新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）（含解析）

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专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）
目录
专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题） 1
1
题型一：导函数有效部分是一次型 1
题型二：导函数有效部分可视为一次型 4
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解） 8
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解） 13
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解） 18
题型六：借助二阶导函数讨论单调性 20
22


导函数有效部分
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.
题型一：导函数有效部分是一次型
【典型例题】
例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
（1）由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
（2）由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数.
(1)求的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(1)函数，定义域为，
（i）当时，单调递增；
（ii）当时，时，单调递减；
时，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
【提分秘籍】
在例题1中，，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可；在例题2中，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可.
【变式演练】
1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值和单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当时，函数，．   
所以，．                       
所以曲线在点处的切线方程．
(2)函数定义域．                    
求导得.                     
①当时，因为，所以．
故的单调递减区间是，此时无极值.   
②当时，变化时，变化如下表：










极小值

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．  
此时函数的极小值是，无极大值．
2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）由题意得，，．
当，即时，，故函数在上单调递增；
当，即时，令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
题型二：导函数有效部分可视为一次型
【典型例题】
例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)当时，在上单调递减．当时，时，单调递增，当时，单调递减．
（1），①当时，，在上单调递减．②当时，令，得，当时，单调递增；当时，，单调递减．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)答案见解析；
(1)，
.
当时，恒成立，则在上为减函数，
当时，令，可得，则，解得，
令，解得，
综上，当时，的减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

【提分秘籍】
在例题1中，，可提取有效部分为，可以看作一次型，类似一次型讨论方式讨论的正负；在例题2中，可提取有效部分为，可以看作一次型，只要讨论有效部分的正负即可.

【变式演练】
1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
【详解】（1）,
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，，解得，
当，当，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
2．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【答案】(1)；
(2)见解析
（1）
时，，得，
所以，，
函数在点处的切线方程为，即
（2）
由题意，，
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
当时，，得，
①当，即时，
在上恒成立，所以函数在上单调递减；
②当，即时，
时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，
在上恒成立，所以函数在上单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，
在上单调递减；当时，函数在上单调递增；
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知函数
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；
【详解】（1）函数定义域R，求导得，
若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增；
若，恒有．即在上单调递增；
若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是和.
例题2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数，．
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
(2)当，且时，求函数的单调区间．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
(1)，，，，
与在交点处具有公共切线，；
又，由得：.
(2)当时，设，
；
设，
当时，；当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，令，解得：，；
①当时，时，恒成立，即，
的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，，
当时，，则；当时，，则；
的单调递减区间为，；单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为.

【提分秘籍】
讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：，在讨论正负的过程中，遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.如例题1中从开始讨论。例题2中求导后，记有效部分为，由于最高项系数含参数，讨论时从开始讨论，当时，从开始讨论.
【变式演练】
1．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）易知函数的定义域为．
当时，，
∴．
令，得；
令，得；
令，得．
∴函数的极小值为，无极大值．
（2）．
①当时，令，得；令，得．
②当时，令，得或；令．得．
③当时，恒成立．
④当时，令，得或；令，得．
综上，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为和，减区间为；
当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为和，减区间为．
2．（2022·湖南·高三开学考试）已知函数，其中.
(1)若直线是曲线的切线，求负数的值；
(2)设.
（i）讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)（i）答案见解析；
（1）因为，所以
由直线是曲线的切线可知，即
又，所以，则切点坐标为，所以
故.
（2）（i）.
①若即的解为，
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
②若即的解为或，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减
③若即恒成立，所以在上单调递增；
④若即的解为或，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
综上所述：
若，当时，单调递减，时，单调递增；
若，当时，单调递增，时，单调递减；
若在上单调递增；
若，当时，单调递增，时，单调递减.
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ，
当即时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减；
当即时，，在上单调递增；
当即时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减；
综上可知：时，故在和上单调递增，在上单调递减；
时， 在上单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
例题2．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若，讨论在区间上的单调性；
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见解析.
(1)，得，
得，单调递减．
得，单调递增，
∴.
(2)，令，解得，
当时，，有，单调递增，
当时．，有单调递减，
，有单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【提分秘籍】

讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：，在讨论正负的过程中，的正负，可以看做的正负等同，故为可视为二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.
【变式演练】
1．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数在上的最小值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
(1)定义域为，
当时，，，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴在在上的最小值为；
(2)定义域为 ，
，
①当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，令得或.
②当时，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
③当时，即，当时，即或， 单调递增；当时，即， 单调递减；
④当时，即，在定义域上恒成立，单调递增；
⑤当，即，当时，即或，单调递增；当时，即，单调递减；
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为
2．（2022·河北·高二期中）已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)因为，所以．
则，
故的图象在处的切线方程为．
(2)．
若，则恒成立，所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
若，则由，得．
当，即时，若，则，函数单调递增；若，则，函数单调递减．
当时，即时，在R上恒成立，函数单调递增．
当，即时，若，则，函数单调递增；若，则，函数单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）
【典型例题】

例题1．（2022·天津河西·一模）已知函数．
(1)当时，求的极值．
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)答案见解析
(1)当时，，
则，
令，得，


2


+
0
-

单调递增

单调递减
所以的极大值为，无极小值．
(2)的定义域为，
对于二次方程，有．
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，方程有两根，
若，
在上单调递增，在上单调递减；
若，
在与上单调递减，
在上单调递增．


【提分秘籍】
如本例，求导后，记导函数有效部分为，判断为不可因式分解的二次型，此类题型的方法主要采用法；分两类：①；②，利用求根公式求出方程的两个根，，然后再讨论的正负，进而讨论单调性，同时也要注意定义域.
【变式演练】
1．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）由题意可知的定义域为R，，对于，.
①当，即-3≤a≤3时，在R上单调递增；
②当，即a<-3或a>3时，令，即，
解得，
令，则或；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当-3≤a≤3时，在R上单调递增；
当a<-3或a>3时，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
题型六：借助二阶导函数讨论单调性
【典型例题】

例题1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
(1)当时，讨论单调性；
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
（1）当时，，定义域为，
则，，
所以在上单调递增，又，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(1)，令，则，
∴在单调递增，
注意到
∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增
∴在单调递减，在单调递增
【提分秘籍】
当一阶导函数中含有，，而一阶导的正负难以确定时，可以通过求二阶导，从而判断一阶导的单调性，进而判断一阶导的正负来讨论单调性.
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知函数．
(1)判断函数的单调性．
【答案】(1)上单调递增，在上单调递减
(1)因为，所以．
令，则，可得在上单调递减，所以．
因为当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．

1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)时， 在递增；时，的增区间是，减区间是．
【详解】（1）的定义域是，，
时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
综上：时，在递增；
时，的增区间是，减区间是．
2．（2022·江苏徐州·高三期中）已知函数，，.，分别为函数，的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），，
①当时，，函数在上单调增；
②当时，，，函数在上单调减；
，，函数在上单调增.
综上所述，当时，函数在上单调增；
当时，函数在上单调减，在上单调增

3．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
(1)求函数的单调区间；
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(1)函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；

4．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数，其中为实常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【详解】（1），
所以，
所以切线方程为.
（2）的定义域为,，
当时，在区间递减；
在区间递增.
当时，，在上递减.
当时，在区间递减；
在区间递增.
5．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.
(1)，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为；
（2）函数的定义域为，且，
①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
②当，即时，由，得或；由，得.
则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.
④当，即时，
由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

6．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数
(1)求的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
（1），
令，得或
当时，，单调递增区间为
当时，与随x的变化情况如下表：


-2




+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
当时，与随x的变化情况如下表：


k

-2


+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
综上：当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为和，
单调递减区间；
当时，单调递增区间为和，
单调递减区间.
7．（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数．
(1)当时，求函数f（x）的极值；
(2)求函数f（x）单调区间．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)答案见解析
（1）当时，，则，
令，解得或2，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故函数的单调递增区间为，；
函数的单调递减区间为．
所以的极大值为，极小值为．
（2）∵，
∴，
当时，时，；时，；
即增区间为，减区间为；
当，时，；时，；
即增区间为和，减区间为；
当时，在上恒成立，即增区间为；
当时，时，；时，；
即增区间为和，减区间为；
综上所述：当时，增区间为，减区间为；
当时，增区间为和，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为和，减区间为．
8．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知函数.
(1)当时，求该函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当时，，该函数定义域为，
则.
所以.
又，
所以.
所以该函数在点处的切线方程为，
即.
(2)由题可得，
令，得或.
而该函数定义域为，则
①若，则，在区间（0，1）上，；在区间上，，故函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增；
②若，即，则在区间和上，；在区间上，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；
③若，即，则在区间上，恒成立，且仅在处取得等号，
故函数在上单调递增；
④若，即，则在区间（0，1）和上，；在区间上，，
故函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递.
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(1)解：定义域为，
所以
当时，，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，有两根分别为，
当时：令，解得，当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
令，解得，当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
综上所述：
当时：的单调递增区间是，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当时：的单调递增区间是，无减区间
10．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数
(1)求函数的单调区间.
【答案】(1)答案见解析
(1)由题意，得
当时，恒成立，所以在R上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
11．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
(1)的定义域为R, .
i.当a≥-1时, .令,解得；令,解得.
所以的单增区间为,单减区间为.
ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1).
（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以在(-∞,+∞)单增.
（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为,单减区为.
（iii）当ln(-a-1)<0,即-2 12．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数
(1)当时，求函数在上的最值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)最小值为，最大值为；
(2)见解析
(1)当时，，，
令得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在上的最小值为；
最大值为；
(2)定义域为

当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，令，得或
所以：
当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递减；
当或时，，单调递增；
当时，在定义域上恒成立，单调递增；
当时，当时，，单调递减；
当或时，，单调递增；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
13．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．
(1)当时，若两个零点，求k的取值范围；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
(1)解：因为，，
所以，
令得或（舍去），
所以当时，当时
故在上单调递增，在上单调递减，，
要使有两个零点，则，即，解得，
∴．
(2)解：由（1）得，
令解得或，
当时，即
x



0


＋
0
－
0
＋
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，即，恒成立，所以的单调递增区间为．
当时，即，
x

0




＋
0
－
0
＋
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，
x

0


－
0
＋
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
14．（2022·新疆·一模（理））已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
(1)解：易知的定义域为，
且
由得，或
1°当时，恒成立，
∴在上是增函数；
2°当时，由得
记，，
当或时，，当时，，
∴在，上是增函数，在上是减函数
综上所示，当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，
在上是减函数.
15．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）解：当时，，则，所以，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，则，
令，则，
当，即时，，
又函数的定义域为，
此时，的单调递增区间为、、；
当，即时，
①当时，的两根为、，
所以的解集为，
的解集为，
又当时，，，
所以的单调增区间为、、，
单调减区间为、；
②当时，的定义域为，的两根为、，
，由可得或，由可得，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为
③当时，的定义域为，的两根为、，
由可得或，由可得，
所以的单调递增区间为、，
单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递增区间为、、；
当时，的单调增区间为、、，
单调减区间为、；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调增区间为、、，
单调减区间为、.
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为
(1)当时，得，
令，则
当时，，
当时，单调递减﹔
当时，单调递增.
，
又当时，恒成立，且，
当时，单调递减﹔当时，单调递减﹔
综上:的单调递减区间为，单调递增区间为.