精品解析：广东省深圳市南山区桃源中学2022-2023学年八年级数学上学期第一次月考（11.1-12.3）综合测试题

2022-2023学年广东省深圳市南山区桃源中学人教版八年级数学上册

第一次月考（11.1-12.3）综合测试题

一、选择题（每题3分，共36分）

1. 一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（　　）

A. 15 B. 16 C. 18 D. 19

【答案】D

【解析】

【详解】设第三边为a，

根据三角形三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，

即4＜a＜10，

∵a为整数，

∴a的最大值为9，

则三角形的最大周长为9+3+7=19．

故选D．

2. 画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据高线的定义，从三角形的一个顶点，向对边引垂线，顶点与垂足所连线段，即为三角形的高，进行判断即可．

【详解】解：A、画法错误，不符合题意；

B、画法错误，不符合题意；

C、画法正确，符合题意；

D、画法错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查画三角形的高，熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．

3. 如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（    ）

A. AE＝CE B. ∠ADC＝90° C. ∠CAD＝∠CBE D. ∠ACB＝2∠ACF

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．

【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；

B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；

C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；

D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．

4. 如图所示，在中，已知点分别为边的中点，，则等于（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两部分，逐个计算即可．

【详解】解：∵点为线段的中点，

∴，，

∴，

即：，

∵点为线段的中点，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形中线的性质；熟练运用三角形中线把三角形分成面积相等的两部分进行计算是解题的关键．

5. 如图，在中，平分于E，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中正确的有（　　）

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

【答案】A

【解析】

【分析】根据角平分线的性质可得，故①正确；再证得，可得，，即平分，故④正确；从而得到，故②正确；再由，可得，故③正确；然后根据，且，可得，即可．

【详解】解：∵平分，

∴，故①正确；

∵，

∴，

∴，，即平分，故④正确；

∴，故②正确；

∵，

∴，故③正确；

∵，且，

∴，故⑤正确；

∴正确的有五个，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

6. 下列说法中错误的是（      ）

A. 三角形的三个内角中至少有两个角是锐角

B. 有一个角是锐角的三角形是锐角三角形

C. 一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于

D. 如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形．

【详解】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意；

B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意

C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意

D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角．

7. 一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】D

【解析】

【分析】根据n边形的内角和是(n-2)•180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．

【详解】，

则正多边形的边数是8+1+2=11．
故选：D．

【点睛】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握n边形的内角和公式(n-2)•180°是解题的关键．

8. 如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（   ）

A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°

【答案】B

【解析】

【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．

【详解】解：∵，，

∴在△BEC中，由三角形内角和可得，

∵，

∴；

故选B．

【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．

9. 如图，∠ABC=∠BAD，只添加一个条件，使△AED≌△BEC．下列条件中①AD=BC；②∠EAB=∠EBA；③∠D=∠C；④AC=BD，正确的是（    ）

A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用全等三角形的判定方法逐一进行判断即可．

【详解】①在和中，

  ．

在和中，

,故①正确；

②∵∠EAB=∠EBA，

．

又∵, ∠EAB=∠EBA，

∴ ．

在和中，

,故②正确；

③在和中，

  ．

在和中，

,故③正确；

④无法证明，故错误；

所以正确的是：①②③．

故选：C．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

10. 如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（        ）

A. 12 B. 15

C. 16 D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．

【详解】∵点O是三条角平分线的交点，

∴点O到AB，AC的距离相等，

∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=8：6=4：3．

∵△ABO的面积为20，

∴△ACO的面积为15．

故选B．

【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

11. 如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为（  ）

A. 45°

B. 55°

C. 35°

D. 65°

【答案】B

【解析】

【详解】∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，

∴∠DFC=35°，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠BED=∠CDF=90°.

∵在Rt△BDE与△Rt△CFD中BE=CD，BD=CF，

∴Rt△BDE≌△Rt△CFD，

∴∠BDE=∠CFD=35°.

∵∠EDF+∠BDE=90°，

∴∠EDF=55°.

故选B.

12. 如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（    ）．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．

【详解】BC，AE是锐角的高

,

故选B．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共16分）

13. 多边形的每个内角都等于，则这个多边形是___________边形．

【答案】八##8

【解析】

【分析】由多边形的每个外角与其相邻的内角互为邻补角得出每个外角都是，然后用求得n值即可．

【详解】解：设多边形边数为n，

由题意可得每个外角都是，

由外角和定理可知，

解得．

即这个多边形是八边形．

故答案为：八．

【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角与内角的关系，熟记外角和定理是解题的关键．

14. 如图， ___________．

【答案】##度

【解析】

【分析】如图所示，连接，根据三角形内角和定理证明，则可证说求角度和即为六边形的内角和，据此根据多边形内角和公式求解即可．

【详解】解：如图所示，连接，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，多边形内角和，正确作出辅助线将所求的角度和转化成求出六边形的内角和是解题的关键．

15. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为____．

【答案】##

【解析】

【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE=DF，求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∵BD为△ABC的角平分线，

∴DE=DF，

设DE=DF=R，

∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，

∴S△ABC=×AB×BC=×6×8=24，

∴S△ABD+S△DBC=24，

∵AB=6，BC=8，

∴×6×R+×8×R=24，

解得：R=，

即DF=，

∴点D到边AB的距离是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=DF是解此题的关键．

16. 如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 ___________时，与全等．

【答案】2或

【解析】

【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．

【详解】解：①当，时，，

，

，

，

，解得：，

，

，

解得：；

②当，时，，

，

，

，解得：，

，

，

解得：，

综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等，

故答案为：2或．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

三、解答题

17. 用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？

(2)能围成有一边长是6 cm的等腰三角形吗？为什么？

【答案】（1）10cm，10cm，5cm（2）能，三角形的各边长是6cm，9.5cm，9.5cm．

【解析】

【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；

（2）题中没有指明6cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．

【详解】（1）（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，

则2x+2x+x=25，解得，x=5，

∴2x=10，

∴各边长为：10cm，10cm，5cm．

（2）①当6cm为底时，腰长=9.5cm；

当6cm为腰时，底边=13cm，

因为6+6=12，故不能构成三角形，故舍去；

故能构成有一边长为6cm的等腰三角形，另两边长为9.5cm，9.5cm．

答：三角形的各边长是6cm，9.5cm，9.5cm．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．易错点是分情况讨论后不能根据三角形的三边关系判断能不能构成三角形．

18. 已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，ACDE，．

求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】先根据平行线的性质得到，，即可推出，由此即可利用AAS证明．

【详解】证明：∵，

∴，，

∵，

∴，   

在和中，

，

∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．

19. 如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由题意知，由三角形内角和定理可得，进而可证．

【详解】证明：∵，

∴

∵，，

∴

在△ABC和△ADE中

∵

∴．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于找出全等所需的条件．

20. 如图，与交于点与交于点．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得．

【详解】证明：在和中，

，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

21. 如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．

【答案】1

【解析】

【分析】过点D作BA的垂线交AB于点H，分别证Rt△DEB≌Rt△DHB和Rt△DEC≌Rt△DHA，再利用全等三角形的性质即可求出BE的长．

【详解】解：过点D作BA垂线交AB于点H，

∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，

∴DE＝DH，

在Rt△DEB和Rt△DHB中，，

∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），

∴BE＝BH，

在Rt△DEC和Rt△DHA中，

，

∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），

∴AH＝CE，

由图易知：

AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，

∴AB−BH＝BE＋BC，

∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，

而BE＝BH，

∴2BE＝2，

故BE＝1．

【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，通过观察题目，正确作出辅助线并通过三角形全等去推理是解题关键．

22. 已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：

（1）．

（2）．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用角平分线的定义和垂直的定义得到，，则可根据证明；

（2）先由得到，则可根据全等三角形的性质得到，然后可根据判断，从而得到结论．

【小问1详解】

解：证明：平分，，，

，，

在和中，

；

【小问2详解】

，

，

在和中，

，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

23. 如图，在中，点E是边上一点，．

（1）如图1，作的平分线交，于D，F两点．试说明：；

（2）如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）成立；理由见解析

【解析】

【分析】（1）首先根据角平分线性质可得∠BAD=∠DAC，再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；

（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，进而得∠EFD=∠ADC．

【小问1详解】

解：∵平分，

∴，

∵，，

又∵，

∴；

【小问2详解】

探究（1）中结论仍成立；

理由：∵平分，

∴，

∵ 

∴，

∵，，

又∵，

∴．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

24. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标；

（2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系；

（3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）．理由见解析

【解析】

【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解；

（2）先证明，再证明，即可得到结论；

（3）和的延长线相交于点D，先证明，再证明，进而可得结论．

【小问1详解】

解：作轴于H，如图1，

∵点A的坐标是，点B的坐标是，

∴

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：．理由如下：如图2，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

而，

∴；

【小问3详解】

．理由如下：

如图3，和的延长线相交于点D，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵x轴平分，轴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是关键．