新高考数学二轮复习培优训练专题04 平面向量的线性运算与数量积（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题04 平面向量的线性运算与数量积（含解析），共25页。

1、【2022年全国乙卷】已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
2．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3、【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以 ．
故选：B．
4．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】：,,即,解得,
故选：C
5、【2022年北京】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
6、【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．
【答案】##
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
7．【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，错误；
C：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故一般来说 SKIPIF 1 < 0 故错误；
故选：AC
9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解方程可得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
11、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】. SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
14、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______________.
【答案】5
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5.
15、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的夹角为45°， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则k=__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由向量垂直的充分必要条件可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用
1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 SKIPIF 1 < 0 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 SKIPIF 1 < 0 分别为任意 SKIPIF 1 < 0 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错误，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
1-2、（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形中，，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】
,
又∵，不共线 ，
根据平面向量基本定理可得,
∴,
故选：D.
1-3、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
易知，，
，
∴，
故选：C .
1-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 的等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
1-5、（2022·广东罗湖·高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，选项B错误；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向不同，选项C错误；
延长 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ,通过向量减法的三角形法则可知 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确.
故选：AD.
1-6、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：AD.
题组二、向量的坐标运算
2-1、（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2-2、（2022·河北保定·高三期末）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A不正确；
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C：令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，故选项C不正确，
对于D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此方程无解，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D不正确；
故选：B.
2-3、（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不平行，A错，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不垂直，B错，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，C对，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不垂直，D错，
故选：C.
2-4、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
对B：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C：与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量有两个，分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线同向，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确；
故选：BD.
题组三、向量的夹角与模
3-1、（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3-2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影的数量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 夹角 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解:因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
3-4、（2022·山东烟台·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3-5、（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
题组四、向量数量积的运用
4-1、（2022·山东日照·高三期末）已知△ SKIPIF 1 < 0 是边长为1的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
把△ SKIPIF 1 < 0 如下图放在直角坐标系中，
由于△ SKIPIF 1 < 0 的边长为1，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4-2、（2022·湖北·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．6
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
4-3、（2022·山东淄博·三模）如图在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：C．
4-4、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
1、（2022·河北张家口·高三期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2、（2022·山东泰安·高三期末）若单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
把 SKIPIF 1 < 0 左右两边同时平方得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4、（2022·山东济南·高三期末）在平面直角坐标系内，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内一动点，则下列条件中使得点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【解析】
设点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
对于A： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故A正确
对于B： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故B正确
对于C： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故C正确
对于D： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故D正确
故选：ABCD
5、（2022·山东济南·高三期末）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°D．向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°，故C错误；
向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
6、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上移动（不含端点），若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】2 SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上移动（不含端点），所以设 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，对比 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数性质知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7、（2022·广东佛山·高三期末）菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E，F分别是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（包括端点）， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为：0， SKIPIF 1 < 0
8、（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9、（2022·广东东莞·高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将卡纸绕顶点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的旋转点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##
【解析】
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系. 如图,则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 绕顶点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 ，如图.
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 可以看成是角 SKIPIF 1 < 0 的终边. 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0