精品解析：广东省深圳实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】解：是分数，属于有理数；

，是整数，属于有理数；

是有限小数，属于有理数；

无理数有：，，共个．

故选：A．

【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．

2. 在平面直角坐标系中，点P(－5，0)在(       )

A. 第二象限 B. x轴上

C. 第四象限 D. y轴上

【答案】B

【解析】

【分析】根据点的坐标特点判断即可．

【详解】在平面直角坐标系中，点P（-5，0）在x轴上，

故选B．

【点睛】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解本题的关键．

3. 对于直线的描述正确的是（    ）

A. 随的增大而增大 B. 与轴的交点是

C. 经过点 D. 图象不经过第二象限

【答案】B

【解析】

【分析】A.由，利用一次函数性质可得出随的增大而减小；B.一次函数图象上点的坐标特征可得出直线与轴的交点是；C.一次函数图象上点的坐标特征可得出直线经过点；D.，，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第二、三、四象限．

【详解】解：A.随的增大而减小，选项A不符合题意；

B．当时，，

直线与轴的交点是，选项B符合题意；

C．当时，，

直线经过点，选项C不符合题意；

D．，，

直线经过第二、三、四象限，选项D不符合题意．

故选：B

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．

4. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是(    )

A. 众数是80 B. 中位数是75 C. 平均数是80 D. 极差是15

【答案】B

【解析】

【详解】（1）80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；

（2）把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；

（3）平均数是80，C正确；

（4）极差是90-75=15，D正确．故选B

5. 在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）

A. y=3x+5 B. y=3x﹣5 C. y=3x+1 D. y=3x﹣1

【答案】D

【解析】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．

【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1,

故选：D

【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．

6. 下列计算中，正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可

【详解】解：、，此选项不符合题意；

B、，此选项不符合题意；

C、，此选项符合题意；

D、，此选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．

7. 已知方程组和有相同的解，则的值为(   )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．

【详解】解：将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组，

解这个方程组，得．

将代入ax＋5y＝4和5x＋by＝1，得，

a﹣10＝4，5﹣2b＝1．

解得，a＝14，b＝2．

∴＝10．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键．

8. 如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m、n的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．

【详解】解：①当，过一，三象限，m，n同号，同正时过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；

②当时，过二，四象限，m，n异号，则过一，三，四象限或一，二，四象限．

观察图象，只有选项C符合题意，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．

一次函数的图象有四种情况：

①当，函数的图象经过第一、二、三象限；

②当，函数的图象经过第一、三、四象限；

③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；

④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．

9. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据勾股定理即可求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求解即可．

【详解】解：，，

，

，

根据折叠可得：，

，

设，则，，

在中：，

解得：，

故选：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．

10. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令可判断③；令，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④．

【详解】由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，

①②都正确；

设甲车离开城的距离与的关系式为，

把代入可求得，

，

设乙车离开城的距离与的关系式为，

把和代入可得，

解得，

，

令可得：，

解得，

即甲、乙两直线的交点横坐标为，

此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，

③正确；

令，可得，即，

当时，可解得，

当时，可解得，

又当时，，此时乙还没出发，

当时，乙到达城，；

综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，

④正确；

综上可知正确的有①②③④共个，

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键．

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. －64的立方根是_______．

【答案】-4

【解析】

【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．

【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，

可知-64的立方根为-4．

故答案为：-4．

【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．

12. 已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，关于，的二元一次方程组的解是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据图像的交点即为方程组的解，即可得到答案．

【详解】根据图象可知：函数和的图象的交点的坐标是，

方程组的解是

故答案为：

【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组，解题的关键是熟知图像的交点即为方程组的解．

13. 如图，，则______ ．

【答案】

【解析】

【分析】根据平行线的性质定理，三角形内角和定理和三角形外角的性质可找出，和之间的关系，即可得出答案．

【详解】解：，

，，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质定理，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识点，解题时要求学生熟练掌握这些性质及定理，找出角与角直角的关系是解题的关键．

14. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为_________.

【答案】(1,0)

【解析】

【分析】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，用待定系数法，求出直线CD′的解析式，然后求得与x轴的交点坐标即可.

【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，

∵OB=4，OA=3，D是OB的中点，

∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4），

∴D′的坐标是（0，-2），

设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0），

则

解得：，

则直线的解析式是：y=2x-2，

在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，

解得x=1，

则E的坐标为（1，0），

故答案为：（1，0）.

【点睛】本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E的位置是解题的关键．

15. 如图所示，、分别为轴、轴上的点，为等边三角形，点在第一象限内，且满足，则的值______．

【答案】或

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标，等边三角形的性质可得出的边长，进而求得的面积，则可得出的面积，然后根据题目中条件分两种情况用含有a的代数式表示出的面积即可求得a的值．

【详解】解：过点作轴，垂足为，

由、，得，，

为等边三角形，

由勾股定理，得，

，

又

，

，

由，得，

．

当在与交点的上方时，如图过点P作垂直于的延长线于点E,

过点B作于点F，

=

=

由，得

故答案为：或．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理和平面直角坐标系中点的坐标等知识点，解题时利用点的坐标特征表示三角形面积是解题的关键，另外需分析P点位置的可能性，需要考虑全面才能得出正确答案．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16. 计算下列各式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用完全平方公式、平方差公式将二次根式进行化简计算即可；

（2）先利用二次根式的除法运算对第一项进行化简二次根式，然后再约分；再利用立方根对第二项化简，即可得出答案．

【小问1详解】

解：原式

；

【小问2详解】

解：原式

．

【点睛】此题考查了二次根式的化简、立方根，熟练掌握二次根式的四则运算法则、运用乘法公式化简二次根式是解答此题的关键．

四、解答题（本大题共6小题，共42.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用加减消元法求解即可；

（2）利用加减消元法求解即可．

【小问1详解】

解：，

①×3－②得：，

解得：，

把代入①得：，

解得：，

∴原方程组的解为；

【小问2详解】

，

①×6－②得：，

解得：，

把代入②得：，

解得：，

∴原方程组的解为．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18. 如图，在直角坐标系内，已知点．

（1）图中点的坐标是______；

（2）点关于原点对称的点的坐标是______；点关于轴对称的点的坐标是______；

（3）在轴上找一点，使，那么点的坐标为______．

【答案】（1）   

（2），   

（3）或

【解析】

【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的概念即可得出答案；

（2）根据平面直角坐标系中点的变换特征即可得出答案；

（3）由题干条件求出三角形的高，然后根据绝对值的概念即可求出的坐标．

【小问1详解】

解：过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的横坐标为，

过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的纵坐标为，

所以点；

故答案为：；

【小问2详解】

解：由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，

所以点关于原点对称点，

由于关于轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，

所以点关于轴对称点，

故答案为：，；

【小问3详解】

解：设点的坐标为，

因为，，

所以，

，

解得或，

的坐标为或．

故答案：或．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标以及点关于原点对称，关于坐标轴对称的知识点，掌握平面直角坐标系中点的坐标对称变换的特点是解题的关键．

19. 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：

（1）的整数部分是______，小数部分是______；

（2）如果的整数数部分为a，的小数部分为b，求的值．

【答案】（1）3，   

（2）

【解析】

【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；

（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．

【小问1详解】

解：∵，

∴，

∴的整数部分是3，小数部分是，

故答案为：3；；

【小问2详解】

解：∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∴

∴，

∴．

【点睛】本题考查了估算无理数整数和小数部分有关的计算，能估算出、、的范围是解此题的关键．

20. 某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）当甲种奖品购买20件，乙种奖品购买40件时，所需费用最小，最小费用为800元．

【解析】

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，由题意可列方程组进行求解；

（2）设购买甲种奖品m件，则乙种奖品为（60-m）件，购买所需的总费用为W，则由（1）可得，然后根据一次函数的性质可求解

【详解】解：（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，由题意得：

，

解得：，

答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．

（2）设购买甲种奖品m件，则乙种奖品为（60-m）件，购买所需的总费用为W，由（1）及题意得：

，

∵，

∴当m=20时，购买所需的总费用最小，最小值为800；

答：当甲种奖品购买20件，乙种奖品购买40件时，所需费用最小，最小费用800元．

【点睛】本题主要考查一次函数的应用及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用及二元一次方程组的应用是解题的关键．

21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．

（1）若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；

（3）如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．

【答案】（1）是    （2）   

（3）的长为或

【解析】

【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；

（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；

（3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长．

【小问1详解】

解：，

此三角形是常态三角形，

故答案为：是；

【小问2详解】

是常态三角形，

设两直角边长为，，斜边长为，

，，

，

，

设，，

则，

此三角形的三边长之比为，

故答案为：；

【小问3详解】

是常态三角形，

，

，，

，

（负值已舍），

，

，

在中，由勾股定理得，．

当时，

∵，

∴，

在中根据勾股定理得：，

∴的长为或．

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．

22. 如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若．

（1）求直线的解析式；

（2）求出四边形的面积；

（3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）直线的解析式为   

（2）四边形的面积为   

（3）点的坐标为、、、

【解析】

【分析】（1）先把点坐标代入得到，则，再利用可得到点坐标为，则把点坐标代入可得到，即可求得直线解析式；

（2）通过解方程组得到点坐标，确定点坐标为，然后利用四边形的面积进行计算即可；

（3）先根据、两点的坐标求出，然后分类讨论：当时，以点为圆心，画弧交轴于点和点，再写出它们的坐标；当时，点与点关于轴对称，即可得到它的坐标；当时，点为坐标原点．

【小问1详解】

解：把代入得，解得，

，

，，

点坐标为，

把代入得，解得，

直线的解析式为；

【小问2详解】

解：解方程组，

得，

点坐标为，

当时，，

点坐标为，

四边形的面积

；

【小问3详解】

解：，，

，

当时，点的坐标为，点的坐标为；

当时，点的坐标为，

当时，点的坐标为，

综上所述，点的坐标为、、、．

【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．