新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题4-3 三角函数与解三角形典型大题归类（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题4-3 三角函数与解三角形典型大题归类（含解析），共57页。试卷主要包含了角互补等内容，欢迎下载使用。
专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类
目录
专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类 1
1
题型一：三角形中线问题 1
1、向量化(三角形中线问题） 4
题型二：三角形角平分线问题 9
核心技巧2：等面积法(使用频率最高） 13
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题） 22
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 25
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题） 28
题型五：四边形问题 38
. 46


题型一：三角形中线问题
【典例分析】

例题1．（2022·河北张家口·高三期中）已知的内角，，的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若边上中线长为，，求的面积．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）由题知，，
所以由正弦定理得，
因为在三角形中，
所以，
因为，
所以，
所以或
（2）由（1）得或
因为边上中线长为，，
设中点为,
所以,
所以，即，
所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以
，或
例题2．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(1)
；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)
由（1）知：，即，
又，，，解得：；

在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，
；
在中，由余弦定理得：，解得：；
，，
的周长为.
【提分秘籍】

1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补

【变式演练】

1．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）中，已知．
(1)求；
(2)记边上的中线为．求和的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，
，
,
由于，所以.
（2）由三角形的面积公式得，
由余弦定理得.
由两边平方并化简得：
，
所以.
2．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））已知中，内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若边上的中线长为，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知得：，
由正弦定理可化为：，即，
由余弦定理知，
又，故．
（2）
设边上的中线为，则
所以，即，
所以，即①
又，由余弦定理得，即②
由①②得，
所以．
3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）在中，边上的中线长为.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
（1）
因为，
由正弦定理得,所以，
又因为，所以.
（2）

记的中点为，则，设，
因为，即，
由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
所以，则，
所以.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；
(2).
（1）
由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
（2）
由，得①，

由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
题型二：三角形角平分线问题
【典例分析】

例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，的内角平分线交边于点D，求．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵
由正弦定理得
∵，∴
∴，∴
∴    ∵    
∴
(2)
方法一：∵
∴
∴
∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：

∴
在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴
在△ADC中，由余弦定理：

设，则    即    解得或
在△ABC中，由余弦定理：，∴C是钝角
在△ADC中，∴
∴
例题2．（2022·山西·高一阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为，
由三角函数的基本关系式，可得
由正弦定理和，
即，
又由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
(2)
解：由的角平分线将分为和，如图所示，
可得，
因为，可得，且，
所以，
即，整理得，即，
又由，可得，即，
又由，
即，解得或（舍去），
所以的面积为.


【提分秘籍】

角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）

核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：

在中有：;
在中有：
【变式演练】

1．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求的值;
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)①③正确,（i）;（ii）
【详解】（1）解:由题意知
,
即
,,
故;
（2）由（1）得,
,故条件②不成立,即条件①③正确,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
对于条件①:,
与上式结合可得,
对于条件③:,
故,所以,
将代入可得: ,
（i）在中,由正弦定理可得:
,
即,
,
（ii）是的角平分线,
,
,
,,
在中,由余弦定理可得

,
故.
综上:条件①③正确, ,.
2．（2022·广东·模拟预测）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，∴，
又∵在中，，，，
∴，
∴，即：.
（2）在中，，
又∵，
∴，∴，∴，
∴，
∴.
3．（2022·湖南·长沙一中高二期中）在锐角中，内角的对边分别为，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得,，
整理可得：,
即，
即：,
又因为锐角，
所以，，
所以，
即，又，
所以；
（2）由题意可知，
设，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以
即面积的取值范围为.
4．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，
因为平分，所以，则点分别到的距离，
由，则，即，整理可得，
，当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为.
5．（2022·黑龙江·铁人中学高三阶段练习）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)角的内角平分线交于点，若，，求.
【答案】(1)；
(2)
（1）
由正弦定理及切化弦可得，
又，则，即，又，则；
（2）

，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，
可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，
由正弦定理得，可得，又，可得.
6．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
【答案】(1)或；
(2).
(1)
因为，
所以，
解得或sin,
当时，，，
所以，；
当时，因为，
所以，又，
所以．
(2)
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分线定理可知，，又，
所以，

由，可得，
∴，，
所以．
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）
【典例分析】

例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）设向量，在三角形中，，，分别为角，，的对边，且．
(1)求角；
(2)若，边长，求三角形的周长的值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由已知可得，所以，所以．
（2）由题意可知，可得，所以，
由余弦定理可知，
则，即，故周长为．
例题2．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若为边的中点，且，求周长的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析
(2)
【详解】（1）方案一：选条件①.
由及正弦定理，得，
所以，即，
又，，所以或（不合题意，舍去），
故△ABC是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由，得，
所以，由正弦定理，得，故，
所以△ABC为等腰三角形.
方案三：选条件③.
由及正弦定理，得
所以，得，
又，，所以或，
又，故，
所以△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且.
在△ABD中，由余弦定理，得，化简得.
设△ABC的周长为l，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以△ABC周长的最大值.
例题3．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
【提分秘籍】
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】

1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：为直角三角形；
(2)若的面积为，且，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
由及正弦定理，得，
又，故，又，故．
因为，由余弦定理，得，
所以，所以是以为直角的直角三角形．
（2）
由的面积为，得，故，
由，结合余弦定理，得，
所以，
故的周长为．
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））三角形的内角的对边分别为，
(1)求；
(2)已知，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）由，根据正弦定理，可得，整理可得，
由余弦定理，，由，则.
（2）由（1）可知，，，
由，当且仅当时，等号成立，则，即，
故周长.当时等号成立
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，分别为锐角△三个内角，，的对边，记三角形的面积为，若.
(1)求角的大小；
(2)若，试求△周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
∴，
∵三角形面积，∴
∴，
∵，∴.
∴角的大小为.
（2）由正弦定理及（1）得，
∴，
.
∴

在锐角△中，，，
又∵，∴，∴
综上，
∴，
∴
∴△周长的取值范围为.
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）
【典例分析】

例题1．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)若，，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，所以，，
所以，
，
所以，，又因为，故.
（2）解：因为，所以，，
因为，，则，
所以，，化简整理得，
所以，
故的面积为.
例题2．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．

【详解】（1）在中，，由余弦定理得，
，整理得，由正弦定理得：
，而，解得
（2）由（1）知，而，则，当且仅当时取等号，
于是得，
所以当时，面积取得最大值．
例题3．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，故，
整理得到：即，
故，而为三角形内角，故，
所以，故，而为锐角三角形内角，故.



,
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，故.
（2）由题设可得，故，
整理得到：，
故即，
整理得到：，
当且仅当时等号成立，故.
故三角形面积的最大值为.
例题4．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，求外接圆的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知：，
由正弦定理可化为，
即，
由余弦定理知，
又，故.
设外接圆的半径为R，则，
所以，
所以外接圆的面积为.
（2）由（1）知：，所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
又由正弦定理，得，
所以.
又，则，
所以，
故面积的取值范围是.
【提分秘籍】
常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，
所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
由余弦定理，得，
因为，所以．
（2）由余弦定理，
得，
所以，
所以，
所以.
2．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.
(1)求角的大小；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由,
根据余弦定理可得，化简得，
由正弦定理，可知，
因为为锐角三角形，所以.
（2）由.
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，，
故，
即面积的取值范围为.
3．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
因为中，
所以，
所以，
又在中，，
所以，所以.
（2）在中由余弦定理得，
即，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的面积，
所以的面积S的最大值为．
4．（2022·广西广西·模拟预测（理））记的面积为S，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角C.
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，得，
又由余弦定理得，由三角形面积公式得，
所以，则，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理得，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，故，
所以，
所以面积的最大值为.
5．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）在中，角的对边分别是且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得
所以，
因为，所以，且，所以
（2）因为，，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，
所以的面积的最大值为
故的面积的取值范围是
题型五：四边形问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北·高三期中）如图所示，在四边形ABCD中，，，

(1)求；
(2)若为的平分线，试求．
【答案】(1)5
(2)8
【详解】（1）由正弦定理得，
∴＝
∴.
（2）由，可得，
又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即
∴.
例题2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，，．

(1)若平分，证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
平分，，则，
由余弦定理得：，
即，解得：；
，
，
，又，，
（2）
，
，整理可得：；
，
，当时，取得最大值，最大值为.
例题3．（2022·安徽·蚌埠二中高三阶段练习）如图，在梯形中，，．

(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，

，
因此，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是．
（2）解：设，则，．
在中，，
在中，．
两式相除得，，，
因为，
，
，故．
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）在中，角所对的边分别为，.

(1)判断的形状，并加以证明；
(2)如图，外存在一点D，使得且，求.
【答案】(1)直角三角形，证明见解析
(2)5
【详解】（1）在中，由正弦定理得
又，所以
化简得：，，
所以，，

所以，是直角三角形
方法二：
在中，由余弦定理得
整理得，
所以， 是直角三角形
（2）方法一：
在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
方法二：

作 ，垂足为 ， ，垂足为,则，
在中
所以，为的中垂线
所以
2．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）在平面四边形中，为等边三角形，设.

(1)求四边形面积的最大值，以及相应的值；
(2)求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】(1)；；
(2)；
(1)
由题意，为等边三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四边形面积为
，
因为，∴，即时，
四边形面积最大，此时
(2)
设，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，



当，即时，，
即的最大值为.
3．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.

(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
（1）
在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
（2）
设，则，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
.
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①
，所以，
所以，
整理得.
因为，所以.因为，所以.
选②
因为，所以，
所以，整理得.
因为，所以，因为，所以.
选③
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，所以.
因为，所以，.
（2）因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以，故.
2．（2022·山东·汶上县第一中学高三阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，.
(1)求角A的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)或3
【详解】（1）因为，
所以，因为，
所以，解得，
在中，因为，所以A为锐角，所以；
（2）因为，
所以，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或3.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在中，角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，所以，
由正弦定理可得，即，则，
因为，又，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理可得，即，
又，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为．
4．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角B；
(2)若的面积为，求b的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
∴，
，
即，
∵为锐角三角形，
∴，
则.
（2），
∴，
，当且仅当时取“=”，
∴.
5．（2022·北京·海淀实验中学高三阶段练习）已知在中，，．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①周长为；②；③面积为；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由可得，，
即，所以，
所以或.
当，即时，又，所以；
当时，
又，则由余弦定理知，，
这与矛盾，舍去.
所以，.
（2）
若选①，由（1）知，，.
由正弦定理可得，
又周长为，所以，，则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选②，即，由（1）知，，.
则，根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选③，即面积为.由（1）知，，，则.
，所以，则，所以，
根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选④.
由（1）知，，.
根据正弦定理，可得，
与矛盾，所以，不存在这样的.
6．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，
而，即，则有，即，而，
所以.
（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,
于是得
，显然，当且仅当时取等号，
因此，，即，
所以的取值范围是.
7．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因，，则，
而，且向量，的夹角为，则，
因此，在锐角中，，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，
则，，而，由锐角得，，即有，

显然有，于是得，有，，
所以周长的取值范围为.
8．（2022·湖北·高三阶段练习）已知在中，边,,所对的角分别为，，，.
(1)证明：,,成等比数列；
(2)求角的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）通分化简可得，
，即，
即，
整理得，由正弦定理可得，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得，又，所以，当且仅当即为正三角形时等号成立，所以的最大角为.
9．（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若2ccosB＝2a＋b．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为4，则3a2＋c2的最小值．
【答案】(1)
(2)80
【详解】（1）由及正弦定理可得，
∴，即，又，
故，又，故．
（2）因为的面积为，所以，即，故，
由余弦定理可得，
∴，当且仅当时等号成立，
故的最小值为80．
10．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答________
(1)求角；
(2)若，，在线段上，且满足，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，，
整理得
利用正弦定理，可得，，则
，根据余弦定理，得到，
，故
选②，，整理得，
，则利用正弦定理，得
，
，，，两边同时除以，
，又，
（2），又，
，
又，，故有
，

线段的长度为.