备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点04 一次方程（组）与其应用

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考点04 一次方程（组）与其应用

一元一次方程与二元一次方程组在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以常放在一起统称为“一次方程”，而在数学中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，需要考生在一轮复习中把该考点熟练掌握。



考向一·等式的基本性质
考向二·一元一次方程的解法
考向三·二元一次方程组的解法
考向四·一次方程（组）的简单应用
考向一：等式的基本性质
等式的基本性质
等式的概念
表示相等关系的式子，叫做等式
等式
的性质
性质1
如果a=b，那么a±c=b±c
性质2
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么
等式的传递性
如果a=b，b=c，那么a=c





【易错警示】
等式基本性质反向应用时，不确定c的范围时，结果不一定成立；
如：若ac=bc，则不一定得到a=b，因为当c=0时，a可以≠b

1．下列判断错误的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果ac＝bc，那么a＝b
C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b，那么＝（c≠0）
【分析】依据等式的性质解答即可．
【解答】解：A、等式两边同时加上c得到a+c＝b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、等式两边同时除以c得到a＝b，必须规定c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
C、等式两边同时乘c得到ac＝bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、等式两边同时除以c得到＝（c≠0），原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．已知3a＝2b+5，下列等式不一定成立的是（　　）
A．3ab＝2b2+5b B．3a+1＝2b+6 C．＝+ D．a＝b+
【分析】根据等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，进行变形．
【解答】解：A、3ab＝2b2+5b，等式成立∴不符合题意；
B、3a+1＝2b+6，等式成立∴不符合题意；
C、等式两边都除以c时，c≠0，等式不成立∴符合题意；
D、等式两边都除以3时，原式成立，∴不符合题意；
故选：C．
3．若，则x与y的等量关系是 　x2﹣y2＝4　（结果不含a，b）．
【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴x2＝（+）2＝+2+，
y2＝（﹣）2＝﹣2+，
∴x2﹣y2＝（＝+2+）﹣（﹣2+）＝4，
故答案为：x2﹣y2＝4．
4．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝　2　，＝　4　，（﹣2，﹣32）＝　5　．
（2）令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．
【分析】（1）根据新定义运算法则进行计算即可；
（2）设（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，根据新定义运算可得2x＝6，2y＝7，2z＝42，进而得出x+y＝z即可．
【解答】解：（1）∵32＝9，
∴（3，9）＝2；
∵（﹣）4＝，
∴（﹣，）＝4；
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5；
故答案为：2，4，5；
（2）设（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，则2x＝6，2y＝7，2z＝42，
∵6×7＝42，
∴2x×2y＝2z，
∴2x+y＝2z，
∴x+y＝z，
∴（2，6）+（2，7）＝（2，42）
5．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式：　1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2　．

【分析】（1）根据点阵图即可求解；
（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式．
【解答】解：（1）第1个点阵 1+3+1＝12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1＝22+32，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1＝32+42．
故答案为：22，32，32，42；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
故答案为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
考向二：一元一次方程的解法
1. 一元一次方程的概念：
只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。
2. 一元一次方程解法：
步骤
名 称
方 法
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
3
移项
把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
4
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
*6
检根x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①若左边＝右边，则x=a是方程的解；
②若左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。












上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
在解方程过程中，各部分都存在容易出错的一些“小陷阱”，现将各步骤的注意事项总结如下：
【易错警示】

去分母
①不含分母的项也要乘以最小公倍数；
②分子是多项式的一定要先用括号括起来
去括号
括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因数
移项
移项要变号
合并同类项
单独的一个未知数的系数为“±1”
系数化为1
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）

1．解方程﹣＝1需下列四步，其中开始发生错误的一步是（　　）
A．去分母，得2（x+1）﹣（x﹣1）＝6
B．去括号，得2x+2﹣x+1＝6
C．移项，得2x﹣x＝6﹣x＝1
D．合并同类项，得x＝5
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，据此逐项判断，判断出开始发生错误的一步是哪步即可．
【解答】解：去分母，可得：2（x+1）﹣（x﹣1）＝6，
去括号，可得：2x+2﹣x+1＝6，
移项，可得：2x﹣x＝6﹣2﹣1，
合并同类项，可得：x＝3，
∴解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是：移项，得2x﹣x＝6﹣2+1．
故选：C．
2．若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　）
A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
故选：D．
3．若关于x的方程3x+2（2a+1）＝x﹣（3a﹣25）的解为x＝1，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【解答】解：把x＝1代入原方程，得3+2（2a+1）＝1﹣（3a﹣25），
解得a＝3．
故选：D．
4．下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
【分析】设被墨水遮盖的常数为t，将x＝﹣1代入列出关于t的新方程，通过解新方程求得t的值即可．
【解答】解：设被墨水遮盖的常数为t，
将x＝﹣1代入方程，得﹣2﹣＝﹣3+t，
解得t＝．
即这个常数是．
故选：D．
5．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝6的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可．
【解答】解：解方程（k﹣1）x＝6得，
x＝，
∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝6的解是整数，
∴k﹣1为：﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，6，
∴k为﹣5，﹣2，﹣1，0，2，3，4，7，
∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣5）+（﹣2）+（﹣1）+0+2+3+4+7＝8，
故选：D．
6．已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新运算，如，那么当时，则x的值为 　﹣3　．
【分析】首先根据＝ad﹣bc，由＝22，可得：2×7﹣4（x+1）＝22；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【解答】解：∵＝ad﹣bc，由＝22，
∴2×7﹣4（x+1）＝22，
去括号，可得：14﹣4x﹣4＝22，
移项，可得：﹣4x＝22﹣14+4，
合并同类项，可得：﹣4x＝12，
系数化为1，可得：x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
7．解方程：
（1）4﹣2（x+4）＝2（x﹣1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可；
（3）分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可．
【解答】解：（1）4﹣2（x+4）＝2（x﹣1），
去括号得：4﹣2x﹣8＝2x﹣2，
移项得：2x+2x＝4﹣8+2，
合并同类项得：4x＝﹣2，
系数化为1得：x＝﹣；
（2），
去分母得：10（x+7）＝12﹣15（x﹣5），
去括号得：10x+70＝12﹣15x+75，
移项得：10x+15x＝12+75﹣70，
合并同类项得：25x＝17，
系数化为1得：x＝；
（3），
分母化为整数得：+2＝，
去分母得：3（3x﹣4）+12＝2（5x﹣2），
去括号得：9x﹣12+12＝10x﹣4，
合并同类项得：9x＝10x﹣4，
移项、合并同类项得：x＝4．
考向三：二元一次方程组的解法
1. 二元一次方程的概念：
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程
【易错警示】
Ø 二元一次方程的解必须是两个未知数同时确定的组合，用大括号括起来即可；
Ø 1个二元一次方程的解不唯一，可能有无数个；
Ø 二元一次方程中用一个未知数来表示另一个未知数，依据的是等式的基本性质；
2. 二元一次方程组的概念：
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组
3. 二元一次方程组解法：
名称
步骤
具体操作
代
入
消
元
法
①
将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；
②
用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③
把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
④
写出方程组的解；
加
减
消
元
法
①
将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）
②
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程
③
解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
④
将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
⑤
写出方程组的解；

1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵方程组中含有分式方程，
∴选项A不符合题意；
∵方程组中含有3个未知数，
∴选项B不符合题意；
∵方程组中共有2个未知数，未知项的次数为1，两个方程都是整式方程，
∴选项C符合题意；
∵方程组中含有二次项，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．将方程2x+y＝5写成含x的式子表示y的形式，正确的是（　　）
A．y＝2x﹣5 B．y＝5﹣2x C．x＝ D．x＝
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+y＝5，
解得y＝5﹣2x，
故选：B．
3．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】两个方程相加得x+y＝，再根据解互为相反数，列出等式3m+3＝0，计算即可．
【解答】解：两个方程相加得：5x+5y＝3m+3，
∴x+y＝，
∵解互为相反数，
∴x+y＝0
∴3m+3＝0，
解得m＝﹣1，
故选：C．
4．已知关于x，y的一元二次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想得：，从而得出答案．
【解答】解：由题意可知，关于x，y的方程组的解为：，
∴．
故选：D．
5．若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
【分析】因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若+|2a﹣b+1|＝0，则a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，联立组成方程组，解出a和b的值即可解答．
【解答】解：∵+|2a﹣b+1|＝0，
∴，
解得，
∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
6．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：
记a＝﹣x，b＝x﹣y，那么我们把点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对“幸福点“．例如：点P（﹣1，2）的一对“幸福点“是点（1，﹣3）与点（﹣3，1）．
（1）点A（4，1）的一对“幸福点“的坐标是 　（﹣4，3）与（3，﹣4）　；
（2）若点B（2，y）的一对“幸福点“重合，求y的值；
（3）若点C的一个“幸福点“的坐标为（﹣2，7），求点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，可求出a，b的值，进而可得出点A（4，1）的一对“幸福点“的坐标；
（2）根据点B的坐标，可求出a，b的值，结合点B（2，y）的一对“幸福点“重合，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值；
（3）根据“幸福点”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y的值，进而可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）a＝﹣4，b＝4﹣1＝3，
∴点A（4，1）的一对“幸福点“的坐标是（﹣4，3）与（3，﹣4）．
故答案为：（﹣4，3）与（3，﹣4）；
（2）a＝﹣2，b＝2﹣y，
∵点B（2，y）的一对“幸福点“重合，
∴a＝b，即﹣2＝2﹣y，
解得：y＝4，
∴y的值为4；
（3）∵点C的一个“幸福点“的坐标为（﹣2，7），
∴或，
解得：或，
∴点C的坐标为（2，﹣5）或（﹣7，﹣5）．
7．请用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【分析】（1）整理后由①得出n＝2m﹣4③，把③代入②得出2m+3（2m﹣4）＝12，求出m，再把m＝3代入③求出n即可；
（2）②﹣①得出6t＝﹣18，求出t，再把t＝﹣3代入①求出s即可．
【解答】解：（1）整理得：，
由①，得n＝2m﹣4③，
把③代入②，得2m+3（2m﹣4）＝12，
解得：m＝3，
把m＝3代入③，得n＝2×3﹣4＝6﹣4＝2，
所以原方程组的解是；

（2），
②﹣①，得6t＝﹣18，
解得：t＝﹣3，
把t＝﹣3代入①，得6s+15＝3，
解得：s＝﹣2，
所以原方程组的解是．
8．解方程组：．
【分析】利用加减消元法进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②得：
3x+2y＝7④，
把③代入④得：
3x+2（x+1）＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：
y＝1+1＝2，
把x＝1，y＝2代入①得：
1+2+z＝6，
解得：z＝3，
∴原方程组的解为：．
考向四：一次方程（组）的简单应用
列方程解应用题的一般步骤：
步骤
“点睛”
“审”（即审题）
“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；
“设”（即设未知数）
一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量
“列”【即列方程（组）】
找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
“解”【即解方程（组）】
根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现
“验”（即检验）
非题目要求，此步可以不写
检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意
“答”（即写出答案）
最后的综上所述

1．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）

A．π×82x＝π×62×（x+5） B．π×82x＝π×62×5
C．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5） D．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）．
故选：D．
2．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据“若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
3．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（　　）
A．赚了32元 B．赚了8元 C．赔了8元 D．不赔不赚
【分析】要计算赔赚，就要分别求出两个计算器的进价，再与售价作比较即可．因此就要先设出未知数，根据进价+利润＝售价，利用题中的等量关系列方程求解．
【解答】解：设盈利60%的进价为x元，
根据题意得：x+60%x＝64，
160%x＝64，
∴x＝40；
再设亏损20%的进价为y元，
根据题意得：y﹣20%y＝64，
80%y＝64，
∴y＝80，
所以总进价是：40+80＝120（元），
总售价是：64+64＝128（元），
∴售价＞进价，
∴128﹣120＝8（元），
答：这次买卖中这家商店赚了8元．
故选：B．
4．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积为（　　）

A．120cm2 B．135cm2 C．108cm2 D．96cm2
【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每个小长方形的面积．
【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
则每个小长方形的面积＝15×9＝135（cm2）．
故选：B．
5．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为 　80　cm2．

【分析】设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪下的长条的长是（x﹣4）cm，宽是5cm；然后根据第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪下的长条的长是（x﹣4）cm，宽是5cm，
由题意得：4x＝5（x﹣4），
解得：x＝20，
∴20×4＝80（cm2）．
故答案为：80．
6．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【分析】（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人“得：16+x＝3x+4，可解得答案；
（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得240y×2＝400（22﹣y），即可解得答案．
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得x＝6，
∴调入6名工人；
（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），
设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，
∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴240y×2＝400（22﹣y），
解得y＝10，
∴22﹣y＝22﹣10＝12，
答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
7．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]

A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【分析】（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，根据购进两种教学设备的总费用及全部销售后获得的总毛利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，
依题意得：，
解得：．
答：购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；
（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，
依题意得：1.5m+1.2n＝30，
∴m＝20﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种进货方案，
方案1：购进16套A品牌的教学设备，5套B品牌的教学设备；
方案2：购进12套A品牌的教学设备，10套B品牌的教学设备；
方案3：购进8套A品牌的教学设备，15套B品牌的教学设备；
方案4：购进4套A品牌的教学设备，20套B品牌的教学设备．

1．下列等式变形正确的是（　　）
A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1 B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2
C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1 D．如果6x＝3，那么x＝2
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【解答】解：A、在等式2x＝﹣2的两边同时除以2，得到x＝﹣1，变形正确，符合题意；
B、如果3a﹣2＝5a，那么3a﹣5a＝2，变形不正确，不符合题意；
C、如果a＝b，那么a+1＝b+1，变形不正确，不符合题意；
D、如果6x＝3，那么x＝，变形不正确，不符合题意；
故选：A．
2．已知（a+3）⋅x|a|﹣2﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则a是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．±2
【分析】根据一元一次方程的定义得出a+3≠0且|a|﹣2＝1，再求出即可．
【解答】解：∵（a+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴a+3≠0且|a|﹣2＝1，
解得a＝3，
故选：C．
3．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A．该方程组中第一个方程的未知数x的次数是2次，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程xy＝2是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．该方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
4．已知x＝﹣1是方程﹣2x+m＝1的解，则m的绝对值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：2+m＝1，
解得：m＝﹣1，
∴|m|＝1．
故选：A．
5．对于方程﹣2＝，去分母后得到的方程是（　　）
A．2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x） B．5x﹣1﹣6＝3（1+2x）
C．2（5x﹣1）﹣6＝3（1+2x） D．5x﹣1﹣2＝1+2x
【分析】方程的两边同时乘以各分母的最小公倍数．
【解答】解：方程的两边同时乘以6，
2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x）．
故选：A．
6．某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③＝﹣1；④+1．其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【分析】根据题意“每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车”，列出方程求出答案．
【解答】解：由题意可得：
40m+15＝45（m﹣1），故①正确，
＝+1，故④正确．
故选：A．
7．为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元，若设每棵A种药材幼苗x元，每棵B种药材幼苗y元，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元，
∴2x+3y＝41；
∵购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元，
∴8x+9y＝137．
∴所列方程组为．
故选：B．
8．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（　　）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
【分析】设签字笔的单价为x元，小江身上的钱为y元，由题意：购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设签字笔的单价为x元，小江身上的钱为y元，
由题意得：，
解得：，
∴小江购买17支签字笔和9本笔记本的费用为：17x+9x＝26x＝26×10＝260（元），
∴小江身上的钱会剩下：325﹣260＝65（元），
故选：B．
9．如果方程组与方程组有相同的解，则m﹣n＝　1　．
【分析】先根据两方程组有相同的解，将x+y＝3和x﹣y＝1组成方程组，求出x，y的值，代入mx+ny＝8和mx﹣ny＝4组成的方程组，即可求出m﹣n的值．
【解答】解：解方程组，得．
把x＝2，y＝1分别代入方程组的其余两个方程，得，
解得．
∴m﹣n＝1．
10．解方程组．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：①×2得：10x﹣2y＝16③，
②+③得：13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得：10﹣y＝8，
解得y＝2，
故原方程组的解为．
11．解方程组：．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①×2得：2x+4y＝8③，
②+③得：7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入①得y＝1，
∴原方程组的解是．
12．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张80元，学生票每张40元，剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款．某校有5名老师与若干名（不少于5人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；
（2）当学生人数为多少人时，两种方案的费用相同？
（3）若现有30名学生，则哪种方案费用更少？
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据（1）中代数式列方程计算即可；
（3）根据（1）中代数式求值比较即可．
【解答】解：（1）方案1：y1＝（x﹣5）×40+80×5＝40x+200，
方案2：y2＝40x×80%+80×5×80%＝32x+320；
（2）由题意知，40x+200＝32x+320，
解得x＝15，
∴当购买15张票时，两种优惠方案费用相同；
（3）当x＝30时，y1＝40x+200＝40×30+200＝1400（元），y2＝32x+320＝32×30+320＝1280（元），
1280＜1400，
∴方案2费用更少．
13．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．
求：（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且m≥10，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到相应的不等式，然后根据一次函数的性质即可求出费用最省的方案，以及该方案所需费用．
【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得
，
解得．
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，
设购买树苗总费用为W，则
W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，
∵m≥10．
∴当m＝10时，W取得最小值，此时W＝300，
答：购进A种花草的数量为10棵、B种20棵，费用最省，最省费用是300元．

1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可．
【解答】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．
故选：B．
3．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 　1　．
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
4．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
5．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可．
【解答】解：，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
6．（2022•六盘水）我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（　　）
A．26×340×60x＝12000 B．26×340x＝12000
C．＝12000 D．＝12000
【分析】根据速度×时间＝路程列方程，时间单位换算成分，路程单位换算成公里即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：＝12000，
故选：D．
7．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【分析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
8．（2022•潍坊）方程组的解为 　　．
【分析】由第一个方程得4x+6y＝26，由第二个方程得9x﹣6y＝0，两个方程相加消去y，解出x，再进一步解出y即可．
【解答】解：，
由①×2得4x+6y＝26③，
由②×3得9x﹣6y＝0④，
由③+④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为．
故答案为：．
9．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 　1　．

【分析】不知x的正负，因此需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：当x＞0时，+1＝2，
解并检验得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案为：x＝1．
10．（2022•南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 　5x+45＝7x﹣3　．
【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解答】解：若设人数为x，则可列方程为：5x+45＝7x﹣3．
故答案为：5x+45＝7x﹣3．
11．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴，
解得：，
∴x+y＝12，
故选：D．
12．（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 　8　．
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【解答】解：依题意得：
7x+7＝9（x﹣1），
解得：x＝8，
故答案为：8．
13．（2022•淄博）解方程组：．
【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：整理方程组得，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
14．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2kx﹣3y＜5即可得到k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
15．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【分析】设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h．
【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
16．（2022•河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设桂花树的单价是x元，可得：3x+2（x﹣40）＝370，解得桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得w＝40n+3000，由一次函数性质得购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．
【解答】解：（1）设桂花树的单价是x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元，
根据题意得：3x+2（x﹣40）＝370，
解得x＝90，
∴x﹣40＝90﹣40＝50，
答：桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得：w＝90n+50（60﹣n）＝40n+3000，
∴w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，
∵40＞0，
∴w随n的增大而增大，
∵桂花树不少于35棵，
∴n≥35，
∴n＝35时，w取最小值，最小值为40×35+3000＝4400（元），
此时60﹣n＝60﹣35＝25（棵），
答：w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．
17．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 　　；
（2）求兽、鸟各有多少．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y＝76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y＝46．
∴可列方程组为．
故答案为：．
（2）原方程组可化简为，
由②可得y＝23﹣2x③，
将③代入①得3x+2（23﹣2x）＝38，
解得x＝8，
∴y＝23﹣2x＝23﹣2×8＝7．
答：兽有8只，鸟有7只．
18．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【分析】设有x人，该书单价y元，根据“如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有7人，该书单价53元．
19．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，
由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
20．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
　1.25x+1.3y　
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）由题意可得，
，
解得，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．

1．（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么＝，其中正确的有（　　）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断．
【解答】解：（1）∵ax＝ay，
当a≠0时，x＝y，
故（1）选项不符合题意；
（2）∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴a2＝（﹣b）2，
即a2＝b2，
故（2）选项符合题意；
（3）∵|a|＝|b|，
∴a＝±b，
故（3）选项不符合题意；
（4）∵4a＝7b，
两边同时除以28，可得＝，
故（4）选项符合题意，
故选：D．
2．（2022•宜兴市校级二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（　　）
A．15 B．﹣5 C．5 D．3
【分析】利用等式的性质进行变形就可得到结果．
【解答】解：x+y＝5①，2x﹣3y＝10②，
②﹣①得x﹣4y＝5，
故选：C．
3．（2022•德宏州模拟）若x＝﹣3是一元一次方程2（x+k）＝5（k为实数）的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把x＝﹣3代入方程2（x+k）＝5，得以k为未知数的方程，再解方程可得k的值．
【解答】解：根据题意把x＝﹣3代入方程2（x+k）＝5，
得：2（﹣3+k）＝5，
解得：k＝．
故选：D．
4．（2022•顺平县二模）解方程，嘉琪写出了以下过程：
①去分母，得3（x﹣2）＝6﹣2（2x﹣1）；
②去括号，得3x﹣6＝6﹣4x﹣2；
③移项、合并同类项，得7x＝10；
④系数化为1，得．
开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察嘉淇解方程的步骤，找出出错的即可．
【解答】解：①去分母，得3（x﹣2）＝6﹣2（2x﹣1）；
②去括号，得3x﹣6＝6﹣4x+2；
③移项、合并同类项，得7x＝14；
④系数化为1，得x＝2．
则开始出错的一步是②．
故选：B．
5．（2022•淄川区二模）现采购北京冬奥会吉祥物两种大礼包，甲种礼包里面含有4个冰墩墩和1个雪容融，乙种礼包里面含有3个冰墩墩和2个雪容融，现在需要37个冰墩墩和18个雪容融，则需要采购甲种礼包的数量为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，根据采购的两种礼包中包含37个冰墩墩和18个雪容融，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，
依题意得：，
解得：．
∴需要采购甲种礼包4个，乙种礼包7个．
故选：B．
6．（2022•东莞市校级二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据“如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行”可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：A．
7．（2022•新华区校级一模）如图，把六个形状、大小完全相同的小矩形放入大矩形中，则下列方程组正确的是（单位：cm）（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图：小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：如图：小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
故选：A．
8．（2022•南山区模拟）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【分析】先求方程y+4＝2的解，再将所求的解代入方程ay﹣2＝6+y，求出a的值即可．
【解答】解：∵y+4＝2，
∴y＝﹣2，
∵方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，
∴﹣2a﹣2＝6﹣2，
∴a＝﹣3，
故选：A．
9．（2022•富顺县二模）已知二元一次方程2x+5y＝14，请写出该方程的一组正整数解 　　．
【分析】当y＝2时，二元一次方程化为2x+10＝14，解得x＝2，满足题意即可．
【解答】解：当y＝2时，2x+10＝14，
解得x＝2，
∴该方程的一组正整数解，
故答案为：．
10．（2022•安徽二模）一小船由A港到B港顺流需要6小时，由B港到A港逆流需要8小时，小船从上午7时由A港到B港时，发现一救生圈在中途落水，立即返航，1小时后找到救生圈，救生圈是 　12　时掉入水中的．
【分析】设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时．根据小船在静水中的速度＝小船顺水的速度﹣水流的速度＝小船逆流的速度+水流的速度，列出方程，求出x的值，再设救生圈是在y点钟落下水中的，到这时已漂流的时间为（13﹣y）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的，救生圈沿着航行方向漂流全程的，船与救生圈同向而行，距离拉大．船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，由此得方程，解方程即可．
【解答】解：设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，
由题意得：﹣＝+，
解得：x＝48．
经检验，x＝48是原方程的解，且符合题意．
即小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．
设救生圈是在y点钟落下水中的，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的，
由题意得：
（7+6﹣y）（﹣）＝1×（+），
解得：y＝12．
即救生圈是在中午12点钟掉下水的，
故答案为：12．
11．（2022•藤县一模）解一元一次方程：．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项后即可求解．
【解答】解：，
3（x+1）﹣6＝2（x﹣3），
3x+3﹣6＝2x﹣6，
3x﹣2x＝6﹣3﹣6，
x＝﹣3．
12．（2022•仓山区校级模拟）解方程组：．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：，
①×2得：2x+4y＝6③，
③﹣②得：7y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①得：x+4＝3，
解得x＝﹣1，
故原方程组的解是：．
13．（2022•红花岗区三模）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①﹣②得：5y＝0，
解得：y＝0，
把y＝0代入①得：x＝2，
则方程组的解为．
14．（2022•迁安市一模）对于任意的实数x，y，规定运算“※”如下：x※y＝ax+by．
（1）当a＝3，b＝4时，求1※（﹣2）的值；
（2）若5※3＝16，2※（﹣3）＝﹣2，求a与b的值．
【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得关于a，b的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）当a＝3，b＝4时，
∴1※（﹣2）
＝3×1+4×（﹣2）
＝3+（﹣8）
＝﹣5，
∴1※（﹣2）的值为﹣5；
（2）∵5※3＝16，2※（﹣3）＝﹣2，
∴，
①+②得：2a+4b＝﹣4③7a＝14，
解得a＝2，
把a＝2代入①得：10+3b＝16，
解得b＝2，
∴原方程组的解为，
∴a的值为2，b的值为2．
15．（2022•东莞市校级二模）某超市有线上和线下两种销售方式，与2021年3月份相比，该超市2022年3月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2021年3月份的销售总额为a万元，线上销售额为x万元，请用含a，x的代数式表示2022年3月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（万元）
线上销售额（万元）
线下销售额（万元）
2021年3月份
a
x
a﹣x
2022年3月份
1.1a
1.43x
　1.04（a﹣x）　
（2）如果超市在2021年3月份的销售总额为260万元，求超市在2021年3月份的线上销售额．
【分析】（1）利用该超市2022年3月份线下销售额＝该超市2020年3月份线下销售额×（1+4%），即可用含x的代数式表示出该超市2022年3月份线下销售额；
（2）根据超市在2022年3月份的销售总额为1.1×260万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵该超市2022年3月份线下销售额增长4%，且该超市2021年3月份线下销售额为（a﹣x）万元，
∴该超市2022年3月份线下销售额为（1+4%）（a﹣x）＝1.04（a﹣x）（万元）．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意得：1.43x+1.04（260﹣x）＝1.1×260，
解得：x＝40．
答：超市在2021年3月份的线上销售额为40万元．
16．（2022•山西模拟）2022年三八妇女节期间，太原市某单位送给该区所有中学女教师的礼物是每位老师一条“粉水晶樱花项链”，送给该区所有小学女教师的礼物是每位老师一条“天然淡水珍珠项链”，该单位用54800元购买了“粉水晶樱花项链”和“天然淡水珍珠项链”共400条，已知每条“粉水晶樱花项链”是130元，每条“天然淡水珍珠项链”140元，向该单位共买了“粉水晶樱花项链”和“天然淡水珍珠项链”各多少条？

【分析】设该单位购买了“粉水晶樱花项链”x条，则购买“天然淡水珍珠项链”（400﹣x）条，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出购买“粉水晶樱花项链”的条数，再将其代入（400﹣x）中即可求出购买“天然淡水珍珠项链”的条数．
【解答】解：设该单位购买了“粉水晶樱花项链”x条，则购买“天然淡水珍珠项链”（400﹣x）条，
依题意得：130x+140（400﹣x）＝54800，
解得：x＝120，
∴400﹣x＝400﹣120＝280．
答：该单位买了“粉水晶樱花项链”120条，“天然淡水珍珠项链”280条．
17．（2022•宜阳县二模）已知实数x，y满足3x﹣2y＝7①，x+3y＝9②，求2x﹣5y和5x+4y的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数x，y的系数与所求代数式中x，y的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①﹣②得：2x﹣5y＝﹣2，由①+②×2得5x+4y＝25，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
（1）已知二元一次方程组，则x+y值为 　5　，x﹣y的值为 　﹣3　．
（2）某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，则1*1的值为 　﹣11　．
【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出x+y的值，①﹣②即可求出x﹣y的值；
（2）设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出方程组，先求出x+y+z＝6，再求出5（x+y+z）＝30，即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，求出a+b+c＝﹣11，即可求出1*1的值．
【解答】解：（1）①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
①﹣②得：x﹣y＝﹣3，
故答案为：5，﹣3；
（2）设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
由题意得：，
①×2﹣②得：x+y+z＝6，
∴5（x+y+z）＝30（元），
答：5本日记本共需30元；
（3）∵3*5＝15，4*7＝28，
∴，
①×3﹣②×2得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
故答案为：﹣11．
18．（2022•东莞市校级二模）某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，根据“4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，根据安排的两种货车一次可以运货190吨且A，B两种货车均满载，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案，再利用总运费＝每辆车的运费×派车数量，即可求出各方案所需总运费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
依题意得：，
解得：．
∴1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨．
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，
依题意得：20m+15n＝190，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；
方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；
方案3：安排8辆A货车，2辆B货车．
选择方案1所需总运费为600×2+500×10＝6200（元）；
选择方案2所需总运费为600×5+500×6＝6000（元）；
选择方案3所需总运费为600×8+500×2＝5800（元）．
∵6200＞6000＞5800，
∴运输方案3费用最少．
答：（1）1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；方案3：安排8辆A货车，2辆B货车，运输方案3费用最少．
19．（2022•易县三模）我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x，y）．
（1）若（6，y）是“相伴数对”，则y的值为 　　；
（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b＝　a　．
【分析】（1）根据相伴数对的定义求解．
（2）先建立关于a，b的方程，然后求解．
【解答】解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）∵（a，b）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：．