中考数学全等三角形的常见辅助线专项练习

全等三角形的常见辅助线

 方法一 作平行线法

 作平行，构造全等．利用的思维模式是全等变换中的“平移”．

【例题1】

1. △ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多种辅助线作法）

【分析】方法一，延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，根据已知条件求得各个角的值，发现∠4＝∠C，，进而得QB＝QC，，再根据△APD≌△APC，得AD＝AC，等量代换之后得证；

方法二，过点P作PD//BQ交CQ于点D，结合已知条件可得BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC，证明△ABP≌△ADP，可得AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC，等量代换之后得证；

【详解】方法一、证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，

方法二、如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，

变式1

2. 如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF,交BC于点D．求证DE=DF.

变式2 

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．

变式3

4. 如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.

变式4 

5. 如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论．

培优

变式5 

6. 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．

（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；

（2）求证：；

（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．

方法二作垂直法

作垂直，构造全等．分为做1条垂直辅助线和2条垂直辅助线．可以利用通过作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；思维模式是全等变换中的“轴对称”即“对折”．

【例题2】

7. 如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．

【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．

变式1

8. 如图所示，在四边形中，平分，求证：．

变式2

9. 已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、 D. 求证：PC=PD.

变式3

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

变式4 

11. 如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．

(1)求证：AE平分∠BAD．

(2)求证：AD＝AB＋CD．

培优

变式5

12. 已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.

（1）用圆规比较EM与FM的大小.

（2）你能说明由(1)中所得结论的道理吗?

方法三 倍长中线法

倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来．

其主要的图形特征和证明方法如图：

已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，

辅助线：延长AO到点D使AO＝DO，

结论：△AOB≌△DOC

证明： 延长AO到点D使AO＝DO，

由中点可知，OB＝OC，

在△AOB和△DOC中

∴△AOB≌△DOC

同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．

补充：关于倍长中线的其他方法

①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO

步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，易证△BEO≌△CDO（AAS）

②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO

步骤：在AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO＝DO，连接BD，易证△BDO≌△CEO（SAS）

点拨：

倍长中线的思路：已知中线——作中线倍长线——证全等——找大小关系

【例题3】 

13. 如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（    ）．

A.  B.

C.  D. 与的长短关系不确定

变式

14. 如图，为AD上的中点，则BE＝______．

变式

15. 如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．

变式

16. 如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.

求证：AB＝CD .

变式

17. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】

（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．

【理解与应用】

（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．

（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．

培优

变式

18. 问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；

（2）AD的取值范围是________________________；

方法运用：

（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．

（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．

方法四 截长补短法

【例题4】

19. 在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．

（1）求的度数；

（2）求证：．

变式1

20. 如图，在中，为的平分线，如图，若，求线段的长度．

变式2

21. 如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．

（1）求证：DP＝DB；

（2）求证：DA+DB＝DC；

变式3

22. 在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．

（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；

（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

变式4

23. 如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？

变式5

24. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.

培优

变式6

25. 通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

【解决问题】

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．

证明：延长CD到G，使，

在与中，

∴理由：（SAS）

进而证出：___________，理由：（__________）

进而得．

【变式探究】

如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．

【拓展延伸】

如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．

方法五 补全图形法

补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题．

【例题5】

26. 如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

变式1

27. 如图，在中，平分，且垂直于的延长线于点，求证：．

变式2 

28. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；

（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；

（4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC．

方法六 旋转法

常见通过旋转构造全等的情况

1、等腰三角形旋转

2、等边三角形的旋转

3、四边形旋转

4、正方形旋转

根据想要转换的线段以及“共顶点等线段"的特点锁定旋转目标，添加辅助线促成全等，实现线段或角度在位置上的变化，再根据题目中的具体条件从而解决问题．

例题6】

29. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2，则四边形ABCD的面积为________

变式1 

30. 在中，，点在边上，．若，则的长为__________．

变式2

31. 如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

变式3 

32. 如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．

（1）求证：；

（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．

培优

变式4

33. 阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_       关系时，仍有EF=BE+DF；

（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．