备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点25 直线与圆的位置关系

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考点25 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和内心三块，其中最重要的是切线的性质和判定；出题类型可以是小题也可以是简答题，一般难度不大，属于中考中必拿分考点，所以需要考生准确掌握对应规律方法，不在此失分。


【中考考查重点】
一、 直线与圆的位置关系
二、 切线的性质与判定
三、 三角形的内切圆
考向一：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系





1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）

A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　时，⊙P与坐标轴相切．

3．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　 　．

4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积．


考向二：切线的性质与判定
定义
当直线与圆有且仅有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线
判定
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质
经过切点的半径垂直于圆的切线
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等


1. 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2. 切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题

1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，∠E＝50°，则∠CDA等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．70°
2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一，如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，点D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5，则图中弧CD的长为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PCE的周长为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．20
4．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　）

A．2 B． C．+ D．
考向三：三角形的内切圆
三角形外接圆与内切圆之间的关系

三角形的外接圆
三角形的内切圆

图形



圆心
O为外心：三边垂直平分线的交点
O为内心：三条角平分线的交点
特征
三角形各顶点均在圆上
三角形各边均与圆相切
性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心到三角形三边的距离相等
常用
结论
直角三角形外接圆的圆心为斜边中点
（a、b、c为△ABC的三边长 ，r为○O的半径）；∠BOC=90°＋

1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则⊙O的半径是（　　）

A．1 B． C．2 D．
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．50° B．100° C．90° D．80°
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　）

A． B．3 C． D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，分别交⊙O于D，E两点，则的长为 　 　．（结果用含π的式子表示）

5．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长．



1．（2022秋•太仓市期末）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交于点C，点D为上一点，连接BD，CD．若∠A＝36°，则∠BDC的度数为（　　）

A．32° B．18° C．27° D．36°
2．（2020•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（2022秋•徐州期末）如图，已知⊙C的半径为，正三角形ABC的边长为6，P为AB边上的动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　）

A．5 B． C． D．6
4．（2022秋•庄河市期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（　　）

A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝（　　）时，直线DE与⊙O相切．

A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC
6．（2022秋•雄县期末）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　）
嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；
淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积．

A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确
7．（2022秋•文登区期末）如图，等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点D，E，F．若，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
8．（2022秋•顺平县期末）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（　　）

A．∠BOD＝2∠BAD
B．如果AD平分∠ODC，AD＝OD
C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
9．（2022秋•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　时，⊙P与坐标轴相切．

10．（2022秋•自贡期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，4），B（10，0），M（0，4），E（m，0），F（m+3，0），⊙M与直线AO相切于点C，点D是线段AB上一动点，则CE+DF的最小值为 　 　．
11．（2022•南京模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD＝∠CAB．

12．（2022秋•承德县期末）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝120°，点A平分，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．
（1）∠BOD＝　 　°；
（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）当点C在优弧上移动，且BC在OB左侧时，若∠OBC＝20°，求的长．

13．（2023•义乌市校级模拟）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB＝2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin∠PBC＝，求PC的长．

14．（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A，E，F的⊙O与BC相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE＝5，BE＝4，求CD的长．

15．（2022秋•江都区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB＝∠APB．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求线段PD的长．


1．（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
3．（2022•哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（　　）

A．65° B．60° C．50° D．25°
4．（2022•眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（　　）

A．28° B．50° C．56° D．62°
5．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
6．（2022•无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
7．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝　 　°．

8．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝　 　．

10．（2022•武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　）

A．cm B．8cm C．6cm D．10cm
11．（2022•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（　　）

A．（2﹣π）cm2 B．（8﹣π）cm2
C．（8﹣π）cm2 D．（16﹣π）cm2
12．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（﹣1）：1
13．（2022•娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A． B． C． D．
14．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） 　 　．

15．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　．

17．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

18．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　cm．

19．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　 　．

20．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　 　°．

21．（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 　 　丈．

22．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　．
23．（2022•湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

24．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．

25．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

26．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．

27．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．


1．（2022•金山区二模）在直角坐标系中，点P的坐标是（2，），圆P的半径为2，下列说法正确的是（　　）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
2．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022•青岛一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
4．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝54°，则A的度数为（　　）

A．18° B．20° C．23° D．27°
5．（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（　　）

A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
6．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 　 　．

7．（2022•朝阳区校级一模）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝　 　cm时，⊙M与OA相切．

8．（2023•抚州一模）如图，△ABC中，AC＝，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．+ D．2﹣
9．（2022•锡山区校级三模）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①∠CAF＝∠DAE；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023•南昌模拟）已知点M（2，0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，连接OP，AP，若△POA是等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．

11．（2023•商水县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．

12．（2023•殷都区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段CE的长．

13．（2023•长丰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC．
（2）若BE＝2，CE＝4，求AD的长．

14．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．

15．（2023•南宁一模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，且AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE并延长，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）若AC＝8，sin∠CAB＝，求⊙O半径．