意即可得．
【详解】
由已知，，
，
整理得，
令，则（*），由题意此方程有正数解．
首先，，解得，
，
当时，
方程（*）化为，，满足题意．
所以的最大值为．
故选：D．
5．若是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由点差法和直线的斜率公式，推得的关系，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
设，，则，
由题可知，，
两式相减得：，即
又，即
所以双曲线的离心率为
故选：A
6．已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，由双曲线定义和椭圆定义可求得关系，从而得离心率．
【详解】
设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，设，
则，，
又，所以，，
由余弦定理得，即，
，，
所以，，
所以椭圆离心率为．
故选：B．
7．已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
写出直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，结合条件，求得A，B的横坐标，代入到韦达定理中的中，化简求得a与c的关系，从而求得离心率.
【详解】
由题知，直线的方程为，设，，
联立，整理得，
则，
又，则，
则，结合韦达定理知，
，，
则，
整理得，则离心率
故选：C
8．已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接､，是的内心，
可得､分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又因为，所以椭圆的离心率.
故选：A.

9．设，分别是椭圆E：的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.
【详解】
由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
代入可得
所以，
由，
所以整理可得：消去 得：
所以，即
可得：.
故选：D.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】
解法一：根据题意结合双曲线的定义得，设，进而根据等面积法得，根据向量关系得，代入双曲线方程整理得，解方程即可得答案；
解法二：设为坐标原点，由题得∽，所以，设得，故，再结合得，故，进而得答案.
【详解】
解法一： 由题意知，，
所以．
设，则，
所以．
因为，所以，
将代入双曲线方程，
整理得，解得或，
因为，所以.
故选:C．
解法二 ：设为坐标原点，
由题得∽，所以，
设，因为，
所以，则，得．
又，
所以，
所以，得，
所以.
故选:C．
11．已知是椭圆上任意一点，是椭圆的上顶点，总成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角代换法，结合正弦函数的性质、椭圆离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由，可令，
因为是椭圆的上顶点，所以，
，
化简为：
，
因为，所以，即，
又因为，总成立，
所以，
即，
故选：A
12．设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设左焦点为，根据椭圆定义，可得，设，则由可得，整理得，根据可求.
【详解】
为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，则也在椭圆上，
设左焦点为，则根据椭圆定义，
又，，
是的斜边中点，，
设，则，，
，，
即，
，，
，.
故选：C.
13．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，以为直径的圆交双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆的性质可得，根据勾股定理可得，结合双曲线的定义可得，令，可得，结合已知可求出，结合导数的知识可求出的取值范围，从而可选出正确答案.
【详解】
解析：∵是以为圆心，以为直径的圆与双曲线右支的交点，∴，
∴，．∵，
∴．
∵，∴．
设，则，
令，，
∴时，，则在上单调递增，
∴，∴，∴．

故选:C.
14．已知双曲线，直线与双曲线交于A、B两点（点A在第一象限），若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据条件求得点A的坐标，再根据点在曲线上找到关于的等量关系式，化简求得，最后求出双曲线的离心率.
【详解】
因为直线与双曲线交于A、B两点，且，
设直线的倾斜角为，所以，
所以，
，
所以，
又点A在双曲线上，则，
化简得：，所以，
故选：A

15．已知双曲线为左右焦点，为坐标平面上一点，若为等腰直角三角形且的中点在该曲线上，则双曲线离心率的可能值中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分为斜边或为直角边，两种情况分别设出点的坐标，利用中点坐标在双曲线方程上，代入曲线方程，构造齐次方程，求双曲线的离心率.
【详解】
当为斜边时，由题意，点在轴上，不妨设，，，
此时，且，线段的中点坐标为，代入双曲线方程，
则，即，，
整理得，得
解得：，，；
当为直角边时，不妨设，，，
此时，，
则线段的中点坐标为，代入双曲线方程，
，，整理得，
即，解得： ，，；
，双曲线离心率的可能值中最小的是.
故选：A
16．已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法，设，，，则，，两式相减，化简可得，设，过作轴，垂足为，从而结合已知条件可得，将其代入椭圆方程化简可求得结果
【详解】
设，，，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．设，则，过作轴，垂足为，则，，由题易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．
故选：B
17．设为双曲线上任意一点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点．若的面积为4，则双曲线D的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意判断是平行四边形，结合平行四边形的面积公式、平行线间距离公式、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】
设，设过点与双曲线渐近线平行的直线交双曲线渐近线于点，过点与双曲线渐近线平行的直线交双曲线渐近线于点，
因此是平行四边形，因为的面积为4，所以平行四边形的面积为8，过点与双曲线渐近线平行的直线为，于是有：
，
过点与双曲线渐近线平行的直线为：
，与直线的距离为：
，而，
于是有：，
而，所以
因为在双曲线上，所以，
解得，因此，
故离心率为
18．已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设的中点为，中垂线与轴交于点，将代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出点坐标，由此可得直线方程，求得点坐标，由在线段上可构造的齐次不等式求得结果.
【详解】
设的中点为，中垂线与轴交于点，

设，，
由得：，
，，
，
，，直线方程为：，
令，解得：，即，
在线段上，，整理可得：，即，
又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：A.
19．过点的两条直线，分别与双曲线：相交于点，和点，，满足，（且）.若直线的斜率，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设，由，，可得，，再利用点差法可得，，从而可得，进而可求出离心率
【详解】
解：设，
则,
因为，，所以∥，所以，
所以，，
所以 ，
所以，
因为，，
所以，所以，
所以，则
同理得，，则
所以，
因为且，所以，即
所以离心率，
故选：D
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，，则当时，双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，则，由双曲线的定义和可得，，从而可得，进而可求出离心率的取值范围
【详解】
由题意可设，则，则由双曲线的定义得①.
由得，即②.
由①②得.
易知函数在上单调递增，则当时，，
所以，即，
故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题
21．已知椭圆，，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得.
【详解】
设，
则，
因为，
当即时，，
所以，，
所以，
即
，显然该不等式不成立，
当，即时，，恒成立，
由，得，所以
综上，离心率的范围为.
故答案为：
22．已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2
【分析】
由双曲线的定义知，，再根据得，进而根据相似关系得，，，再结合双曲线的定义得，故，进而得答案.
【详解】
由双曲线的性质，可知，.
因为，所以，.
又，且，
所以，
所以，
所以，.
因为，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
23．已知双曲线：的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为，两点（点位于点与点之间），且，又过点作于（点为坐标原点），且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】
设，，，由解得，从而求出、、，由，表示出，得到，求出离心率.
【详解】
双曲线：的渐近线方程为，
如图所示，设，，，

，，
由，得，解得.
又点到直线的距离，，
∴，则，
又，∴.
所以，即，∴.
故答案为：.
24．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线的左、右焦点分别与椭圆的左、右顶点、重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且、、三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】
设的中点为，连接，求出直线、的方程，求得点、的方程，利用双曲线的定义求得双曲线的实轴长和焦距，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
因为椭圆的短轴长为，所以，.
设的中点为，连接，、分别为、的中点，则，

设点，则，可得，
，，则，
所以，，，
又，所以，解得，
所以直线的方程为，而直线的方程为，
联立得解得，所以的坐标为，的坐标为.
又双曲线的左、右焦点分别为、，
所以根据双曲线的定义，
得双曲线的实轴长，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
25．已知双曲线：的斜率为正的渐近线为，若曲线：上存在不同3点到的距离为1，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
已知：，曲线：表示以点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含端点），点到直线的距离，曲线：的一个端点到直线的距离，等价于且即，解不等式即得解.
【详解】
由题意知：，曲线：即，表示以点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含端点）．
点到直线的距离，
曲线的一个端点到直线的距离．
因为曲线：上存在不同3点到的距离为l，所以且，
整理得，故，则，
所以，即，得．
故答案为：

26．已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点．若，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】
联立直线和双曲线方程可得，的坐标，以及，直角三角形的性质可得，设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得的横坐标，由弦长公式，化简计算可得，进而得到所求离心率．
【详解】
解：联立直线和双曲线方程可得，，
可设，，
可得，
在直角三角形中，，
可得，
设直线的方程为，
代入双曲线方程可得，
可得，
即有
，
可得，
即为，
可得，．
故答案为：．
27．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，（为坐标原点）．若直线与的左支有交点，则的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】
设位于第四象限，可知，设，由和在双曲线上可构造方程组求得点坐标，由此表示出，由化简可得，根据可求得结果.
【详解】
由双曲线方程知其渐近线方程为：；
不妨设位于第四象限，则若直线与的左支有交点，则；
设，由得：，又，
，，，
，即，，
整理可得：，即，，
，即的离心率的取值范围为.
故答案为：.
28．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.
【详解】

∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即

又∵，
∴四边形为矩形
∴
则

在中，
∵，∴
∵ ∴
∵A在第一象限，∴
∴
∴
令，则有


，即
故答案为：
29．过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围___________．
【答案】
【分析】
根据已知条件确定，，的坐标，要使是锐角三角形，有且，结合向量数量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a、c的齐次不等式组，求离心率范围.
【详解】
由题意知：，，不妨假设，
∵是锐角三角形，
∴，即，且，
∴，整理得，解得，
故答案为：

30．如图，椭圆：=1(a>b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．

【答案】
【分析】
由已知得，设直线的斜率为，则联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，根据向量垂直的关系建立关于不等式，可求得离心率的范围．
【详解】
因为点是上第一象限内任意一点，故为锐角且，所以，
设直线的斜率为，则
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故，即，即．
故答案为：．