新高考数学二轮复习数列培优专题02 等比数列必备知识点与考点突破（含解析）

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专题02 等比数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆知识点1:等比数列
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比数列的判定
(1)(定义法); (2)(中项法)
(3) (通项法)； (4)(和式法).
3.等比数列通项公式
或
例:已知数列满足，，则下列结论正确的是（       ）
A．数列是公差为的等差数列
B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列
D．数列是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
既不是等比数列也不是等差数列；
∴，
∴数列是公比为的等比数列．
故选：C
例:已知等比数列{}中，满足，，则（       ）
A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】
由题意得：，所以，则，
所以数列{}是等比数列，A正确；
，所以，且，故数列是递减数列，B错误；
，所以，C正确；
，
因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.
故选：AC

◆知识点2:等比数列的性质
设为等比数列,公比为,则
(1)若,则.
(2)若成等差数列,则成等比数列.
(3)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列是公比为|q|的等比数列;
若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.
(4)在数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列中,连续相邻项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列是各项都为正数的等比数列,则数列且是公差为的等差数列.
(7)等比数列的连续项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
例:在正项等比数列中，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
在等比数列中，，
于是得，而，所以.
故选：C
例:已知等比数列满足，，则（       ）
A．数列是等差等列 B．数列是等差数列
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
【答案】B
【解析】
解：因为等比数列满足，，
则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；由A知：。故数列是递增数列，故C错误；
由B知：，故数列是递减数列，故D错误；
故选：B

◆知识点3:等比数列前n项和
1.等比数列前项和公式
当时,
当时,
2.等比数列前项和公式与指数函数的关系
(1)当时, 是关于的正比例函数,点是直线上的一群孤立的点.
(2)当时,.记 ,则是一个指数式与一个常数的和.当且时,是指数函数,此时,点是指数型函数图象上的一群孤立的点.
如等比数列 的前项和为,点是函数图象上的一群孤立的点.
例:已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【解析】
∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
例:已知等比数列的前n项和，则实数t的值为（       ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
由等比数列的前项和，分别令，2，3．
得，，，
解得，，，
由等比数列可得，即，，
解得，故选：．

◆知识点4:等比数列前n项和的性质
已知等比数列的公比为,前项和为,则有如下性质:
(1).
证明: .
(2)若均不为0 ,则成等比数列,且公比为.
(3)若共有项,则;
若共有 项,则.
例:等比数列的前n项和为，已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
例:已知等比数列的前项和为，，，则（       ）
A．90 B．100
C．120 D．130
【答案】D
【解析】
设公比为，有，可得，

故选：D．
例:已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.

【核心考点】
◆考点1:等比中项
1．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
解：设等差数列的公差为d，又，，成等比数列，
所以，则，解得：
所以.
故选：D.
2．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，解得．又，，成等比数列，所以，
设公差为d，所以，整理得，因为，所以，
从而．故选：B
3．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
由题意，等差数列的前n项和为，则，
故由，，成等比数列，可得,即,且，
设等差数列的公差为d，则，解得，则数列为常数列，
故，，成等比数列，则公比为 ，故选:D
4．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
设等差数列的公差为，则
，，，
∴，
∴，解得，
∴，即公比为1.
故选：D.

◆考点2:等比数列的证明
1．已知数列的前n项和公式为，则数列（       ）
A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】A
【解析】
由题意得：，
当时，，
也适合上式，故，
则当时，，
即数列是公差为4的等差数列，A正确，D错误；
由于当时，不是常数，故数列不是等比数列，故B,C错误，
故选：A
2．数列中，，，则下列结论中正确的是（　　）
A．数列的通项公式为
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等差数列
【答案】C
【解析】
数列中，，，则，，显然不成等比数列，A，B都不正确；
依题意，，由两边取对数得：，
因此，数列是首项为，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
3．设数列满足，且，则（       ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C．为等比数列 D．为等比数列
【答案】A
【解析】
由，可得，所以，
又由，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
故选：A.
4．若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（       ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】
解：数列的前项和为，且①，
当时，解得，
当时，②，
①②得：，
故，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．．
根据数列的通项公式和求和公式，整理得，，
由于，所以．
故正确，错误．
故选：．

◆考点3:等比数列的性质
1．设是等比数列，且，，则（       ）
A．12 B．2 C．30 D．32
【答案】D
【解析】
设该等比数列的公比为，
因为，
所以由，
所以，
故选：D
2．如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
取等比数列，则数列不是等比数列，故D错误；
对其它选项，均满足等比数列通项公式的性质.
故选：D.
3．已知是等比数列，则（     ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】
若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
4．如果数列是等比数列，且，，则数列是（       ）
A．等比数列 B．等差数列
C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列
【答案】B
【解析】
设，则，则，则数列是等差数列，公差为
故选B
5．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（       ）
A． B．Sqn－1
C．Sq1－n D．
【答案】C
【解析】
根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为，
故数列的前n项和为.
故选：C.
6．设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】
解：已知等比数列的前项和为，，
由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1
即：成等比数列，
，则，
，所以，
.
故选：B.

◆考点4:等比数列的函数特征
1．设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（       ）
A．， B．，
C． D．
【答案】C
【解析】
因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.
①若，则对任意的，，由可得，即；
②若，则对任意的，，由可得，此时.
所以，为递增数列的充要条件是，或，       ，
当，时，，则；
当，时，，则.
因此，数列为递增数列的充要条件是.
故选：C.
2．已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（       ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
【答案】C
【解析】
解：因为无穷等比数列满足，所以，即，
由，所以，又，所以
所以
当时，，递减，单调递增，所以有最小项；
当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；
故选：C
3．等比数列是递增数列，若，，则公比为（        ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
因为等比数列是递增数列，则数列的公比满足且，
所以，，即，解得或.
若，则，解得，
此时，此时数列为递增数列，合乎题意；
若，则，解得，
此时，此时数列为递增数列，合乎题意.
综上所述，或.
故选：D.
4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【答案】D
【解析】
因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.

◆考点5:等比数列前n项和的概念与计算
1．已知数列是递增的等比数列，且，，若的前n项和满足，则正整数k等于（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
由，，知，，解得，，所以，，则，所以，解得．
故选：A
2．已知等比数列的前n项和，则（       ）
A．首项的值不确定 B．公比 C． D．
【答案】D
【解析】
解：已知，则，，
，所以，
因为，所以．
故选：D．
3．若数列的前10项和等于数列的前6项和，则常数（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的前10项和为，的前6项和为，解得．
故选：A.
4．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（       ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】
设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B.

◆考点6:Sn与an的关系
1．已知等比数列的前n项和，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时，，
当时，

，
因为数列为等比数列，
所以，得，
所以，
故选：A
2．已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（       ）
A．48 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【解析】
解：因为公比为的等比数列的前项和①，
当时，
当时②，
①②得，
所以，则，又，所以，解得，
所以，则；
故选：C
3．(多选)已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（       ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】
解：，①
，②
两式作差得：，，
，，即，
，.
数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，.
由上述内容可知，选项A，C正确.
当时，，则选项B错误.
，，，
数列是首项为的等比数列.
则数列的前项和为，则选项D正确.
故选：ACD.
4．已知等比数列的前n项和为，若，则k的值为______．
【答案】
【解析】
解：因为①，
当时，
当时②，
①②得，
因为是等比数列，所以，解得；
故答案为：

◆考点7:等比数列前n项和的性质
1．已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A． B． C．72 D．90
【答案】D
【详解】
根据等比数列前n项和的性质，成等比数列，设公比为，
又由已知
，
则，
，
故选：D.
2．设等比数列的前项和为，若，则等于（       ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设，则由条件可得，
，，，
故.
故选：D．
3．设等比数列的前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
4．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（       ）
A．
B．
C．，，成等比数列
D．“”是“，，成等差数列”的充要条件
【答案】C
【解析】
对于选项A，因为，又等比数列的公比为，所以
所以，即，故A正确；
因为
，
所以，故B正确；
当时，，显然此时，，不能成等比数列，故C错误；
若，，成等差数列，则，所以，
即，所以，所以“”是“，，成等差数列”的充要条件，故D正确.
5．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.

◆考点8:等比数列的奇数项和偶数项性质与应用
1．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（       ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】
设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（       ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.
故选:B.
3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
【详解】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
4．在等比数列中，若公比，且，则数列的前100项的和为
A．100 B．90
C．120 D．30
【答案】B
【解析】
由题意，在数列的前100项中，，
所以，所以．故选B．
5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，
则S奇=341,S偶=682,所以 ，
∴ ，解得n=5，
这个等比数列的项数为10，
本题选择D选项.
6．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
【解析】
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选D．
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】
设公比为，项数为，
,

，故选D.

【过关检测】
一、单选题
1．设是公比为的等比数列，且.则（       ）
A． B． C．8 D．11
【答案】B
【解析】
是公比为的等比数列，且.
则 ，解之得，则
故选：B
2．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
3．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（       ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【解析】
等比数列的前项和为，
当时，可得，可得，
当时，，则
所以
因为为等比数列，
所以，即
解得，经检验符合题意.
故选：C．
4．已知数列是等比数列，满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
5．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（       ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
，所以，即.
故选：B
6．数列中，，，若，则（       ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
由题意，数列中，，，
令，可得，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
又由，
解得.
故选：D.
7．已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（       ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
由，可得
两式相减得，，即从第3项起，每一项是前一项的q倍.
又由，可得
则数列从第2项起，每一项是前一项的q倍.
综上，当时，数列是等比数列.
由数列是等比数列，可得
则，即成立.
则“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件
故选：B
8．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由，得，
所以，即，于是有
因为，所以，
所以数列是从起，公比为的等比数列，
所以
当时，，所以此式不满足，故的通项公式为
所以，
因为，所以.
数列的所有“和谐项”的平方和为：

.
故选：A.
二、多选题
9．设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ）
A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABC
【解析】
设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；
，即是首项为，公比为的等比数列，B正确；
，即是首项为，公比为的等比数列，C正确；
若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误.
故选：ABC.
10．已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（       ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】AC
【解析】
设数列的公比为q，则，
所以，解得或.
故选：AC
11．已知是数列的前项和，，则（       ）
A．是等比数列 B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
，
，即，
当时，，
，
，即，
是以1为首项，以为公比的等比数列，故A正确；
∴，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
12．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18
【答案】AC
【解析】
对于A：因为，所以，所以，所以.故A正确；
对于B：因为，所以时，，所以数列为递增数列.
因为，所以，所以.故B错误；
对于C：因为数列各项均为正数，前项积为，且时，有，所以，即；时，有，所以，即；所以是中最小的项.故C正确.
对于D：因为，而，
所以使成立的的最大值为17.故D错误.
故选：AC

三、填空题
13．设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．
【答案】1或
【解析】
∵∴或.
故答案为：1或.
14．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________．
【答案】
【解析】
因为，所以，所以．
因为，所以．
所以，所以，故．
故答案为：.
15．已知数列的前n项和为，，，则___________.
【答案】
【解析】
由题意得，又，则，
故数列是以6为首项，为公比的等比数列，则.
故答案为：.
16．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______
【答案】5
【解析】
设正项等比数列公比为q，由得，
于是得，而，解得，
因此，，，
由得：，
从而得：，而 ，解得，
又，则n的最小值为5，
故答案为：5.

四、解答题
17．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的最大值．
【答案】(1)； (2)75.
【解析】
(1)设等差数列的公差为，
则，
解得．
∴．
(2)由，得，
∴数列的前5项都大于0，第6项等于0，从第7项起后面的项都小于0．
∴的最大值为．
18．已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求正整数的值.
【答案】(1) (2)4
【解析】
(1)设公差为，∵成等比数列，∴，又∵且，结合等差数列的性质有，即，即，∴，∴
(2)由（1），∴.
∵，∴，∵，且是递增数列，且，故
19．已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】
(1)解：因为①，
当时，解得，
当时②，
①②得，即，即，
所以，，所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以.
(2)解： 由（1）可知，
因为，所以，即，解得，所以，
因为，所以的最大值为.
20．已知数列满足，；设等差数列､的前项和分别为和，且，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求常数的值及的通项公式；
(3)求的值.
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
【解析】
(1)因为数列满足，，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列；
(2)因为由等差数列､的性质可知：
，，
所以由得：，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以，
因为等差数列､的前项和分别为和，
所可设，
因为，
所以，即，
当时，，
当，即，
显然时，也满足上式，
所以；
(3)由（1）可知，即，
所以，
所以


令，
则，
两式相减得：

，
所以，
所以
21．已知首项为的等比数列公比小于0，其前n项和为，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若实数a使得对任意恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)设等比数列的公比为q，
由，，成等差数列，可得：
，
整理：，
所以，即为，
解得，
由等比数列不是递减数列，可得，
即.
(2)由（1）得，
设，，设，
时，，递减，时，，递增，
当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.
.
当n为偶数时，随n的增大而增大，所以.
.
故，实数a使得对任意恒成立，
则a的取值范围为.