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备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点18 相似三角形的应用
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考点18 相似三角形的应用
相似三角形的应用在中考中主要考察相似三角形在实际生活中的应用、位似图形及相似三角形与函数综合三个方面。其中，应用到的相似模型也多集中在8字图、A字图等平行相似。出题类型比较广泛，小题简答题都有，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。
一、 相似三角形在实际生活中的应用
二、 位似图形
三、 相似三角形与函数综合
考向一：相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用：
（一） 建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝2米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为 米．
2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）
A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对
3．如图，有一张锐角三角形纸片，边BC＝3，高AD＝2，要把它加工成正方形纸片，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形EFGH纸片的周长为（ ）
A．1 B．1.2 C．4.8 D．5
4．如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.6米，那么路灯的高度AB等于 米．
5．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA，OB，叶片影子为线段CD，测得MC＝8.5米，CD＝13米，此时垂直于地面的标杆EF与它的影子FG的比为2：3（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则OM的高度为 米，叶片OA的长为 米．
考向二：位似图形
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，则S△DEF为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝OB＝4，在y轴右侧作△OA'B'与△OAB关于原点O位似，且，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（2，0） B． C．（4，0） D．
3．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则△ABC与△A′B′C′的位似比为 ．
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，若△ABC与△A'B'C'是以点M为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，0）
考向三：相似三角形与函数综合
【方法提炼】
相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题
1．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点O是线段BD上一动点，EF、GH过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB＝a，则S关于a的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）求∠ADC的度数；
（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
1．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA为20米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．25米
2．（2022秋•曲阜市期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）
A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对
3．（2022秋•邯山区校级期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时图2中三角形（阴影部分）的面积是（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
4．（2022秋•苏州期末）我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知AB长为5mm，DE∥AB，则玻璃管内径DE的长度等于（ ）
A．2.5mm B．3mm C．3.5mm D．4mm
5．（2022秋•平阴县校级期末）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，PB＝2.1米，PD＝12米，那么该古墙的高度是 米．
6．（2022秋•漳州期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（3，3）、B（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
7．（2022秋•新化县校级期末）如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果螺丝钉点O的位置使OA＝3OD，OB＝3OC，那么，当A，B两点间距离为5时，C，D两点间的距离为 ．
8．（2022秋•武义县期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高1.68m长为0.84m，这时测得一棵树的影长为4m，则这棵树的高为 m．
9．（2022秋•西安期末）《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，M、N为正方形ABCD一组对边的中点，△GEF中，G、M、N、E四点共线，∠E＝90°，F、A、G三点共线，且AD⊥GE，GM＝20，NE＝14，EF＝1775，设正方形ABCD的边长为x，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式： ．
10．（2022秋•商河县期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、O、D都在格点上，点O是△ABO和△DCO的位似中心，则△ABO与△DCO的周长比为 ．
11．（2022秋•广平县期末）如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，CD⊥AB于点D．
①CD＝ ；
②将斜边上的高CD进行五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是 cm2．
12．（2022秋•洞头区期中）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝ 米．
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 米．
13．（2023•碑林区校级二模）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
14．（2022•兴庆区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
15．（2022秋•山西期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像．再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在点C处，从点C处后退1.5m到达点D处，恰好再次在平面镜中看到高楼的顶部点E的像，测得强强同学的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m．已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD，FB，EO均与OD垂直．求高楼OE的高度．（平面镜的厚度忽略不计）
1．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
2．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
3．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
4．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（ ）
A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m
5．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
6．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
7．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
8．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6
9．（2022•威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
10．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
11．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝ m．
12．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 ．
13．（2022•百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．
14．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
15．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 ．
16．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
17．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
18．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
19．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
20．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
21．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
1．（2022•威县校级模拟）如图，嘉嘉在作业本上画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O．若AB＝4cm，则CD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．12cm
2．（2022•大渡口区校级模拟）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为（ ）
A．15cm B．10cm C．8cm D．3.6cm
3．（2022•馆陶县模拟）如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
4．（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
5．（2022•巴州区校级模拟）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（ ）
A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m
7．（2022•石家庄三模）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022•牡丹江二模）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F，BC⊥x轴，垂足是C，反比例函数y＝的图象分别交BC，AB于点D（﹣4，1），E，若AF＝EF＝BE，则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
9．（2022秋•宛城区校级期末）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC＝ ．
10．（2022•义乌市模拟）将一本高为17cm（即EF＝17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD中点．
（1）收纳盒的长BC＝ ；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点．
11．（2022•市中区模拟）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似计算出金字塔的高度OB．若O′B'＝1米，A′B'＝2米，AB＝274米，则金字塔的高度OB＝ 米．
12．（2022•瓯海区模拟）如图2是一盏路灯的侧面示意图，OA为灯杆，点B是灯所在位置，DE为路灯在地面的照射范围，∠DBE＝∠A，光线BE交OA于点C，测量得，OC＝米，AC＝AB＝米，灯杆OC在地面的影子OE＝米，点B到地面的高度BF为 米，DE＝ 米．
13．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 ．
14．（2022•兴庆区校级二模）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1，
（3）求出△A2B2C2的面积．
15．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．
16．（2022•莲湖区三模）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑AB的高度．如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端D处竖立一根高2米的标杆CD，此时测得标杆CD的影子DE为2米；然后，在H处竖立一根高2.5米的标杆GH，小婷从H处沿BH后退0.8米到N处恰好看到点G、A在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离MN＝1.5米，DN＝24米，已知CD⊥EN，AB⊥EN，GH⊥EN，MN⊥EN，点E、D、B、H、N在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑AB的高度．
17．（2023•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 ．
考点18 相似三角形的应用
相似三角形的应用在中考中主要考察相似三角形在实际生活中的应用、位似图形及相似三角形与函数综合三个方面。其中，应用到的相似模型也多集中在8字图、A字图等平行相似。出题类型比较广泛，小题简答题都有，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。
一、 相似三角形在实际生活中的应用
二、 位似图形
三、 相似三角形与函数综合
考向一：相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用：
（一） 建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝2米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为 米．
2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）
A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对
3．如图，有一张锐角三角形纸片，边BC＝3，高AD＝2，要把它加工成正方形纸片，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形EFGH纸片的周长为（ ）
A．1 B．1.2 C．4.8 D．5
4．如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.6米，那么路灯的高度AB等于 米．
5．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA，OB，叶片影子为线段CD，测得MC＝8.5米，CD＝13米，此时垂直于地面的标杆EF与它的影子FG的比为2：3（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则OM的高度为 米，叶片OA的长为 米．
考向二：位似图形
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，则S△DEF为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝OB＝4，在y轴右侧作△OA'B'与△OAB关于原点O位似，且，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（2，0） B． C．（4，0） D．
3．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则△ABC与△A′B′C′的位似比为 ．
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，若△ABC与△A'B'C'是以点M为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，0）
考向三：相似三角形与函数综合
【方法提炼】
相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题
1．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点O是线段BD上一动点，EF、GH过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB＝a，则S关于a的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）求∠ADC的度数；
（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
1．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA为20米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．25米
2．（2022秋•曲阜市期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）
A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对
3．（2022秋•邯山区校级期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时图2中三角形（阴影部分）的面积是（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
4．（2022秋•苏州期末）我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知AB长为5mm，DE∥AB，则玻璃管内径DE的长度等于（ ）
A．2.5mm B．3mm C．3.5mm D．4mm
5．（2022秋•平阴县校级期末）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，PB＝2.1米，PD＝12米，那么该古墙的高度是 米．
6．（2022秋•漳州期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（3，3）、B（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
7．（2022秋•新化县校级期末）如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果螺丝钉点O的位置使OA＝3OD，OB＝3OC，那么，当A，B两点间距离为5时，C，D两点间的距离为 ．
8．（2022秋•武义县期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高1.68m长为0.84m，这时测得一棵树的影长为4m，则这棵树的高为 m．
9．（2022秋•西安期末）《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，M、N为正方形ABCD一组对边的中点，△GEF中，G、M、N、E四点共线，∠E＝90°，F、A、G三点共线，且AD⊥GE，GM＝20，NE＝14，EF＝1775，设正方形ABCD的边长为x，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式： ．
10．（2022秋•商河县期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、O、D都在格点上，点O是△ABO和△DCO的位似中心，则△ABO与△DCO的周长比为 ．
11．（2022秋•广平县期末）如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，CD⊥AB于点D．
①CD＝ ；
②将斜边上的高CD进行五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是 cm2．
12．（2022秋•洞头区期中）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝ 米．
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 米．
13．（2023•碑林区校级二模）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
14．（2022•兴庆区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
15．（2022秋•山西期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像．再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在点C处，从点C处后退1.5m到达点D处，恰好再次在平面镜中看到高楼的顶部点E的像，测得强强同学的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m．已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD，FB，EO均与OD垂直．求高楼OE的高度．（平面镜的厚度忽略不计）
1．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
2．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
3．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
4．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（ ）
A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m
5．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
6．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
7．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
8．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6
9．（2022•威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
10．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
11．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝ m．
12．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 ．
13．（2022•百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．
14．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
15．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 ．
16．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
17．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
18．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
19．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
20．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
21．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
1．（2022•威县校级模拟）如图，嘉嘉在作业本上画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O．若AB＝4cm，则CD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．12cm
2．（2022•大渡口区校级模拟）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为（ ）
A．15cm B．10cm C．8cm D．3.6cm
3．（2022•馆陶县模拟）如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
4．（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
5．（2022•巴州区校级模拟）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（ ）
A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m
7．（2022•石家庄三模）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022•牡丹江二模）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F，BC⊥x轴，垂足是C，反比例函数y＝的图象分别交BC，AB于点D（﹣4，1），E，若AF＝EF＝BE，则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
9．（2022秋•宛城区校级期末）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC＝ ．
10．（2022•义乌市模拟）将一本高为17cm（即EF＝17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD中点．
（1）收纳盒的长BC＝ ；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点．
11．（2022•市中区模拟）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似计算出金字塔的高度OB．若O′B'＝1米，A′B'＝2米，AB＝274米，则金字塔的高度OB＝ 米．
12．（2022•瓯海区模拟）如图2是一盏路灯的侧面示意图，OA为灯杆，点B是灯所在位置，DE为路灯在地面的照射范围，∠DBE＝∠A，光线BE交OA于点C，测量得，OC＝米，AC＝AB＝米，灯杆OC在地面的影子OE＝米，点B到地面的高度BF为 米，DE＝ 米．
13．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 ．
14．（2022•兴庆区校级二模）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1，
（3）求出△A2B2C2的面积．
15．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．
16．（2022•莲湖区三模）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑AB的高度．如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端D处竖立一根高2米的标杆CD，此时测得标杆CD的影子DE为2米；然后，在H处竖立一根高2.5米的标杆GH，小婷从H处沿BH后退0.8米到N处恰好看到点G、A在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离MN＝1.5米，DN＝24米，已知CD⊥EN，AB⊥EN，GH⊥EN，MN⊥EN，点E、D、B、H、N在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑AB的高度．
17．（2023•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 ．
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