新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题4-2 正余弦定理中的高频小题归类（含解析）

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专题4-2正余弦定理中的高频小题归类
目录
专题4-2正余弦定理中的高频小题归类 1
1
题型一：利用正弦定理边角互化 1
题型二：利用余弦定理边角互化 5
题型三：利用正余弦定理解三角形 10
题型四：判断三角形解的个数 16
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状 22
题型六：三角形周长，面积问题 26
题型七：正余弦定理实际应用 32
38
一、单选题 38
二、多选题 44
三、填空题 46



题型一：利用正弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理可知，，
，
又在中，，即，
为锐角，，
，
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，即，
故选：A
例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角中，若，则的取值范围是______ .
【答案】
【详解】，根据正弦定理，
得：，
，，即，
为锐角，，
又，，
，即，
则的取值范围是.
故答案为：.
【提分秘籍】
利用正弦定理边角互化主要思路：
；；;
化成角后，再进行相应的运算。

【变式演练】

1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，D为边上一点，，若，则____________．
【答案】
【详解】在中，由正弦定理可得．又，
可得，且，
则有①．又②，①②联立，
得，即，则，
整理得，解得或．
因为， D为边上一点，
所以为钝角，所以角为锐角，所以，所以舍去，
故．
故答案为：
2．（2022·上海市金山中学高一期末）记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．
【答案】
【详解】，则，
由正弦定理得，
故 ，∵，∴，∵，∴.
故答案为：
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.
【答案】
【详解】

化简得：
又,
∠MAB=∠MBA，,
在中，，
解之：，
，
故答案为：
题型二：利用余弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）设分别为内角的对边，若，且，则角________.
【答案】
【详解】因为,所以,即
即,所以
所以或
因为,所以
若,则
若,则,与矛盾
所以
故答案为：
例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）中，，则最大值______．
【答案】
【详解】设，，，由余弦定理：，
所以，设，则，
代入上式得，方程有解，所以，故，
当时，此时，，符合题意，因此最大值为.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为___________.
【答案】4
【详解】解：由余弦定理得，
又，
所以由正､余弦定理可得，
即，
则.
又，
所以，
解得(负值舍).
故答案为：4
【提分秘籍】
在中，内角，所对的边分别是,则：
；


余弦定理的推论
；
；

【变式演练】
1．（2022·广东江门·高三阶段练习）在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则的值为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】由可得
，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理与余弦定理可得，
即，
因为，
所以，
解得或（舍）
故选：C
2．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练习）中，，则（    ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】B
【详解】因为，
由正弦定理得,
由余弦定理得 即
又 则
当且仅当时，即时取等，
因为,所以.
故选:B.
3．（2022·福建·高二期中）若△的边长成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】，
由余弦定理可得：
由题可知，即，且，
故，
由，即可得，
又在单调递增，在单调递减，且，
故当时，，令，又单调递增，
当时，，当时，，故，即.
故答案为：.
4．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若；则当角A最大时，的面积为______.
【答案】
【详解】由，，根据正弦定理以及余弦定理，则可得，整理可得，即，
根据余弦定理，可得，由，当且仅当等号成立，
可得，由函数在上单调递减，则当时，取最大，
故，则.
故答案为：.
题型三：利用正余弦定理解三角形
【典例分析】
例题1．（2022·山西·高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，．点为的中点，，且的面积为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为，由余弦定理得，即，
又，得，
所以，即，
故，则，
所以，故．
故选：A.
例题2．（2022·湖北·高二期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，是的平分线，，，则的最小值是（    ）
A．6 B． C． D．10
【答案】C
【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.
则，，
而,代入化简得，，即.则，
当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.

故选：C
例题3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图

由题意可知；，
所以由正弦定理得：，
在中，由余弦定理可知，
．
所以．
故选：C．
【提分秘籍】
解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.
【变式演练】
1．（2022·上海市金山中学高一期末）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，作出图形，
因为点是的重心，所以是的中点，故，
由已知得，
因为，所以，
又因为点是的重心，所以，则，
又因为，所以，则，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因为，令，则，
所以，
则.
故选：D.
.
2．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（    ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【详解】因为，所以
即，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得：，
所以
故选：C
3．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在 中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】，，
，.
故选：A
4．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理可知，，
，
又在中，，即，
为锐角，，
，
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，即，
故选：A
5．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（    ）
A．21 B．24 C．27 D．36
【答案】C
【详解】在中，，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，则，
因角A的内角平分线的长为3，由得：，
即，因此，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值27.
故选：C
题型四：判断三角形解的个数
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
例题2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（    ）
①
②；
③；
④.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【详解】对于①，因为，所以或，故①错误；
对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定，
故②正确；
对于③，因为，，所以，
所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一确定，故③正确；
对于④，因为，
所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误.

故选：B.
例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）在中，角所对的边分别为．已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为______．
【答案】3（满足即可）
【详解】由正弦定理得， 因为，故，
又有两解，即有两个解，故，所以
故答案为：3（满足即可）
例题4．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）在中，角所对的对边分别为，若满足的三角形有两解，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】解：由正弦定理可得，即，又，
所以，
因为有两解，所以，且，
所以，
所以的取值范围为,
故答案为：.
【提分秘籍】

为锐角
为钝角或者直角




图形








关系式




解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中若为锐角, 当时无解; 若为钝角或直角,当时无解.
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·高一期末）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A：由，则，而，无解；
B：由，则，而，有唯一解；
C：由，则，而，有两解；
D：由，则，而，有两解；
故选：B
2．（2022·青海玉树·高一期末）在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（    ）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解
【答案】C
【详解】由正弦定理得：，
，，则，
，
，，只能为锐角的一个值，只有一个解.
故选：C.
3．（2022·全国·高一课时练习）在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：由可得
因为，所以
要使三角形有两解，所以且
所以，即，解得，
故答案为：
4．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________.
【答案】或
【详解】由正弦定理得，
因为有唯一解，当时，即，
唯一，符合题意，得；
当时，有两个值，不唯一，不合题意；
当时，，
所以，唯一，符合题意，得.
所以的取值范围为或.
故答案为：或.
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状
【典例分析】

例题1．（2022·全国·高一课时练习）在中，角的对边分别为，，则的形状是（    ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【详解】由及正弦定理，得,
在中，，所以,
所以，即，于是有，
因为所以
所以,即，
所以的形状是等腰三角形.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,即，
当时，因为，所以，
当时，所以，即，
因为所以，
所以为等腰或直角三角形.
故选：D.
例题3．（2022·四川成都·高一期末）已知内角､､所对的边分别为､､面积为，若，，则的形状是（    ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由题设及正弦定理边角关系有，而且，
所以，又，可得，
所以，故，
而，又，
所以，故，，可得，
综上，为正三角形.
故选：C
【提分秘籍】
①，为钝角三角形；
②
③
④
【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高三期中）在中，若，则的形状为（    ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，
由余弦定理边角互化可得：，
化简得，
因此或，故为直角三角形，
故选：B
2．（2022·河北·石家庄市第十五中学高二阶段练习）已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（    ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
【答案】D
【详解】由题得：
，
即，
由正弦定理及余弦定理得，
又 ,

整理得 ，  
故 为顶角为的等腰三角形
故选：D
3．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（    ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】解：向量，共线，
．
由正弦定理得：．
．
，
所以
则．
，即．
同理由，共线，可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
4．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】由已知，在中，，由正弦定理可知，，
所以,
整理得，，
即，
所以或（舍去）.
所以为等腰三角形.
故选：B.
题型六：三角形周长，面积问题
【典例分析】

例题1．（2022·河北张家口·高三期中）钝角的内角，，的对边分别是，若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】由及余弦定理可知，
，整理得，
解得或；
又因为是钝角三角形，比较三边大小可知，为最大边，
所以C角为最大角，即C为钝角；
①当时，，符合题意，
此时的面积为；
②当时，，不符合题意；
综上可知，的面积为.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在中，的平分线交于点D，，，则周长的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，设，
因为，，，
所以，即，
所以，
因为根据基本不等式有，
所以，，当且仅当时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
所以周长的最小值为.
故选：C
例题3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（    ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
【提分秘籍】
1、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
4、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·全国·高二开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（    ）
A．24 B．25 C．27 D．28
【答案】D
【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.
故选：D
2．（2022·江西赣州·高三期中（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（    ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【详解】因为△ABC的面积为，，故，
即，
由于，
故，故 ，
所以，
所以的周长为 ，
故选：C
3．（2022·浙江·高三开学考试）若，则的最大值是（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
，
又，代入上式得，
又，则，
所以当时，取最大值．
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知为边上的一点，且满足，，的面积是面积的两倍，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为的面积是面积的两倍，
所以，
所以，
又由题意是的平分线，所以，
不妨设，，结合已知得，
由余弦定理得，解得，负值舍去，
所以，
所以，
因为
所以，
所以，
故选：C.
题型七：正余弦定理实际应用
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·高二期末（理））某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.在过点的水平面上确定两观测点，在处测得的仰角为30°，在的北偏东60°方向上，在的正东方向30米处，在处测得在北偏西60°方向上，则（    ）

A．10米 B．12米 C．16米 D．18米
【答案】A
【详解】由已知得，，，米
在中，由正弦定理可得，求得米
在直角中，米
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】提示：法一：由题意，得面．设记，
，解得或，又在中有选．
法二：由题，面．设，则．由，在中，由余弦定理得，解得，进而选B.
故选：B.
【变式演练】
1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的､两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪､（如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（    ）（参考数据：，）

A．70.5 B．71 C．71.5 D．72
【答案】C
【详解】在中，，，
所以，
由正弦定理得 ，
所以，
在直角中，，
将平面画成平面图如图所示：

由题意知：，， ，
，
故选：C.
2．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（    ）（参考数据：）

A．270m B．280m C．290m D．300m
【答案】B
【详解】如图所示：设友谊大厦的高度为，
在直角中，，即；
在直角中，，即，
在中，根据余弦定理：，解得，
故选：B

3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ）

A．50 B．55 C．60 D．70
【答案】C
【详解】由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，
故选：C
4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在中, ，，所以，又，由正弦定理可得,
,
,
在中，,
所以，（m）
故选：C.

一、单选题
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）
A．20 B． C．27 D．
【答案】D
【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，
因为，由，，
可得，，
所以，，
因为，
由正弦定理可得：，
所以的周长为.
故选：D.
2．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高三阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（    ）
A．6 B．10 C．12 D．2
【答案】C
【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中，
由题意，可知，，，且，
故，
当且仅当，即时取等号.
用材料二：以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，
由椭圆的定义易知，椭圆方程为，
所以面积（为到的距离），，
可知当点位于短轴的顶点时，取到最大值为4，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：C.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得：，
，
，，，，，
，解得：；
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
.
故选：B.
4．（2022·重庆·高三阶段练习）已知是内的一点，且，则的最小值是（    ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【详解】∵，，
∴，
∴，
因为，，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等.
故选：C.
5．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（    ）
（，，精确到1）

A．42 B．45 C．51 D．57
【答案】D
【详解】因为，
所以在中，，故，
在中，，则，
所以由正弦定理得，故，
所以在中，，故.
故选：D.
6．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）在钝角中，角对应的边分别为，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，由正弦定理得，
中，，所以，
又因为为钝角三角形，所以由诱导公式得（时为直角三角形，舍去），即为钝角，
从而
，
由，解得，则，
当时，取得最小值，即的最小值为，
故选：C．
7．（2022·天津南开·高一期末）已知中，，则（    ）
A．或 B． C． D．或
【答案】B
【详解】因为在中，，所以，
所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，
所以，
所以.
故选：B.
8．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵在中， ，
∴，
∵
∴.
∵，∴，
即.
∴.
根据条件得，
∴.
∴
即.
故选：A
二、多选题
9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知的内角所对应的边分别是，它的外接圆半径为，，，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．的外接圆半径为1
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【详解】解：因为，有正弦定理，得
所以，又，所以，则，故A正确，B错误；
所以，则，所以的外接圆半径为1，故C正确；
由余弦定理，所以，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，则面积的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·河北·高三阶段练习）在中，内角所对应的边分别是，，点在线段上，且，若，则（    ）
A． B．
C．面积的最大值是9 D．面积的最小值是6
【答案】AC
【详解】由，可得，
整理得，即，
又，，即，
，所以A正确；
由，得可能相等也可能不等，又，若，则为等边三角形就不会出现C，D求最值了，因此可用排除法，所以B不正确；
由余弦定理可得，又
可得
又且，
可得整理得
又的面积
又，，，当且仅当时等号成立，
，则
所以面积的最大值是9，无最小值.
所以C正确，D不正确.
故选：AC.
三、填空题
11．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则___________.
【答案】4
【详解】
因为在中，若，所以，
所以，即，
由正弦定理得，
化简得，所以.
故答案为：4
12．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________.
【答案】
【详解】连接AO，延长AO交BC于D，

由题意得D为BC的中点，，所以，
因为，
所以，得.
故
故答案为：
13．（2022·上海市大同中学高一期末）在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为______．
【答案】
【详解】解：根据题意，在中，点满足.
设，则.
∵，且表示起点为，终点在平行于且过点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，
∴对任意，恒成立，即恒成立，只需即可，
∴，即，
∵
∴，
∴.
∴
故答案为：.

14．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（理））在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.若，则面积的最大值为______
【答案】
【详解】，所以，即，所以，因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：