中考数学全等三角形的常用模型专项练习

全等三角形常用模型

模型一：手拉手模型

（一）有公共顶点的等边三角形   

（二）有公共顶点的等腰直角三角形

（三）顶角相等的等腰三角形

例1

1. [问题提出]

（1）如图均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图中证明．

[学以致用]

（2）在的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为               度．

[拓展延伸]

（3）在的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围．

2. （1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是　   　．

（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．

①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；

②图2中∠AFB的度数是　 ．

（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．

模型二 半角模型

（一）等边三角形中120含60半角模型

（二）等腰直角三角形中90含45半角模型

例2

3. 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明）

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．

（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

4. 如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．

(1)求边AB的长；

(2)求∠BAC的度数；

(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．

模型三 对角互补模型

（一）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（异侧型）

已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB＋AC＝AD．

（二）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（同侧型）

已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB－AC＝AD．

（三）“等边三角形对120°模型”．

△ABC是等边三角形，∠BPC＝120°，则有PB＋PC＝PA；

（四）“120°等腰三角形对60°模型”

△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∠BPC＝60°，则有PB＋PC＝PA；

例3

5. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．

（2）探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明

（3）拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

变式3

6. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.

模型四  三垂直模型

结论】如图所示，，则．

例4

7. 如图，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求证：EC＝AB－CD．

变式4

8. 如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（     ）

A. 6cm B. 1.5cm C. 3cm D. 4.5cm

模型五 一线三等角模型

题型特征：图形某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B＝∠2＝∠C

解题方法：只要题目再出现一组等边（BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA）

证明过程：∵∠1＝180°－∠2－∠3，∠4＝180°－∠C－∠3，∵∠2＝∠C，∴∠1＝∠4，∵∠B＝∠C，若BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA）

例5

9. 如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；

（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

变式5

10. （1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；

（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

模型六  雨伞模型

模型讲解

【结论】如图，是的平分线，，垂足为O，延长交于点D，则，．

【证明】根据题意得，在与中，

，

．

例6

11. 已知，如图中，，，的平分线交于点，，

求证：.

变式7

12. 如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：．

模型七  边边角模型（胖瘦模型）

胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补．

模型讲解

【模型】如图所示，在等腰中，，点P在线段上且P不是的中点．

【结论1】（变胖）如图所示，在上截取，连接，．

6

【结论2】（变瘦）如图所示，在上截取，连接，．

【结论3】如图所示，过点A作，垂足为．

【总结】两个三角形满足两条边对应相等，并且其中一条边的对角相等，满足的条件为．

处理方法：

1  变胖（加等腰）．

2  变瘦（减等腰）．

3  找中间状态（加、减直角三角形）．

例7

13. 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，

求证：∠A+∠C=180°．

实践练

14. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A. 1.5 B. 2              C.                     D.

15. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ）

A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2

16. 如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

17. 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

18. 如图，中，，则点B的坐标为________．

19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为____________

20. 如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

21. 如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝，AC、BD交于M

（1）如图1，当＝90°时，∠AMD的度数为　  　°；

（2）如图2，当＝60°时，求∠AMD的度数；

（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD，不用证明；若不确定，说明理由．

22. 已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º

(1)如图所示，求证：DA+DB=DC

(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH=              .

23. 例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D．

（1）若的中点为M，连接交于点N，求证：；

（2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想．

25. 如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形

（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论   

26. 如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD.

27. 如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.