新高考数学二轮复习百题必刷题专题32 导数几何意义问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习百题必刷题专题32 导数几何意义问题（含解析），共97页。试卷主要包含了曲线在点处的切线方程是，曲线在处的切线的倾斜角为，则等内容，欢迎下载使用。

专题32 导数几何意义问题必刷100题
类型一:求在曲线上一点的切线方程1-10题
1．已知，则在曲线上一点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为点在曲线上，所以，于是，
所以，，，
故切线方程为，即.
故选：A
2．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的奇偶性，可得，然后分别求得，最后可得直线方程.
【详解】
由函数为奇函数
所以
由
所以
所以，则
所以
所以所求切线方程为，即
故选：B
3．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为点在曲线上，解得，，
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为.
即.
故选：D
4．已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程，设函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，再求出切点的坐标，即得解.
【详解】
解：由已知得，，因为是奇函数，所以，又因为，所以，，
所以的图象在点处的切线方程为.
故选：A
5．曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.
【详解】
，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
6．已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用函数为奇函数可得，求导可求解，，即得解
【详解】
当时，，
则，
此时，
则，则，，
所求切线方程为，即.
故选：D
7．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.
【详解】
，.
.
将代入，得，
，，
在处的切线斜率为，
函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
8．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】
当时，，又因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
因为与两坐标轴的交点坐标为和，
所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
故选：B.
9．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，表示出切线方程，再求出的表达式，最后借助导数即可作答.
【详解】
由求导得：，于是得，
函数图象在点处的切线方程为，
整理得：，从而得，，
令，则，当时，，当时，，
于是得在上单调递减，在上单调递增，则，
所以的最小值为.
故选：D
10．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求，结合已知根据导数的几何意义可得，即对任意恒成立，再利用基本不等式求出即可.
【详解】
因为，所以，
因为曲线在处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，
所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，
所以，又，当且仅当，即时，等号成立，
故，所以的取值范围是.
故选：C

类型二:求过一点的切线方程1-10题
1．函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.
【详解】
设切点为
因为

因此切线方程为
故选：D
2．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，进而可求得直线的斜率.
【详解】
设切点坐标为，，，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
3．己知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求切线的斜率，再由数形结合，求实数k的取值范围.
【详解】
由题知，设切点为，则切线方程为．将代入可得，故与（）相切时，
,，故由两函数的图象有两个不同交点可得，即，

故选:A．
4．已知曲线的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】A
【分析】
设切点为，然后求出曲线在切点处的切线方程为，然后把坐标原点代入即可解出答案.
【详解】
设切点为，由，得，
∴，则曲线在切点处的切线方程为，
把坐标原点代入，可得，解得，
∴所求切线的斜率为.
故选：A.
5．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设切点为，可得切线为，所以，设，则与图象有两个交点，讨论时由单调性可知不符合题意，当时，由导数判断的单调性以及最值，数形结合即可求解.
【详解】
设切点为，
由可得，则切线方程为，
因为点在切线上，所以，所以，
若过点可以作曲线的两条切线，则有两解，
设，可得，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
至多一解，所以不符合题意，
当时，由可得；由可得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当趋近于时，趋近于；
当趋近于时，趋近于；
所以若与图象有两个交点，可得即，
所以若过点可以作曲线的两条切线，则，
故选：C.
6．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
7．已知.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是___________.
【答案】或
【分析】
求导函数设切点坐标为，写出切线方程并代入点得，由于有两条切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求解．
【详解】
由题得，设切点坐标为，
则切线方程为，
又切线过点，可得，
整理得，
因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且
若，则，为两个重根，不成立
即满足，解得或．
故的取值范围是或
故答案为：或
8．已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．
【答案】
【分析】
对函数求导，设切点坐标，表示出与，根据导数的几何意义写出切线方程，且该直线过点，代入求解出的值，即可得切线方程.
【详解】
，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.
故答案为：
9．已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】
设切点坐标为，利用导数求出切线方程，由切线过原点求得的值，可得出切线的斜率，进而得出，由此可得出双曲线的离心率为.
【详解】
设切点坐标为，对于函数求导得，
所以，曲线在处的切线方程为，
由于该切线过原点，则，解得.
所以，切线的斜率为，所以，该双曲线的离心率为.
故答案为：.
10．设函数，若为奇函数，则过点且与曲线相切的直线方程为________.
【答案】
【分析】
根据函数是奇函数，构造求出值.再另设切点，求出切线方程，将代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.
【详解】
∵函数为奇函数，
∴，
∴.解得，
∴，
∴.
设切点为，则.
设切线方程为.
∵，
∴.
∵该直线过点，
∴，
解得，
∴，，
∴所求直线方程为，
即.
故答案为：.















类型三:距离问题1-10题
1．已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
法一：利用抛物线定义求抛物线方程，设，结合点线距离公式得到关于t的函数，求最值即可；法二：利用导数求与平行且与抛物线相切的直线，根据平行线的距离公式求点线距离最小值；法三：设平行于且与抛物线相切的直线方程，联立抛物线应用方程法求参数，写出切线方程，进而求距离.
【详解】
法一：抛物线的准线为，由抛物线的定义知：，解得，
∴抛物线的方程为．设，
点到直线的距离，当且仅当时等号成立.
法二：如图，当点到直线的距离最小时，抛物线在点处的切线与平行，
设切点的横坐标为，由，得，则，即
∴抛物线上的点到直线距离最小的点是，此时点到直线的距离为．

法三：设与抛物线相切且与直线平行的直线为，
由，整理得
由，则到直线的最小距离为.
故选：B．
2．点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）
A．5或 B．1或3 C．1 D．5
【答案】D
【分析】
在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案.
【详解】
过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，
因为，于是，所以，∴，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或，
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.
故选：D．

3．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合图像，当与直线平行的直线与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，计算可得点的坐标，从而算出答案.
【详解】
如图可知，当与直线平行的直线与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，

设与直线平行的直线与曲线相切于点时，
又，即得，
所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为.
故选：B
4．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.
【详解】
设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
5．曲线在点（1,1）处的切线为，则上的点到圆上的点的最近距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义,求出切线方程,然后根据直线和圆的位置关系即可得到结论.
【详解】
,
,
在点处的切线为l的斜率,
切线方程为,
即,
圆的标准方程为,
圆心,半径.
则圆心到直线的距离,
上的点到圆上的点的最近距离是,
故答案为.
6．在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是____________.
【答案】
【分析】
画出函数的大致图象和直线，数形结合可知，当直线的平行直线与曲线相切时，切点到直线的距离最小，由点线距公式可得最小值.
【详解】
设，则，
令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
如图，画出函数大致图象以及直线，
当直线的平行直线与曲线相切时，切点P到直线的距离最小.
设切点，切线斜率为，
由，解得，即点.
则点到直线的距离.
故答案为：.


7．设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____.
【答案】2
【分析】
设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.
【详解】
设P（），
由yx2﹣2，得，
∴，
则C在点P处的切线方程为：，
整理得：.
∴坐标原点O到l距离d
.
当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.
∴坐标原点O到l距离的最小值为2.
故答案为：2.
8．设为图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为_______.
【答案】2
【分析】
设出切点P的坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，利用点到直线的距离公式写出坐标原点到直线的距离，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，设点，
由函数，可得，所以，
所以曲线C在点P处的切线方程为，
整理得切线的方程为，
又由坐标原点到直线的距离
，当且仅当时，即时等号成立，
所以坐标原点到直线的最小值为2.
故答案为：2.
9．曲线在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆上的点的最近距离是________．
【答案】
【分析】
可得曲线在点（1，1）处的切线方程，可得圆心到直线的距离即为l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离，由点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
解：∵y=f（x）=，
∴f'（x）=
∴在点（1，1）处的切线为l的斜率k=﹣1，
∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0，
圆的标准方程为（x+2）2+y2=1，
∴圆心A（﹣2，0），半径r=1．
则圆心到直线x+y﹣2=0的距离d=，
∴l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是d﹣r=，
故答案为．
10．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
【答案】
【详解】
试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，
圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，
根据新定义可知，曲线到直线的距离为，
对函数求导得，令，
故曲线在处的切线方程为，即，
于是曲线到直线的距离为，则有，
解得或，
当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.
综上所述，.













类型四:零点问题1-10题
1．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件得直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象，结合导数的几何意义，数形结合即可得解.
【详解】
有四个交点，作出的图象，结合过定点，则直线应在过此点的切线以及原点的直线之间，过原点时斜率为；当直线与曲线相切时，由，设切点，则切线斜率为，得故，所以，则切线斜率为，故.
故选：B


2．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.

当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时.
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.
3．已知，若存在实数，使得在上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由可得，令，则，
由题意可得与的图象有2个交点，作出的图象，求在点处的切线的方程求得临界值即可求解.
【详解】
由可得：，
令，则，
若在上有2个零点，
则与的图象有2个交点，
作出其图象如图所示：由可得，
当时，，，
所以在处的切线的方程为，
即，所以，
因为，
所以，的取值范围为，
故选：A.

4．已知函数且关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化关于的方程有三个不等实根为有三个不同的交点，分，讨论，当时，考虑临界状况，与相切，分析即得解
【详解】

由题意，关于的方程有三个不等实根，可转化为有三个不同的交点
结合图像，当时显然不成立；
当时，考虑临界状况，与相切
设切点为，
由于
从而切线方程为：，由于直线过原点
故

数形结合可知，当，即时，有三个不同的交点
即关于的方程有三个不等实根
故选：
5．已知函数，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，即，则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，作出函数与函数的图象，根据题意结合图形列出不等式组，解之即可得出答案.
【详解】
解：令，即，
则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，
作出函数与函数的图象，如图所示，
当直线与曲线相切时，
又当时，，则，则，则，即且点为，此时，
因为存在3个零点，即函数与函数的图象有3个交点，
所以，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D.

6．已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为，所以函数的图像关于直线对称.
当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.
当时，函数，，
设切点为，切线的斜率，
则切线方程为，把点代入得，所以；
当直线过点时，，
所以的取值范围为，
故选：C.

7．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
可看作的图象有2个交点，分别判断与单调性，画出图象，当与相切时，设切点为，利用，
，可得，从而，再利用图象平移可得答案.
【详解】
函数有两个不同的零点，则有两个解，
令，则与有2个交点，
，
当时，单调递减，当时，单调递增，
由得单调递增，
图象如下，

当与相切时，设切点为，，
同时，得，即，
，又，，

所以，此时，所以，
当时，可看作的图象向右平移，此时与必有2个交点，当时，图象向左平移二者必然无交点，
综上.
故选：D.
8．定义在上的函数满足，且时，.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把方程问题转化为函数图像交点问题，求出临界值即：函数图像和直线相切时的值，结合的性质以及函数对称性，即可得解.
【详解】

当时，令，则.即
时，单调递增.时，单调递减.且.
若关于的方程有三个不相等的实数根，
如图，当时，设过点做曲线的切线交曲线于点，
切线方程为：切线由过点，
则，
又∵在时单调递减.
∴，切线的斜率为，∴
由对称性知：.
故选：D
9．已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出的图象，函数有两个零点，即与有两个交点，根据图象，利用数形结合即可求解结果.
【详解】
作出的图象，如图所示，

当与相切时，设切点为，
则有，解得，
所以相切时的斜率；
将函数的图象顺时针旋转，
当时，与有2个交点，满足题意；
当时，与有3个交点，不满足题意；
当时，与有1个交点，不满足题意；
当时，与有0个或1个交点，不满足题意.
故选：D.
10．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意作出的图象，将恰有一个零点转化为“的图象仅有一个交点”，根据与图象相切计算出临界值，由此求得的取值范围.
【详解】
在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：

由图可知，当时，均过点，且仅有此一个交点，故满足；
当时，考虑与相切，设切点为，
所以，所以满足，
结合图象可知，若要仅有一个交点，则，
综上可知：，
故选：B.










类型五:求参数问题1-10题
1．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出函数的图象，由题意可得在的图象的上方，分别讨论、、，结合图象的平移，以及导数的几何意义即可求解.
【详解】
作出函数的图象，
由不等式对任意的恒成立，
可得的图象不在的图象的上方，
且的图象关于直线对称，
当时，由图象可知不满足题意；
当时，对任意的恒成立，满足题意；
当时，当的图象与的图象相切，即有为切线，
由可得，
设切点为，可得切线的斜率为，则，
所以，所以，解得：，
则时，满足题意.
综上可得，实数的取值范围是.
故选：.

2．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由曲线与有一条斜率为2的公切线，求得切线方程，求出的导数，利用切线斜率求得切点的横坐标，代入求得切点坐标，再代入切线方程即可求得的值.
【详解】
由，由点斜式得切线方程：，
对曲线，，
代入得，，
将代入，
得：.
故选：A.
3．已知的最小值为0，则正实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
转化为的图象在函数的图象的上方相切，利用两个函数的图象以及导数的几何意义可求得结果.
【详解】
因为函数的最小值为0，
所以的图象在函数的图象的上方相切，

因为，所以的图象与轴的交点在轴负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线 与在内的图象相切，
设切点为，因为，所以，即，
因为，所以，所以，
由得.
故选：C
4．已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意求得，代入函数解析式，把问题转化为恒成立，对分类讨论，分离参数，再由导数求最值得答案．
【详解】
解：因为，所以，
又函数的图象在处的切线方程为，
所以，
解得，所以，
因为恒成立，所以恒成立．
当时，成立．
当时，令，则．
当时，，
在和上单调递减．
当时，，单调递增，
当时，恒成立，
所以；
当时，恒成立，
而，所以．
综上，，所以m的取值范围为．
故选：A
5．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
【详解】
在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
6．若曲线上存在两条垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出原函数的导函数，令，得到，然后将问题转化为在上有两个不同的解，再构造函数，求出的取值范围，即可得到的取值范围．
【详解】
由，得，
令，则，
曲线存在两条垂直于轴的切线，
在上有两个不同的解．
令，则．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又当时，，．
的取值范围为．
故选：．
7．若函数图象上任意一点的切线斜率均大于，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
分析可知，不等式对任意的恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】
，则，
由题意可知，对任意的，，则，
由基本不等式可知，当时，，当且仅当时，等号成立.
所以，，即实数的取值范围是.
故答案为：.
8．设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
首先由导数的几何意义可知切线的斜率，将切点代入切线方程可得的值，即可得有两个不等实根，转化为与图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
由可得，
在点处的切线斜率为，所以，
将点代入可得，
所以方程即有两个不等实根，
等价于与图象有两个不同的交点，
作的图象如图所示：

由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，
故答案为：
9．已知k为常数，函数，若关于x的函数有4个零点，则实数k的取值范围为________.
【答案】
【分析】
将x的函数有4个零点，转化为与有4个不同的交点，然后利用数形结合法求解.
【详解】
因为函数有4个零点，
所以与有4个不同的交点，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：

当时，单调递减，
与有一个交点，则；
所以当时，有3个交点，
求出与相切时的k值，
当时，设切点为，
所以，则，
所以切线方程为，
又因为点在切线上，
所以则，
解得，
所以，
由图像知有4个零点，
则，
故答案为：
10．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________.
【答案】1或
【分析】
分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案．
【详解】
设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或．
















类型六:导数几何意义综合压轴小题1-50题
一、单选题
1．过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.
【详解】
抛物线，即，则由切线斜率，
设切点，则，又，
所以切线方程为，即 ，
同理切线方程为，
两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，
故.
故选：C.
2．关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图象在处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义可判断A选项的正误；利用导数与极值的关系可判断B选项的正误，利用导数与函数最值的关系可判断C选项的正误；利用导数研究函数的单调性，由此解不等式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，所以，，，
所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，当时，对任意的，，
此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误；
对于C选项，当时，，该函数的定义域为，
.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则对任意的恒成立，
所以，函数为上的增函数，
由可得，所以，，
解得，D选项正确.
故选：B.
3．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（ ）(为自然对数的底)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为关于轴对称的函数为转化为与的图象有交点，即方程有解，对、、进行讨论可得答案.
【详解】
因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意；
时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，
综上可得，实数的取值范围为.

故选：C.
4．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.


故选：D.
5．已知直线与函数的图象有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，如要仅有两个公共点，如图直线与曲线在第二象限有一个交点横坐标为，在第四象限有一个切点横坐标为，根据导数可得即可得解.
【详解】

由题知，直线与曲线在第二象限有一个交点，
在第四象限有一个切点，由切点在切线上，切点在曲线上，
曲线在切点的斜率等于曲线在切点的导数值知
，可得，
故选：A．
6．一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解.
【详解】
设弦所在直线的方程为，，
所以联立方程得，
所以，解得
，
所以，
所以点的坐标为，
所以联立方程得，
此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得，
所以点的切线的斜率为.
故选：C
7．已知函数，若曲线在点处的切线经过原点，则的值为（ ）
A．-2 B．3
C．-1 D．-3
【答案】B
【分析】
求得导数，得到及，求得曲线的切线方程，结合切线经过原点，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，函数，则，
所以，又由，
所以曲线在点处的切线方程为，
因为切线经过原点，可得，解得．
故选：B.
8．已知偶函数满足，且在处的导数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件可得是周期为4的函数，即可求出，得出切线方程.
【详解】
由条件知，所以，
从而，即函数的周期为4.
在中，令得，所以，
又，所以曲线在处的切线方程为，
即.
故选：A.
9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，若，是函数的两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，根据题中条件，利用导数的几何意义求出；不妨令，结合图象与函数零点存在定理，确定与的范围，从而可得出结果.
【详解】
由得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，则，所以，
令，则，
作出和的图象，可知恰有两个交点，

因为零点为，，不妨令，则，，
故有，即．
又，，可得，所以；
又（因为，所以，又，所以，即，所以，因此）
，所以；即；
而，确定右边界，
所以
因此，，．
即ABD都错，只有C选项正确.
故选：C．
10．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把函数有两个零点，转化为函数的图象与的图象有两个不同交点，利用导数研究的单调性，作出的大致形状，求出过原点与曲线相切的直线的斜率，则答案可求．
【详解】
解：函数有两个零点，也就是方程有两个不等实数根，
即函数的图象与的图象有两个不同交点，
由，得，
当时，，当时，．
在上为增函数，在上为减函数，
作出函数与的图象如图：
设过原点的直线与相切于，
则，则切线方程为．
把代入，可得，解得．
切点坐标为,．
则原点与切点连线的斜率为．
则函数有两个零点的实数的取值范围是．
故选：C．

11．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，若点，分别在，的图象上，则当取最大值时，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
与关于直线对称，所以问题转化为与有公共点，求得的最大值为，设直线与函数的图象相切，利用导数的几何意义求得切线方程，的最下值就是平行线的距离.
【详解】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有实数解，即有实数解，令，则，所以当时，；当时，，故时，取得极大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值为，
此时，设直线与函数的图象相切于点，如图，因为，所以，所以，解得，所以切线方程为，易求得平行线与
之间的距离为，即的最小值为.

故选：D.
12．已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，将题干条件转化为函数与的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数与的图象，分别讨论和时交点个数，再求当时，函数与的图象相切，求得临界的斜率k，结合图象分析，即可得答案.
【详解】
由题意有4个零点，即有4个零点.
设，则恒过点，所以函数与的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图.

由图象可知，当函数过点和时，即时，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，函数与的图象至多有2个交点
当时，若函数与的图象相切时，设切点为，则，
所以，所以，解得，
所以，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，两函数图象至多有两个交点.
所以若要使函数有4个零点，则.
故选：C.
13．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.
【详解】
由题意得
设切点坐标为：，
则过原点的切线斜率：，
整理得：，
存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，
设，，则问题等价于与存在两个不同的交点
又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
的大致图象如下：

若与存在两个不同的交点，则，
解得：
故选：B
14．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.
【详解】
设过点的直线为，
，设切点为，
则 ，得有三个解，
令，，
当，得或，，得，
所以在，单调递增，单调递减，
又，，有三个解，
得，即.
故选：D
15．已知函数，方程恰有两个根，记较大的根为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将方程的根转化为两个函数图像的交点问题，结合导数知识求取切线方程，再结合三角计算可得.
【详解】
如图所示：

函数的图像与恰有两个交点，且最大的根为，则函数在处的切线为，显然，当时，则，切点坐标为
所以由点斜式得切线方程为即
所以得，

故选：D
16．已知函数，若方程有且仅有两个不同的解，则实数m的值为（ ）
A．2e B．4e C．6e D．8e
【答案】A
【分析】
设，判断为偶函数，只需满足时，有个零点，即，转化为，相切，设切点为，利用导数求出切线的斜率即可.
【详解】
解：设，可得，即有为偶函数，

由题意考虑时，有个零点，
当时，，，
即有时，，
由，可得，
由，相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，可得，
解得或舍去，
即切线的斜率为2e，
故选：A
17．若关于的方程恰有三个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
原题等价于方程恰好有三个不同的解，作出函数的图象，观察图象即可得解.
【详解】
方程，即恰有三个不同的解，即函数与有三个不同的交点.
函数的图象是顶点在直线的“V”型函数；
函数，得斜率为-1的切线的切点，，即切线为和，故与相切于点；
函数，得斜率为-1的切线的切点，，即切线为和，故与相切于点；
作图，，如下：

由图象可知，沿直线在之间滑动时与有三个不同的交点，故.
故选：B.
18．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，的图象在处切线垂直于y轴，且，则当取最小正数时，不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，导数的几何意义求得的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，求得不等式的解集．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数的图象，
的图象在处切线垂直于y轴，即的图象在处切线斜率为零，
由 得，则 若取=，此时，，．
此时，，不满足条件．
若取，，，
满足条件．
则当取最小正数时，不等式，
即，故，求得．
由于函数的周期为，故，即．
故不等式的解集为，
故选：C．
19．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
先设切点写出曲线的切线方程，得出、的值，再利用构造函数利用导数求的最大值即可.
【详解】
解：由题得，设切点，，则，；
则切线方程为：，
即，又因为，
所以，，
则，
令，则，
则有，；，，即在上递增，在上递减，
所以时，取最大值，
即的最大值为.
故选：C.
20．已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数的图像，和函数的图像.


由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
21．过直线上一点可以作曲线两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】
由题意得，设切点为，
，
则过点的切线方程为，整理得
由点在切线上，则，即
因为过直线上一点可以作曲线两条切线
所以关于的方程有两个不等的实数根
即函数与函数的图象有两个交点


则函数在上单调递增，在上单调递减，且
时，；时，
则函数与函数的图象如下图所示

由图可知，
故选：C
22．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求导得，令，，转化条件为要使函数、的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得；数形结合可得当时，函数单调递减，且，即可得、，即可得解.
【详解】
因为，
所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，
令，，则要使函数、的图象有两个不同交点，
易知直线恒过点，，
在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，

当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，所以，，
所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，
所以若要使函数有两个极值点，则，故A、B错误；
当时，由图象可得当时，，函数单调递减，
且，
所以， ，故C正确，D错误.
故选：C.
23．若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设曲线与的公共点为，，利用解得或，又，且，则．再由，得到．设，再由导数求最值得答案．
【详解】
解：设曲线与的公共点为，，
，，
，则，
解得或，
又，且，则．
，
，．
设， ，
令，得．
当时，；
当时，．
的最大值为．
故选：．
24．已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
转化条件得函数的图象与直线有个交点，结合导数可作出函数的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解.
【详解】
因为方程有4个不同的实数根，
所以函数的图象与直线有个交点，
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；且当时，，
则函数的图象如图，

当时，，，
所以在处的切线的斜率；
当时，，，
设过原点的切线的切点为，
则的斜率，解得，；
若要使函数的图象与直线有个交点，数形结合可得.
故选：A.
25．已知函数，若方程有4个零点，则的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得解析式，令，将问题转化为的图象与的图象有四个不同的交点来求解出的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】
当，
所以.
令，得，
依题意，的图象与的图象有四个不同的交点，画出和的图象如下图所示.
由图可知，要使的图象与的图象有四个不同的交点，需，
即.四个选项中只有B选项符合.
另外注意：当时，，，，所以过的切线方程为，即，故此时切线方程过原点.也即与只有个公共点，不符合题意.
故选： B

26．已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
要使方程恰有三个实数解，则函数的图象恰有三个交点，再分别作出函数的图象，观察图象的交点个数即可得解.
【详解】
解：依题意，画出的图象，如图.直线过定点，由图象可知，


函数的图象与的图象相切时，函数的图象恰有两个交点.
下面利用导数法求该切线的斜率.
设切点为，
由，得，
化简得，解得或（舍去），
要使方程恰有三个实数解，则函数的图象恰有三个交点，
结合图象可知，
所以实数的取值范围为，
故选：D
27．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围.
【详解】
函数的图象如图所示, 
 
①当直线与曲线相切于点时, , 
故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
②当直线与曲线相切时,
设切点为,则, 
,解得,或,，
当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 
综上的取值范围是.
故选：C.
28．已知直线与曲线有且只有两个公共点，其中，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】
先分析出直线与曲线在点A处相切，在点B处相交，求出直线方程为，联立曲线方程，解方程组即得.
【详解】

问题等价于直线与曲线有且只有两个公共点，画出函数的图象只能是这样：直线与曲线在点A处相切，在点B处相交.
由题得切线的斜率为，切线方程为.
所以,所以直线方程为.
把直线方程和曲线方程联立得，，
所以或.
所以.
故选：B
29．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
作出函数的图象如下图所示，作直线，得出时，与函数的图象有两个交点，时，直线与在处相切，再令，令，可得有三个解：，再结合函数的图象可以得出交点的个数，从而得选项.
【详解】
作出函数的图象如下图所示，作直线，如图，
时，与函数的图象有两个交点，即有两个解，且，
时，，则，由，解得，而时，，
所以直线与在处相切，即时，方程有一个解，
令，令，则，
由上面的讨论知方程有三个解：，
而有一个解，有两个解，有一个解，
所以有4个解，所以函数有4个零点，
故选：C.

30．已知函数在上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为，则下列结论正确是（ ）
①实数；
②直线l的斜率为1时，是曲线的切线；
③曲线与直线l有且仅有一个交点.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对函数进行求导，通过导数判断函数的单调性得时，取得最小值，进而可判断①；通过导数的几何意义求出切线的斜率为1时，切点的横坐标为，检验不满足可判断②；将交点的个数转化为方程的根的个数，即，判断函数的单调性，得其范围可判断③.
【详解】
因为，因为，，，，所以时，取得最小值，所以，所以.故①正确；设切点为，又因为，所以切线满足斜率，
∴，且过点，代入不成立.
所以直线不是曲线的切线，故②错误；
又设直线，
则曲线与直线的交点个数，等价于方程的根的个数.
由方程，得.
令，则，其中，且.
考察函数，其中，因为时，
所以函数在R上单调递增，且.而方程中，，且.
所以当时，方程无根；
当时，方程有且仅有一根，
故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点，故③错误，正确的个数为1个；
故选：B.

二、多选题
31．已知函数（为自然对数的底数），过点作曲线的切线.下列说法正确的是（ ）
A．当时，若只能作两条切线，则
B．当，时，则可作三条切线
C．当时，可作三条切线，则
D．当，时，有且只有一条切线
【答案】ACD
【分析】
设切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数分别求，，时的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，即，
设，
则，
当时，
，由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，

，，当趋近于时，趋近于，
对于A：当时，若只能作两条切线，则与图象有两个交点，由图知，故选项A正确；
对于B：当，时，与图象有一个交点，此时只能作一条切线，故选项B不正确；
对于C：，当时，
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
极小值，极大值，
若可作三条切线，则与图象有三个交点，所以，
故选项C正确；

对于D：当时，，所以单调递减，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
此时与图象有一个交点，所以有且只有一条切线，故选项D正确；

故选：ACD.
32．已知函数， ，若x1、x2、x3，x4是方程仅有的4个解，且x1 A．01
C． D．
【答案】AC
【分析】
分别作出函数的图象，根据图象得出x1、x2、x3，x4的数量关系及范围即可求出结果.
【详解】
如图所示，与的图象在上有两个交点，所以，则，则，故A正确；
与的图象在上有两个交点，则，且直线与在处相切，所以，由导数几何意义得，将上述两式相除得，故C正确．

故选：AC.
33．关于函数，.下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．有两个零点
C．有两个极值点
D．存在唯一极小值点，且
【答案】ABD
【分析】
求得导函数，得到出的导数值，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程，从而判定A；利用导数研究函数的单调性，极值情况，进而判定零点情况，从而判定BCD.
【详解】
，，，
，切线方程为,即,故A正确；
，当时，，
当时，，,∴，
∴时，，∴单调递增，
，，
在内，存在唯一的零点,且，
且在内，，单调递减；
，，单调递增，
∴为极值点，且为极小值点.
由，∴，
∵，∴，
∴，
∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，故C错误，D正确；
又∵,
结合函数的单调性可知
∴有两个零点，故B正确；
故选：ABD.
34．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【分析】
由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】
因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(*)，
因为，，所以方程(*)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
35．某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（ ）

A．函数的极值点有且只有一个
B．当时，恒成立
C．过原点且与曲线相切的直线有且仅有2条
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】
由确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A，由绝对值的性质判断B，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C，由得，然后表示出，用换元法求得最小值后判断D．
【详解】
，＝0，，，极值点有且只有一个，A正确；
（实际上，由图象知函数的极值点有且只有一个）
时，，B正确；
，设切点为，则，又切线过原点，
所以，即，，，只有一个切点，过原点的切线只有1条，C错；
，且，则，，
，设，，，
，，
当时，，递减，时，，递增，
所以，所以 的最小值为，此时．D正确．
故选：ABD．
36．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线在处的切线与相互平行
B．函数在[1，4]上单调递増的必要不充分条件是
C．记函数的最小值为，则
D．若，，使得在恒成立，则的最大值为3
【答案】ABC
【分析】
根据导数的几何意义判断A；求出函数的导函数，令，即可得到，从而判断B；利用导数研究函数的单调性，即可判断C；
【详解】
解：依题意，，，故，故曲线在处的切线与相互平行，故A正确；令，利用导数判断D；
，令，则，则，因为，故，故函数在上单调递增的必要不充分条件，故B正确；
令得，显然，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，所以 ，令，则，得，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；所以，故C正确；
，令，则.令，，∴时，，即单调递增，∵，，
设并记其零点为，故，且，所以当时，，
即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故D错误.
故选：ABC
37．函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ）

A．的极小值点为
B．当时，
C．过原点且与曲线相切的直线仅有2条
D．若，，则的最小值为
【答案】BD
【分析】
对函数求导，由导数确定极小值点即可判断选项A；按与的大小化简即可判断选项B；设切点坐标，由导数的几何意义求出切点坐标即可判断选项C；化简，并将转化为一新变量的函数，求其最小值即可判断选项D.
【详解】
由函数知，，求导得：，
对于A选项：，，则的极小值点为，A不正确；
对于B选项：时，，时，
时，，即时，恒有，B正确；
对于C选项：设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，
而切线过原点，则有，解得，即过原点且与曲线相切的直线有一条，C不正确；
对于D选项：时，，
，令，则，
，时，时，
函数在上递增，在上递减，时
即有最小值3，的最小为，D正确.
故选：BD
38．设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
讨论当每个选项做为切点时，其切线与的交点个数即可.
【详解】
A选项：切点，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中
又 ，
故 在内必有一个零点，则与切线有两个交点，故A错；
B选项：切点，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中

在单调减，在单调增，
所以恒成立，
则 单调增只有一个零点，则与切线有1交点，故B正确；
C选项：切点，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中
又， 在单调减，在单调增，所以恒成立，则 只有一个零点，则与切线有1交点，故C确；
D选项：切点，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中
，
， 在小于0，在大于0，
所以恒成立，则 只有一个零点，则与切线有1交点，故D正确.
故选：BCD
39．已知函数，则（ ）
A．若，则函数有2个极值点
B．若关于的不等式函数在上恒成立，则实数的取值范围为
C．若曲线在处的切线与相互垂直，则
D．若，则函数的单调递减区间为
【答案】ABC
【分析】
首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，求值，判断；当时，利用导数求函数的增减区间，并同时判断函数的极值点的个数，判断AD选项；利用参变分离的方程转化为，构造函数，转化为求函数的最小值，判断B.
【详解】
依题意，，
故，故C正确；
当时，，，
令，故或，
则函数的单调递减区间为，，区间之间不能用“”，单调递增区间为，故D错误，A正确；
当，故，
令，故，
而，
令，故，故当时，，
当时，，故，
即实数的取值范围为，故B正确．
故选ABC．
40．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意可知性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.
对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；
对于B选项，函数为偶函数，，
令，可得或，如下图所示：

由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；
对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，
两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和，
则，所以，
取，，则，，
两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，
所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.
故选：BD.

三、填空题
41．若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到的表达式，通过构造函数，再利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
设是曲线上一点，由，因此过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，即，
设是曲线上一点，
由，所以过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，
即，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：
，因为，所以
设函数，，
因为，所以，所以函数是减函数，
，当时，，因此，
所以，
故答案为：
42．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的可能取值为___________.
【答案】
【分析】
，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等号的条件即可求解.
【详解】
因为，
则看成点到点的距离的平方，
其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，
设，所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以.
所以实数的所有可能取值为，
故答案为：.
43．已知函数（e为自然对数的底数），若且有四个零点，则实数的取值范围是_____
【答案】
【分析】
根据定义域为，且，可知函数是偶函数．所以只需研究时函数有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．
【详解】
解：因为函数的定义域为，且，故函数是偶函数．
为自然对数的底），
，又因为有四个零点，所以只需研究时函数有两个不等根即可．
即在上有两个互异根．
即在上有两个根，令，，过定点．
，所以在上是增函数，下面求过的切线斜率．
设切点为，，切线斜率为，
故切线为，将代入得：
，即，解得或（舍去）
此时切线斜率．作出与图象如下：

可见，当与相切，即时，只有一个公共点，当时，就会有两个交点．
故的取值范围为．
故答案为：．
44．已知，是曲线上的两点，分别以，为切点作曲线C的切线，，且，切线交y轴于A点，切线交y轴于B点，则线段的长度为___________.
【答案】
【分析】
由两切线垂直可知，，两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得，又两切线分别与轴交于，，则可求出.
【详解】
曲线 ，则，
设，两切线斜率分别为，，
由得，则不妨设，
，，，
令，得
，，，
令，得
由，即，得，
则.
故答案为：.
45．已知直线与曲线相切，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
设切点为，由导数的几何意义可表示出，由切点在直线上可得到，从而利用表示出，构造函数，利用导数可求得，代入可求得结果.
【详解】
由得：，
设直线与曲线相切与点，
则，又，则，
，
令，
，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为.
故答案为：.
46．已知，函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
程恰有两个不同的实数根转化为函数的图象与直线在两个不同的交点，作出函数图象与直线后，由图象观察可得结论，其中需要用导数求出在处的切线斜率．
【详解】
方程恰有两个不同的实数根，即函数的图象与直线在两个不同的交点，作出函数的图象与直线的图象如下，易知直线恒过定点，又，，，，
时，，，即函数的图象在处的切线斜率为，
由图象可得或．
故答案为：．

47．直线与函数交于，两点，函数在，两点处切线分别交轴于，两点，，的中点为，两切线交于点，则______.
【答案】1
【分析】
将直线与求出交点，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出，两点，利用中点坐标公式求出，再将两切线联立求出点，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
，，
，
如图：，，

，，，
，，
，
所以，
在点处的切线方程为：，①
在处的切线方程为：，②
将代入①、②，可得，，
，即，
由，
，解得，，
所以，


故答案为：1
48．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
根据题意，得到和有四个交点，结合函数图象，分别讨论，两种情况，结合导函数的方法，利用数形结合的方法求解即可.
【详解】
若函数有四个零点，需和有四个交点，
作出函数和的图象如下图所示，

当时，由图象可得，显然不满足题意；
当时，
因为直线恒过点，设与相切于点，
则，，由，得，所以，解得，，即当时，函数和有两个交点.
当时，若与有两个交点，需方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根，
所以只需，解得或，所以；
综上时，函数有四个零点.
故答案为：
49．已知函数，给出以下命题:
①若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;
②过点且与曲线相切的直线有三条;
③方程的所有实数的和为16.
其中真命题的序号是_____.
【答案】②
【分析】
求出函数导数，由题意可知无解，根据二次函数的性质可得的范围，即可判断①是否正确； 设出切点，根据斜率可得，再将代入，解方程求得切点的横坐标，即可判断②是否正确； 由对称性可知，函数与的图象都关于点成中心对称，作出函数与函数的图像，再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可求出它们的横坐标值和，即可判断③是否正确．
【详解】
因为，所以，
若函数不存在单调递减区间，所以无解
则，解得，所以①错误;
设过点的直线与曲线相切于点，则有(*)，
又点在曲线上，
所以，将代入(*)，
得，
解得或或，
所以过点且与曲线相切的直线有三条，②正确;
又
所以的图象关于点成中心对称，且函数的图象也关于点成中心对称，
又函数的导数为，
令解得或，所以递增区间为和；
令可得，所以递减区间为．
即时取得极大值，时取得极小值，
作出函数与函数的图像，

由图象可得的图象与的图像友4个交点，它们关于对称，则它们的横坐标和为，故③错误.
综上所述，真命题的序号为②.
故答案为：②.
50．已知函数为偶函数，当时，.若直线与曲线至少有两个交点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由函数的奇偶性可得，当时，转化条件为函数与的图象交点的个数，当时，转化条件为函数与的图象交点的个数，结合导数的几何意义，数形结合即可得解.
【详解】
当时，，则，
若要使直线与曲线至少有两个交点，则方程至少有两个解；
①当时，令，则即，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图，

由图象可得，当即时，函数图象有一个交点即有一个解；
当即时，对函数求导得，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
所以，解得，此时，
当即时，函数图象无交点即无解；
当即时，函数图象有一个交点即有一个解；
当即时，函数图象有两个交点即有两个解；
②当时，令，则即，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图，

由图象可得，当即时，函数图象有一个交点即有一个解；
当即时，对函数求导得，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
所以，解得，此时，
当即时，函数图象无交点即无解；
当即时 ，函数图象有一个交点即有一个解；
当即时，函数图象有两个交点即有两个解；
综上，若要使直线与曲线至少有两个交点，
则.
故答案为：.