数学第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示综合训练题

这是一份数学第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示综合训练题，共21页。
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示
【知识点梳理】
知识点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则①;
②; ③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典型例题】
题型一：空间向量的坐标表示
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，，若，则点B的坐标为（       ）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）


【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（       ）
A． B． C． D．


【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）
A． B． C． D．



【例5】（2022·福建三明·高二期末（多选题））已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ）

A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）


【例6】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（       ）
A． B．
C． D．

2．（2022·全国·高二单元测试）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．

4.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ）


A． B． C． D．

5．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习（多选题））如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ）

A． B．
C． D．


6．（2022·全国·高二课时练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．


7．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，，则点的坐标为______．


8．（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．

题型二：空间向量的直角坐标运算
【例1】（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，则向量（       ）
A． B．
C． D．


【例2】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（          ）
A． B． C． D．


【例3】（2022·重庆·高二期末）在四面体中，，则以下选项正确的有（       ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ）

A． B．
C． D．

【例5】（2022·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．


【题型专练】
1.（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）若，则=（       ）
A． B． C． D．


2.（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（       ）
A．4 B． C．2 D．不确定

3.（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.


4．（2022·湖南益阳·高二期末（多选题））已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（       ）
A． B．
C． D．

5．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.

6．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点，，，四边形是平行四边形，其中，为对角线，则______．


7．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.



题型三：空间向量的三点共线与四点共面问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）若、、三点共线，则（       ）．
A． B． C． D．

【例2】（2022·江苏·高二课时练习）向量，，，中，共面的三个向量是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量，若共面，则(       )
A． B．0 C．1 D．

【例4】（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．



【例5】（2022·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？


【题型专练】
1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（       ）．
A． B．1 C． D．2

2.（2022·陕西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三个向量共面，则实数
A．3 B．5
C．7 D．9

3.（2022·浙江·效实中学高二期中）（1）设，，则______；
（2）若与，，（，，三点不共线）四点共面，且对于空间任一点，都有，则______．

4.（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
5．（2022·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．


题型四：空间向量模长坐标表示
【例1】（2022·全国·高二专题练习）若，，则（       ）
A． B． C．5 D．10


【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）
A． B． C． D．


【例3】（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（       ）
A． B．40 C．6 D．36


【例4】（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末（多选题））在空间直角坐标系中，，则（       ）
A． B．
C． D．



【例5】（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．



【题型专练】
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A． B． C．5 D．5


2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.


3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.

4．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．


5．（2022·湖南·高二课时练习）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长．


题型五：空间向量平行垂直坐标表示
【例1】（2021·全国·高二单元测试）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（       ）．
A． B．1 C． D．


【例2】（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ）
A．1 B． C． D．0


【例3】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．


【例4】（2021·安徽省潜山第二中学高二阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（　　）
A． B． C． D．



【例5】（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．


【例6】（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））空间中，与向量同向共线的单位向量为（       ）
A． B．或
C． D．或


【例7】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3

2．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（       ）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不对

3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知，，，若，则（       ）
A． B． C．11 D．4


4．（2022·全国·高二）已知向量，若，则实数x的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10

5．（2022·全国·高二课时练习）如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________．


6．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．


7.（2022·湖北·高二期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.

8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知四点、、，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．

9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）


A．8 B．4 C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．


11．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知点，，点P在直线AB上．
(1)若，写出点P的坐标；
(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标．

题型六：空间向量夹角坐标表示
【例1】（2022·四川内江·高二期末（理））已知，，则（       ）
A． B． C．0 D．1

【例2】（2022·全国·高二）已知，，且，则向量与的夹角为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（       ）
A． B． C． D．


【例5】（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知，，向量与的夹角，则（       ）
A． B． C． D．


【例6】（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（       ）

A．点P的坐标为 B．
C． D．


【例7】（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（       ）.
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（       ）
A．1 B． C．或 D．17或

2．（2022·江苏·马坝高中高二期中（多选题））若，，与的夹角为120°，则的值为（       ）
A． B．17 C．1 D．


3.（2022·福建宁德·高二期末多选题）已知，，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为

4.（2022·全国·高二课时练习）已知、、，则______.

5．（2022·全国·高二单元测试）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．

6．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．




7．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．




8．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．