新高考数学二轮复习培优训练专题21 计数原理（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题21 计数原理（含解析），共15页。

1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 SKIPIF 1 < 0 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 SKIPIF 1 < 0 种不同的分配方案，
故选：C.
3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 SKIPIF 1 < 0 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 SKIPIF 1 < 0 种不同的分配方案，
故选：C.
4、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 SKIPIF 1 < 0 种排法，若2个0不相邻，则有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 SKIPIF 1 < 0 个场馆，甲场馆安排 SKIPIF 1 < 0 名，乙场馆安排 SKIPIF 1 < 0 名，丙场馆安排 SKIPIF 1 < 0 名，则不同的安排方法共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 种 B． SKIPIF 1 < 0 种 C． SKIPIF 1 < 0 种D． SKIPIF 1 < 0 种
【答案】C
【解析】首先从 SKIPIF 1 < 0 名同学中选 SKIPIF 1 < 0 名去甲场馆，方法数有 SKIPIF 1 < 0 ；然后从其余 SKIPIF 1 < 0 名同学中选 SKIPIF 1 < 0 名去乙场馆，方法数有 SKIPIF 1 < 0 ；最后剩下的 SKIPIF 1 < 0 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有 SKIPIF 1 < 0 种，故选C．
6、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
【答案】180
【解析】按照先选再排的方法可知共有 SKIPIF 1 < 0 种方法．
故答案为：180
7、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学， SKIPIF 1 < 0 先取2名同学看作一组，选法有： SKIPIF 1 < 0 ，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： SKIPIF 1 < 0 ，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 SKIPIF 1 < 0 种，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8、【2020全国Ⅲ理14】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其二项式展开通项：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项是： SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9、【2020浙江卷12】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】80；51
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的系数，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：80；51．
10、【2020天津卷11】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
11、（2020全国Ⅰ理8） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式的乘积可表示为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，该项中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，该项中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
12、【2020北京卷3】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意展开式的通项为Tr+1，令r=1得x2的系数为-10，故选C．
11、（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20 D．24
【答案】A【解析】的展开式中的系数为．故选A．
13、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
题组一、排列、组合问题
1-1、（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种B．90种C．540种D．720种
【答案】B
【解析】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有 SKIPIF 1 < 0 种方法.由乘法分步原理得共有 SKIPIF 1 < 0 种方法.
故选：B
1-2、（2022·山东日照·高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．48B．60C．96D．168
【答案】C
【解析】由题意所求方法数为6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
1-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）
A．51种B．168种C．224种D．336种
【答案】B
【解析】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：
飞机来自中方，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，飞机来自俄方，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
由分类加法计数原理得： SKIPIF 1 < 0 (种)，
所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.
故选：B
1-4、（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种B．14种C．12种D．10种
【答案】B
【解析】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，
当两组人数为1,3时，有 SKIPIF 1 < 0 种方案，
当两组人数为2,2时，有 SKIPIF 1 < 0 种方案，
所以将4名同学分为两组，共有 SKIPIF 1 < 0 种方案，
再将两组同学分配到两个文明实践站，有 SKIPIF 1 < 0 种，
所以根据乘法原理得共有 SKIPIF 1 < 0 种不同的方法.
故选：B
1-5、（2022·湖南郴州·高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65B．125C．780D．1560
【答案】D
【解析】6人分成4组有两种方案：“ SKIPIF 1 < 0 ”、“ SKIPIF 1 < 0 ”共有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
4组分配到4个大门有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为： SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
1-6、（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种B．36种C．42种D．64种
【答案】A
【解析】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有 SKIPIF 1 < 0 种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有 SKIPIF 1 < 0 种．
故满足条件的分法共有 SKIPIF 1 < 0 种．
故选：A
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
2-1、（2022·广东东莞·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2-2、（2022·广东罗湖·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的各项系数和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．27C．16D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2-3、（2022·山东临沂·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90B．-90C．180D．-180
【答案】C
【解析】
【分析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2-4、（2022·河北深州市中学高三期末） SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为
A．1B．-9C．31D．-19
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，其 SKIPIF 1 < 0 的系数，常数项， SKIPIF 1 < 0 的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则该二项式展开式中的常数项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2-6、（2022·湖南娄底·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．9B． SKIPIF 1 < 0 C．405D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C.
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末（多选题）） SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0
C．展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项
D．展开式中常数项为40
【答案】AC
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 项 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
3-2、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项是15B． SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和是0
C． SKIPIF 1 < 0 的展开式中的二项式系数最大值是15D． SKIPIF 1 < 0 的展开式中不含 SKIPIF 1 < 0 的项
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ,
常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确;
SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 可得展开式中各项系数之和是0，B正确;
二项式系数最大值为中间项的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ，C不正确;
令 SKIPIF 1 < 0 ，不是整数，即 SKIPIF 1 < 0 不含 SKIPIF 1 < 0 的项，D正确.
故选：ABD.
3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B． SKIPIF 1 < 0
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 SKIPIF 1 < 0 的指数均为偶数
【答案】BCD
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 代入二项式可得各项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，设展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为常数项时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 .
代入二项式，可得展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，该展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，可得展开式中 SKIPIF 1 < 0 的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
3-4、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）化简 SKIPIF 1 < 0 的表达式，并证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 的， SKIPIF 1 < 0 都能被 SKIPIF 1 < 0 整除．
【解析】由二项式定理，得 SKIPIF 1 < 0 ；
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除.
1、（2022·山东青岛·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．16B．6C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，故展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，故展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
2、（2022·山东日照·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3、（2022·山东济南·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．40B． SKIPIF 1 < 0 C．80D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4、（2022·山东临沂·高三期末）为了支援山区教育，现在安排 SKIPIF 1 < 0 名大学生到 SKIPIF 1 < 0 个学校进行支教活动，每个学校至少安排 SKIPIF 1 < 0 人，其中甲校至少要安排 SKIPIF 1 < 0 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲校分 SKIPIF 1 < 0 名大学生，此时有 SKIPIF 1 < 0 种分配方法；
若甲校分 SKIPIF 1 < 0 名大学生，此时有 SKIPIF 1 < 0 种分配方法.
综上所述，共有 SKIPIF 1 < 0 种分配方法.
故选：C.
5、（2022·广东汕尾·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．-240B．240C．-60D．60
【答案】D
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
6、（2022·广东佛山·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．80B．40C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
7、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中共有7项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，所有项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，则所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D， SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
8、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有 SKIPIF 1 < 0 个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有 SKIPIF 1 < 0 个方法，故共有 SKIPIF 1 < 0 个不同方法.正确；
选项B： SKIPIF 1 < 0 ,方法总数不对.错误；
选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有 SKIPIF 1 < 0 个方法，上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个，有 SKIPIF 1 < 0 个方法.故共有 SKIPIF 1 < 0 个不同方法.正确；
选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有 SKIPIF 1 < 0 个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有 SKIPIF 1 < 0 个不同方法. 综合①②可知方法总数为： SKIPIF 1 < 0 个不同方法.正确.
故选：ACD
9、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为_______．
【答案】150
【解析】
【分析】 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得展开式的各项系数之和 SKIPIF 1 < 0 ，
根据二项式系数和公式得二项式系数之和 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为150.