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新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题10-1 概率统计（选填）（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题10-1 概率统计（选填）（含解析），共62页。
专题10-1概率统计（选填）
目录
1
题型一：随机抽样、分层抽样 1
题型二：用样本估计总体 3
题型三：样本的数字特征 8
题型四：百分位数 10
题型五：线性回归 13
题型六：独立性检验 18
题型七：排列组合 25
题型八：二项式定理 29
题型九：古典概型 33
题型十：条件概率 37
题型十一：正态分布 41
题型十二：均值和方差 45
50
题型一：随机抽样、分层抽样
【典例分析】
例题1．（2022秋·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24，
故选：A
例题2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（ ）
A．7 B．13 C．8 D．9
【答案】D
【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为，
抽取的莴笋份数为，
故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是，
故选：D
【提分秘籍】
随机数表法是常用的一种抽样方法，使用时做到不重复，不遗漏.
分层抽样注意分层，每层抽样比相同.
【变式演练】
1．（2022春·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（ ）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
A．358 B．301 C．071 D．206
【答案】C
【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；
即随机选取的第一袋牛奶标号是206；
以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；
下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；
所以，第四袋牛奶的标号为071.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）某中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该中学的总人数为，
由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：，
所以估计该高中学生的平均身高为：.
故选：A
题型二：用样本估计总体
【典例分析】
例题1．（多选）（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．优秀学生人数比不及格学生人数少人
C．该次比赛成绩的平均分约为
D．这次比赛成绩的分位数为
【答案】BCD
【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误；
对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；
对于C项，平均分，故C正确；
对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确.
故选:BCD
例题2．（多选）（2022·山东德州·统考二模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本的众数为 B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【答案】ABD
【详解】对于，样本的众数为，故正确;
对于，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为 ，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值为：
，故错误，
对于，2000名男生中体重低于的人数大约为，故正确，
故选：．
【提分秘籍】
频率分布直方图中的考点常常涉及到:
①平均数，众数，中位数估计值；
②各个小矩形面积之和等于1
【变式演练】
1．（多选）（2022·广东韶关·统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男､女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时
C．女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的
【答案】BC
【详解】对于A，由，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在的频率为，在的频率为，所以女观众收看时长的中位数落在中，不妨设为，
则，解得，则女观众收看时长的中位数为，故B正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为小时，女性观众收看节目的平均时长为小时，故C正确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为人，女性观众收看达到9小时人数为人，故D错误.
故选：BC.
2．（多选）（2022·江苏南京·南京外国语学校校联考模拟预测）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．a=0.012
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52
C．这100名学生成绩的中位数为65
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】ABD
【详解】对于A，，
，所以A正确．
对于B，所以B正确；
对于C，，
中位数在，设中位数为，则，
所以C错误．
对于D，平均数，所以D正确．
故选：ABD.
题型三：样本的数字特征
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市第一中学校校考一模）已知一个容量为的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为，方差为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】由题意可知，个样本数据之和为，
去掉5个相同的样本数据90后，个样本数据之和为，
所以，排除选项C；
因为样本数据中有5个相同的数据90，且，
不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，
则，
所以，即．
故选：A
例题2．（2022春·四川成都·高三统考期末）若数据9，，6，，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，
方差为，
化简得 ，解得或，
或，
则数据11，9，，17，为或，
两组数据有相同的平均数和方差，
平均数为，
方差为，
故选：C
【变式演练】
1．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为: 9, 8, 7, 6, 5, 7, 则该六天最低气温的平均数和方差分别为
A．7和 B．8和 C．7和1 D．8和
【答案】A
【详解】平均数,
方差.
故选A.
2．（2022·上海·高三专题练习）若数的标准差为，则数的标准差为________.
【答案】6
【详解】数，，，，的标准差为2，
则数，，，，的方差为4，
数，，，，的方差为，标准差为6.
故答案为： 6．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .
【答案】
【详解】∵总体的中位数为，∴a+b=21，
故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，
只需最小，
又,
当且仅当a=b=10.5时，等号成立.
题型四：百分位数
【典例分析】
例题1．（2022春·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，
于是得，整理得：，解得或，
当时，数据中的分位数是第3个数，则，解得，所有选项都不满足；
当时，数据中的分位数是第6个数，则，解得，选项A，B，D不满足，C满足.
故选：C
例题2．（2022春·河南开封·高三统考开学考试）已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______.
【答案】8
【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得，解得．
故答案为：8.
【提分秘籍】
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
【变式演练】
1．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）2021年2月20日，在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
【答案】A
【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.
学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；
由，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，
即，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；
故选：A
2．（2022·上海·高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
【答案】172
【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以，
故答案为:172
3．（2022春·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
这10名同学数学成绩的分位数是___________.
【答案】146
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的分位数为：.
故答案为：146
题型五：线性回归
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【详解】把代入，得，
所以在样本点处的残差.
故选：B.
例题2．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为
A．75万元 B．85万元
C．99万元 D．105万元
【答案】B
详解：由题意得，
∴样本中心为．
∵回归直线过样本中心，
∴，解得，
∴回归直线方程为．
当时，，
故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
故选B．
例题3．（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知变量与的一组数据如表所示，根据数据得到关于的回归方程为．
2
3
4
5
6
20
30
50
60
70
若，则_______．
【答案】9
【详解】令，则，
故由表中数据可得 取 ，故 ，
而，
故 ，
故时，，即，
解得 ，（负值舍去）,
故答案为：9
【提分秘籍】
回归直线方程一定经过样本中心.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
第天
1
2
3
4
5
使用人数()
15
173
457
842
1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【详解】令，则，
1
4
9
16
25
使用人数()
15
173
457
842
1333
，，
所以，
所以，
当时，，
所以残差为.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
4
6
8
10
2
3
5
6
由上表可得线性回归方程，则______．
【答案】##
【详解】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：.
3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：
日期
8
9
10
11
12
平均气温(℃)
20.5
21.5
21.5
22
22.5
由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．
【答案】23.85
【详解】由题意得：
， ，
故，
则3月15日成都市的平均气温为（℃），
故答案为：23.85
4．（2022·高二课时练习）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本点处的残差为，则的值为______，表中m的值为______.
【答案】 0.35## 4.5##
【详解】由在样本点处的残差为-0.15，可得当时；，即，解得.又，，回归直线过点，所以，解得.
故答案为：0.35,4.5
题型六：独立性检验
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合计/人
22
18
40
注：独立性检验中，．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；
②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；
③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；
④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，
因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；
，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男市民
女市民
当时，若没有的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则的最小值为___________.
附：，其中
【答案】
【详解】由题意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为.
故答案为：.
【提分秘籍】
①能正确计算
②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论
【变式演练】
1．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）经研究表明健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年大，得到2×2列联表如下：
肥胖
不肥胖
总计
低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L
10
65
75
低密度脂蛋白高于3.1mmol/L
10
15
25
总计
20
80
100
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
B．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
【答案】A
【详解】由题表知
所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
故选：A
2．（2022秋·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
附：，其中.
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
由题表中的数据可得: ,
因为,
所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
，.
【答案】30
【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则，
由，解得，
由题知应为6的整数倍，
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有30人，
故答案为：30.
4．（2022·全国·高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.
【答案】
【详解】设男生人数为，由题意可得列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
女生
总计
若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，
则，
即，
解得.
因为各部分人数均为整数，所以若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有人.
故答案为：.
题型七：排列组合
【典例分析】
例题1．（2022·安徽蚌埠·统考一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
【答案】D
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为.
故选：D.
例题2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
例题3．（2022·河南·统考模拟预测）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
【答案】691200
【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有种方法，还剩5本书横放，有种方法，
故不同的摆放方法种数为.
故答案为：691200
例题4．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种．
【答案】5400
【详解】先安排体育课（不能在第一节）有种，化学和政治在同一节有种，
剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有种，
不妨设第1，2，3，4节的顺序，
二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节，
对应一班选出的某节课，比如第2节，
在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种，
故不同的排课表方法共有种,
故答案为：5400
【提分秘籍】
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；
(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有.
故选：B.
2．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
3．（2022·四川成都·成都七中校考三模）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）
【答案】10
【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.
②丙选择两名男子：.
所以不同的安排方法种数是：10种.
故答案为：10.
题型八：二项式定理
【典例分析】
例题1．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【详解】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是.
故选：B．
例题2．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（ ）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
例题3．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）已知，则的值为___________.
【答案】
【详解】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
例题4．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）的展开式中的系数是___________（用数字作答）
【答案】
【详解】
展开式通项为：；展开式通项为：；
则当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；
的展开式中的系数为.
故答案为：.
【提分秘籍】
二项式定理中，三项展开式中具体某项，两个式子相乘展开式中具体某项是考试的重点，通项公式是重要解题工具.
【变式演练】
1．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中，一次项的系数为，
常数项为，
所以一次项的系数与常数项之和为，
故选：D
2．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【详解】，
令，则
，
展开式的通项为：，
令，可得，所以.
故选：A.
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知的展开式中常数项为121，则实数___________.
【答案】
【详解】由题意可知，二项式的展开通项
当时，此时的常数项为；
当时，此时的常数项为
所以，展开式中的常数项为，解得.
故答案为：
4．（2022·广东广州·统考一模）已知的展开式中的系数是20，则实数__________.
【答案】2
【详解】解：因为
则展开式中的系数是，求得.
故答案为：2.
5．（2022·河南安阳·模拟预测）已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
【答案】240
【详解】因的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则，其所有项的系数和为，
而，解得，则有展开式的通项为，
由得，于是得展开式中项为，
所以展开式中的系数为240.
故答案为：240
题型九：古典概型
【典例分析】
例题1．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：
恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：
第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；
第二部，剩下的两名同学各安排一个项目
则
所以恰有两人参加同一活动的概率为：
故选：C
例题2．（2022·全国·模拟预测）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，
其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种 ,
故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，
故选：B
例题3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为___________.（用分数作答）
【答案】
【详解】每种汤圆都至少取到1个的包括2个芝麻馅，1个花生馅，1个豆沙馅；1个芝麻馅，2个花生馅，1个豆沙馅
以及1个芝麻馅，1个花生馅，2个豆沙馅，故每种汤圆都至少取到1个的概率为.
故答案为：.
例题4．（2022·山东聊城·统考一模）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为___________.
【答案】
【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有种，有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有种，
有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有种，
3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为.
故答案为：.
【提分秘籍】
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
【变式演练】
1．（2022·山东烟台·统考三模）屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为
故选：C
2．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：
，，
共有15对，它们等可能，其中是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，
所以不能组成孪生素数的概率为.
故选：C
3．（2022·上海·统考模拟预测）小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为________．
【答案】
【详解】将1毛钱按10个1分排成一列，有9个空，
任选2个空插入隔板可将1毛钱分成三份的种数有种，
甲抢到5分钱，则乙丙抢到余下两份有共4种，
所以1毛钱分成三份，甲抢到5分钱的概率为，
故答案为：
4．（2022·上海徐汇·统考二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.
故答案为：.
题型十：条件概率
【典例分析】
例题1．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记事件为“至少有两人选择花样滑冰”，事件为“甲同学选择花样滑冰则”，
，，
所以，．
故选：D.
例题2．（2022·北京东城·统考三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【详解】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以，，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.
故选：A
例题3．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【答案】
【详解】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，
则，
，
，
故答案为：．
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________.
【答案】.
【详解】设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，则，，所以.
故答案为：.
【提分秘籍】
一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
【变式演练】
1．（2022·江西·校联考二模）有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”，
在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生，
相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数，
事件A发生的样本点数，
所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为.
故选：A
2．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记事件“4名同学所报选项各不相同”，
事件“已知甲同学报的项目其他同学不报”，
，，.
故选：C.
3．（2022·湖南·校联考模拟预测）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.
【答案】
【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，，.
故答案为：
题型十一：正态分布
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
例题2．（2022·江苏扬州·统考模拟预测）山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（ ）
附：若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：，
故
，
故烟台苹果直径在]内的概率为，
故选：C
例题3．（2022·河北·校联考模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.（附：若，则，，）
【答案】0.00135
【详解】又，则，
随机变量服从正态分布，且，
即，所以，即，，即，
所以，所以.
故答案为：0.00135.
例题4．（2022·广东汕头·统考三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
【答案】59.9
【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
【提分秘籍】
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
【变式演练】
1．（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若函数是偶函数，则实数（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
所以.
故选：C
2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
【答案】A
【详解】由题设，即，
又，故.
故选：A
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【详解】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.
故答案为：19.
4．（2022·河南·校联考模拟预测）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立．某次考试满分150分，共有1200名学生参加考试，全体学生的成绩～N（90，62），则分数不低于110分的学生不超过______人．
【答案】54
【详解】由题意可知，取，则，
所以分数不低于110分的学生不超过人．
故答案为：54.
题型十二：均值和方差
【典例分析】
例题1．（2022·山东济南·统考二模）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
【答案】C
【详解】由题，
则，，
所以.
故选：C.
例题2．（2022·广西桂林·校联考模拟预测）设．随机变量的分布列是
0
1
则当在内增大时，（ ）
A．不变 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【详解】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
例题3．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.
0
1
2
【答案】
【详解】由题意可知，，则，，
故随机变量的数学期望，
从而，
因为，
所以由二次函数性质可知，，
故方差的取值范围是.
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则方差______．
【答案】
【详解】由题意知：，2，3，
，，，
∴的分布列为：
1
2
3
∴，，
∴.
故答案为：.
【提分秘籍】
离散型随机变量的分布列
…
…
…
…
均值；方差：
【变式演练】
1．（2022·浙江·校联考模拟预测）设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
2．（2022·四川内江·统考模拟预测）随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
0
1
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】
由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
故选：C．
3．（2022·山东淄博·统考三模）设随机变量，满足．若，则_____．
【答案】##1.5
【详解】由，故，则，
所以，则，而，
则.
故答案为：
4．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）已知随机变量，若最大，则______．
【答案】24
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
1．（2022·上海宝山·统考一模）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
2．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时, 预报变量平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即:作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说，越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为, 故④错误.
故选：B.
3．（2022·山东聊城·统考一模）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;
依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.
故选：C
4．（2022·安徽·校联考二模）为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（ ）
A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为
B．
C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为
D．
【答案】B
【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；
依题意的可能取值为，则，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然为这3人，则，
同理可得：，所以，故B错误；
对于，工人甲一周内两次均未被选中的概率为，
所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；
，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，
故概率为：，
同理可得：，
所以，故D正确.
故选：B.
5．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》、《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》、《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙均有种情况，
若两本相同书目均为中国名著，则从4本中国名著中选择两本，有种选择，两本外国名著，两人进行全排列即可，有情况为种，
则概率；
若两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，则先从4本中国名著中选择1本，两人均选择了此名著，再从2本外国名著中选择1人，两人均选择了此名著，有种选择，
再从剩余的3本中国名著中选择2本不同的名著，即进行部分排列即可，此时有种选择，
故共有种选择，
则概率，
所以甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率.
故选：C ．
6．（2022·湖南·模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A． B．21 C． D．35
【答案】A
【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．
故选：A
7．（2022·全国·模拟预测）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，包含书法､舞蹈､围棋､演讲､武术五项活动，甲同学打算从这五项活动中随机选三项，则书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中包含这两项活动都没被选中和这两项活动只有一项被选中这两种情况，所以所求概率.
解法二：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的对立事件为这两项活动都被选中，所以所求概率.
故选：C
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知事件，，相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，又事件，，相互独立，，
，当且仅当时取等号，
而，因此，
所以.
故选：B
9．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】可能的取值有1，2，3
.
故选：D
10．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【答案】B
【详解】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.
则；；
；.
所以.
故选：B
二、多选题
11．（2022·湖北·恩施市第一中学校联考模拟预测）将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与不相互独立
C． D．
【答案】BD
【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD
12．（2022·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
【答案】ABD
【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；
对于B，由题意得的分布列为
且；
记,
则，
两式相减得
，
所以，故正确
对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，
对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.
【答案】
【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.
①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.
又板块颜色可排列，故共种.
故答案为：
14．（2022·江西赣州·统考二模）用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则ak=___________.
【答案】
【详解】由题意得，因为在回归直线上，所以，由得与比较得：，a.
故答案为：.
四、双空题
15．（2022·山东淄博·统考三模）已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________
【答案】
【详解】设二线城市房产均价为，方差为，
因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，
所以，
解得（万元/平方米），
由题意可得，
解得，
故答案为：2；29.9.
16．（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）用数字1，2，3，4，5给3名男生和2名女生随机地编学号，则男生和女生的学号都不相邻的编法有_________种（用数字作答）；记随机变量，其中X，Y分别为男生、女生的学号之和，则随机变量的数学期望_________．
【答案】 12 3
【详解】由已知男生的编号为1，3，5，女生的编号为2，4，
用1，3，5给男生编号有种编号方法，用2，4给女生编号有种编号方法，
所以满足条件的编号方法有种，
由已知随机变量的取值有，
，，，
，，，，
所以，
故答案为：12；3
17．（2022·浙江湖州·校联考模拟预测）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
【答案】 ##1.2
【详解】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为，则，，，
所以.
故答案为：，.
18．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知甲口袋中有3个白球，2个黑球，乙口袋中有1个白球，3个黑球，分别从两个口袋中各取两个球，X表示从甲口袋中取出的白球数，Y表示从乙口袋中取出的黑球数，表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数，则_________；___________．
【答案】 2.7## 0.61##
【详解】由题，,,，
，；
故，，，，故的分布列：
1
2
3
4
P
所以
又从甲口袋中取出的黑球数为，同理可得分布列：
0
1
2
P
同理的分布列
1
2
3
4
P
所以
故答案为：2.7；
专题10-1概率统计（选填）
目录
1
题型一：随机抽样、分层抽样 1
题型二：用样本估计总体 3
题型三：样本的数字特征 8
题型四：百分位数 10
题型五：线性回归 13
题型六：独立性检验 18
题型七：排列组合 25
题型八：二项式定理 29
题型九：古典概型 33
题型十：条件概率 37
题型十一：正态分布 41
题型十二：均值和方差 45
50
题型一：随机抽样、分层抽样
【典例分析】
例题1．（2022秋·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24，
故选：A
例题2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（ ）
A．7 B．13 C．8 D．9
【答案】D
【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为，
抽取的莴笋份数为，
故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是，
故选：D
【提分秘籍】
随机数表法是常用的一种抽样方法，使用时做到不重复，不遗漏.
分层抽样注意分层，每层抽样比相同.
【变式演练】
1．（2022春·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（ ）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
A．358 B．301 C．071 D．206
【答案】C
【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；
即随机选取的第一袋牛奶标号是206；
以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；
下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；
所以，第四袋牛奶的标号为071.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）某中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该中学的总人数为，
由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：，
所以估计该高中学生的平均身高为：.
故选：A
题型二：用样本估计总体
【典例分析】
例题1．（多选）（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．优秀学生人数比不及格学生人数少人
C．该次比赛成绩的平均分约为
D．这次比赛成绩的分位数为
【答案】BCD
【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误；
对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；
对于C项，平均分，故C正确；
对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确.
故选:BCD
例题2．（多选）（2022·山东德州·统考二模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本的众数为 B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【答案】ABD
【详解】对于，样本的众数为，故正确;
对于，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为 ，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值为：
，故错误，
对于，2000名男生中体重低于的人数大约为，故正确，
故选：．
【提分秘籍】
频率分布直方图中的考点常常涉及到:
①平均数，众数，中位数估计值；
②各个小矩形面积之和等于1
【变式演练】
1．（多选）（2022·广东韶关·统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男､女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时
C．女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的
【答案】BC
【详解】对于A，由，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在的频率为，在的频率为，所以女观众收看时长的中位数落在中，不妨设为，
则，解得，则女观众收看时长的中位数为，故B正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为小时，女性观众收看节目的平均时长为小时，故C正确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为人，女性观众收看达到9小时人数为人，故D错误.
故选：BC.
2．（多选）（2022·江苏南京·南京外国语学校校联考模拟预测）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．a=0.012
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52
C．这100名学生成绩的中位数为65
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】ABD
【详解】对于A，，
，所以A正确．
对于B，所以B正确；
对于C，，
中位数在，设中位数为，则，
所以C错误．
对于D，平均数，所以D正确．
故选：ABD.
题型三：样本的数字特征
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市第一中学校校考一模）已知一个容量为的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为，方差为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】由题意可知，个样本数据之和为，
去掉5个相同的样本数据90后，个样本数据之和为，
所以，排除选项C；
因为样本数据中有5个相同的数据90，且，
不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，
则，
所以，即．
故选：A
例题2．（2022春·四川成都·高三统考期末）若数据9，，6，，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，
方差为，
化简得 ，解得或，
或，
则数据11，9，，17，为或，
两组数据有相同的平均数和方差，
平均数为，
方差为，
故选：C
【变式演练】
1．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为: 9, 8, 7, 6, 5, 7, 则该六天最低气温的平均数和方差分别为
A．7和 B．8和 C．7和1 D．8和
【答案】A
【详解】平均数,
方差.
故选A.
2．（2022·上海·高三专题练习）若数的标准差为，则数的标准差为________.
【答案】6
【详解】数，，，，的标准差为2，
则数，，，，的方差为4，
数，，，，的方差为，标准差为6.
故答案为： 6．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .
【答案】
【详解】∵总体的中位数为，∴a+b=21，
故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，
只需最小，
又,
当且仅当a=b=10.5时，等号成立.
题型四：百分位数
【典例分析】
例题1．（2022春·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，
于是得，整理得：，解得或，
当时，数据中的分位数是第3个数，则，解得，所有选项都不满足；
当时，数据中的分位数是第6个数，则，解得，选项A，B，D不满足，C满足.
故选：C
例题2．（2022春·河南开封·高三统考开学考试）已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______.
【答案】8
【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得，解得．
故答案为：8.
【提分秘籍】
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
【变式演练】
1．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）2021年2月20日，在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
【答案】A
【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.
学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；
由，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，
即，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；
故选：A
2．（2022·上海·高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
【答案】172
【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以，
故答案为:172
3．（2022春·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
这10名同学数学成绩的分位数是___________.
【答案】146
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的分位数为：.
故答案为：146
题型五：线性回归
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【详解】把代入，得，
所以在样本点处的残差.
故选：B.
例题2．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为
A．75万元 B．85万元
C．99万元 D．105万元
【答案】B
详解：由题意得，
∴样本中心为．
∵回归直线过样本中心，
∴，解得，
∴回归直线方程为．
当时，，
故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
故选B．
例题3．（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知变量与的一组数据如表所示，根据数据得到关于的回归方程为．
2
3
4
5
6
20
30
50
60
70
若，则_______．
【答案】9
【详解】令，则，
故由表中数据可得 取 ，故 ，
而，
故 ，
故时，，即，
解得 ，（负值舍去）,
故答案为：9
【提分秘籍】
回归直线方程一定经过样本中心.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
第天
1
2
3
4
5
使用人数()
15
173
457
842
1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【详解】令，则，
1
4
9
16
25
使用人数()
15
173
457
842
1333
，，
所以，
所以，
当时，，
所以残差为.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
4
6
8
10
2
3
5
6
由上表可得线性回归方程，则______．
【答案】##
【详解】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：.
3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：
日期
8
9
10
11
12
平均气温(℃)
20.5
21.5
21.5
22
22.5
由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．
【答案】23.85
【详解】由题意得：
， ，
故，
则3月15日成都市的平均气温为（℃），
故答案为：23.85
4．（2022·高二课时练习）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本点处的残差为，则的值为______，表中m的值为______.
【答案】 0.35## 4.5##
【详解】由在样本点处的残差为-0.15，可得当时；，即，解得.又，，回归直线过点，所以，解得.
故答案为：0.35,4.5
题型六：独立性检验
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合计/人
22
18
40
注：独立性检验中，．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；
②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；
③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；
④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，
因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；
，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男市民
女市民
当时，若没有的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则的最小值为___________.
附：，其中
【答案】
【详解】由题意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为.
故答案为：.
【提分秘籍】
①能正确计算
②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论
【变式演练】
1．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）经研究表明健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年大，得到2×2列联表如下：
肥胖
不肥胖
总计
低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L
10
65
75
低密度脂蛋白高于3.1mmol/L
10
15
25
总计
20
80
100
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
B．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
【答案】A
【详解】由题表知
所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
故选：A
2．（2022秋·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
附：，其中.
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
由题表中的数据可得: ,
因为,
所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
，.
【答案】30
【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则，
由，解得，
由题知应为6的整数倍，
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有30人，
故答案为：30.
4．（2022·全国·高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.
【答案】
【详解】设男生人数为，由题意可得列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
女生
总计
若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，
则，
即，
解得.
因为各部分人数均为整数，所以若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有人.
故答案为：.
题型七：排列组合
【典例分析】
例题1．（2022·安徽蚌埠·统考一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
【答案】D
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为.
故选：D.
例题2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
例题3．（2022·河南·统考模拟预测）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
【答案】691200
【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有种方法，还剩5本书横放，有种方法，
故不同的摆放方法种数为.
故答案为：691200
例题4．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种．
【答案】5400
【详解】先安排体育课（不能在第一节）有种，化学和政治在同一节有种，
剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有种，
不妨设第1，2，3，4节的顺序，
二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节，
对应一班选出的某节课，比如第2节，
在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种，
故不同的排课表方法共有种,
故答案为：5400
【提分秘籍】
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；
(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有.
故选：B.
2．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
3．（2022·四川成都·成都七中校考三模）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）
【答案】10
【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.
②丙选择两名男子：.
所以不同的安排方法种数是：10种.
故答案为：10.
题型八：二项式定理
【典例分析】
例题1．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【详解】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是.
故选：B．
例题2．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（ ）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
例题3．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）已知，则的值为___________.
【答案】
【详解】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
例题4．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）的展开式中的系数是___________（用数字作答）
【答案】
【详解】
展开式通项为：；展开式通项为：；
则当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；
的展开式中的系数为.
故答案为：.
【提分秘籍】
二项式定理中，三项展开式中具体某项，两个式子相乘展开式中具体某项是考试的重点，通项公式是重要解题工具.
【变式演练】
1．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中，一次项的系数为，
常数项为，
所以一次项的系数与常数项之和为，
故选：D
2．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【详解】，
令，则
，
展开式的通项为：，
令，可得，所以.
故选：A.
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知的展开式中常数项为121，则实数___________.
【答案】
【详解】由题意可知，二项式的展开通项
当时，此时的常数项为；
当时，此时的常数项为
所以，展开式中的常数项为，解得.
故答案为：
4．（2022·广东广州·统考一模）已知的展开式中的系数是20，则实数__________.
【答案】2
【详解】解：因为
则展开式中的系数是，求得.
故答案为：2.
5．（2022·河南安阳·模拟预测）已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
【答案】240
【详解】因的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则，其所有项的系数和为，
而，解得，则有展开式的通项为，
由得，于是得展开式中项为，
所以展开式中的系数为240.
故答案为：240
题型九：古典概型
【典例分析】
例题1．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：
恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：
第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；
第二部，剩下的两名同学各安排一个项目
则
所以恰有两人参加同一活动的概率为：
故选：C
例题2．（2022·全国·模拟预测）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，
其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种 ,
故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，
故选：B
例题3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为___________.（用分数作答）
【答案】
【详解】每种汤圆都至少取到1个的包括2个芝麻馅，1个花生馅，1个豆沙馅；1个芝麻馅，2个花生馅，1个豆沙馅
以及1个芝麻馅，1个花生馅，2个豆沙馅，故每种汤圆都至少取到1个的概率为.
故答案为：.
例题4．（2022·山东聊城·统考一模）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为___________.
【答案】
【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有种，有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有种，
有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有种，
3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为.
故答案为：.
【提分秘籍】
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
【变式演练】
1．（2022·山东烟台·统考三模）屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为
故选：C
2．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：
，，
共有15对，它们等可能，其中是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，
所以不能组成孪生素数的概率为.
故选：C
3．（2022·上海·统考模拟预测）小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为________．
【答案】
【详解】将1毛钱按10个1分排成一列，有9个空，
任选2个空插入隔板可将1毛钱分成三份的种数有种，
甲抢到5分钱，则乙丙抢到余下两份有共4种，
所以1毛钱分成三份，甲抢到5分钱的概率为，
故答案为：
4．（2022·上海徐汇·统考二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.
故答案为：.
题型十：条件概率
【典例分析】
例题1．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记事件为“至少有两人选择花样滑冰”，事件为“甲同学选择花样滑冰则”，
，，
所以，．
故选：D.
例题2．（2022·北京东城·统考三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【详解】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以，，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.
故选：A
例题3．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【答案】
【详解】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，
则，
，
，
故答案为：．
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________.
【答案】.
【详解】设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，则，，所以.
故答案为：.
【提分秘籍】
一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
【变式演练】
1．（2022·江西·校联考二模）有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”，
在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生，
相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数，
事件A发生的样本点数，
所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为.
故选：A
2．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记事件“4名同学所报选项各不相同”，
事件“已知甲同学报的项目其他同学不报”，
，，.
故选：C.
3．（2022·湖南·校联考模拟预测）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.
【答案】
【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，，.
故答案为：
题型十一：正态分布
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
例题2．（2022·江苏扬州·统考模拟预测）山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（ ）
附：若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：，
故
，
故烟台苹果直径在]内的概率为，
故选：C
例题3．（2022·河北·校联考模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.（附：若，则，，）
【答案】0.00135
【详解】又，则，
随机变量服从正态分布，且，
即，所以，即，，即，
所以，所以.
故答案为：0.00135.
例题4．（2022·广东汕头·统考三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
【答案】59.9
【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
【提分秘籍】
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
【变式演练】
1．（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若函数是偶函数，则实数（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
所以.
故选：C
2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
【答案】A
【详解】由题设，即，
又，故.
故选：A
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【详解】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.
故答案为：19.
4．（2022·河南·校联考模拟预测）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立．某次考试满分150分，共有1200名学生参加考试，全体学生的成绩～N（90，62），则分数不低于110分的学生不超过______人．
【答案】54
【详解】由题意可知，取，则，
所以分数不低于110分的学生不超过人．
故答案为：54.
题型十二：均值和方差
【典例分析】
例题1．（2022·山东济南·统考二模）已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
【答案】C
【详解】由题，
则，，
所以.
故选：C.
例题2．（2022·广西桂林·校联考模拟预测）设．随机变量的分布列是
0
1
则当在内增大时，（ ）
A．不变 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【详解】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
例题3．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.
0
1
2
【答案】
【详解】由题意可知，，则，，
故随机变量的数学期望，
从而，
因为，
所以由二次函数性质可知，，
故方差的取值范围是.
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则方差______．
【答案】
【详解】由题意知：，2，3，
，，，
∴的分布列为：
1
2
3
∴，，
∴.
故答案为：.
【提分秘籍】
离散型随机变量的分布列
…
…
…
…
均值；方差：
【变式演练】
1．（2022·浙江·校联考模拟预测）设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
2．（2022·四川内江·统考模拟预测）随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
0
1
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】
由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
故选：C．
3．（2022·山东淄博·统考三模）设随机变量，满足．若，则_____．
【答案】##1.5
【详解】由，故，则，
所以，则，而，
则.
故答案为：
4．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）已知随机变量，若最大，则______．
【答案】24
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
1．（2022·上海宝山·统考一模）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
2．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时, 预报变量平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即:作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说，越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为, 故④错误.
故选：B.
3．（2022·山东聊城·统考一模）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;
依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.
故选：C
4．（2022·安徽·校联考二模）为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（ ）
A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为
B．
C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为
D．
【答案】B
【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；
依题意的可能取值为，则，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然为这3人，则，
同理可得：，所以，故B错误；
对于，工人甲一周内两次均未被选中的概率为，
所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；
，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，
故概率为：，
同理可得：，
所以，故D正确.
故选：B.
5．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》、《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》、《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙均有种情况，
若两本相同书目均为中国名著，则从4本中国名著中选择两本，有种选择，两本外国名著，两人进行全排列即可，有情况为种，
则概率；
若两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，则先从4本中国名著中选择1本，两人均选择了此名著，再从2本外国名著中选择1人，两人均选择了此名著，有种选择，
再从剩余的3本中国名著中选择2本不同的名著，即进行部分排列即可，此时有种选择，
故共有种选择，
则概率，
所以甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率.
故选：C ．
6．（2022·湖南·模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A． B．21 C． D．35
【答案】A
【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．
故选：A
7．（2022·全国·模拟预测）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，包含书法､舞蹈､围棋､演讲､武术五项活动，甲同学打算从这五项活动中随机选三项，则书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中包含这两项活动都没被选中和这两项活动只有一项被选中这两种情况，所以所求概率.
解法二：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的对立事件为这两项活动都被选中，所以所求概率.
故选：C
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知事件，，相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，又事件，，相互独立，，
，当且仅当时取等号，
而，因此，
所以.
故选：B
9．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】可能的取值有1，2，3
.
故选：D
10．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【答案】B
【详解】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.
则；；
；.
所以.
故选：B
二、多选题
11．（2022·湖北·恩施市第一中学校联考模拟预测）将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与不相互独立
C． D．
【答案】BD
【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD
12．（2022·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
【答案】ABD
【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；
对于B，由题意得的分布列为
且；
记,
则，
两式相减得
，
所以，故正确
对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，
对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.
【答案】
【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.
①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.
又板块颜色可排列，故共种.
故答案为：
14．（2022·江西赣州·统考二模）用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则ak=___________.
【答案】
【详解】由题意得，因为在回归直线上，所以，由得与比较得：，a.
故答案为：.
四、双空题
15．（2022·山东淄博·统考三模）已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________
【答案】
【详解】设二线城市房产均价为，方差为，
因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，
所以，
解得（万元/平方米），
由题意可得，
解得，
故答案为：2；29.9.
16．（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）用数字1，2，3，4，5给3名男生和2名女生随机地编学号，则男生和女生的学号都不相邻的编法有_________种（用数字作答）；记随机变量，其中X，Y分别为男生、女生的学号之和，则随机变量的数学期望_________．
【答案】 12 3
【详解】由已知男生的编号为1，3，5，女生的编号为2，4，
用1，3，5给男生编号有种编号方法，用2，4给女生编号有种编号方法，
所以满足条件的编号方法有种，
由已知随机变量的取值有，
，，，
，，，，
所以，
故答案为：12；3
17．（2022·浙江湖州·校联考模拟预测）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
【答案】 ##1.2
【详解】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为，则，，，
所以.
故答案为：，.
18．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知甲口袋中有3个白球，2个黑球，乙口袋中有1个白球，3个黑球，分别从两个口袋中各取两个球，X表示从甲口袋中取出的白球数，Y表示从乙口袋中取出的黑球数，表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数，则_________；___________．
【答案】 2.7## 0.61##
【详解】由题，,,，
，；
故，，，，故的分布列：
1
2
3
4
P
所以
又从甲口袋中取出的黑球数为，同理可得分布列：
0
1
2
P
同理的分布列
1
2
3
4
P
所以
故答案为：2.7；
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