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精品解析：广东省深圳市海滨中学、文汇中学等五校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
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2021-2022学年广东省深圳市海滨中学、文汇中学等五校联考九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1. 一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A x1=3，x2=﹣1 B. x=3 C. x=1 D. x1=3，x2=0
【答案】A
【解析】
【分析】把（x-1）2=4两边开方得到x-1=±2，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x-1=2，x-1=-2，
∴x1=3，x2=-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法：对于形如ax2+c=0（a≠0）的一元二次方程，可先变形为x2=-，当ac≤0，可利用平方根的定义求解．
2. 九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，
其中抽出的同学是女生的有4种情况，
∴抽出的同学为女生的概率是．
故选择：B．
【点睛】本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率的方法，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，所有种情况，找出其中抽出的同学是女生的情况是解题关键．
3. 如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A. ＝ B. ＝ C. ∠ABP＝∠C D. ∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
4. 如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'=2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质求解．
【详解】解：∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A'B'C'和△ABC的位似比=OA′：OA，
∵OA'=2AA'，
∴OA′：OA=2：3，
即△A'B'C'和△ABC的位似比为2：3．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）；位似比等于位似中心到对应点的连线段的比，也等于相似比．
5 已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜1 B. m＞1 C. m＜1，且m≠0 D. m＞1，且m≠0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式进行解答即可得．
【详解】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：m＜1且m≠0，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是要熟记一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式．
6. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A. （x﹣3）2＝15 B. （x﹣3）2＝3 C. （x+3）2＝15 D. （x+3）2＝3
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0，
两边都加9得：
故选A
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形
C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；
B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法正确，符合题意；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等且垂直平分四边形是正方形，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法．
8. 近年来某市不断加大对城市绿化的经济投人，使全市绿地面积不断增加，从年底到年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图上可以看出，2016年底、2018年底的城市绿化面积，设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意得：
300(1+x)2=363
解得：x₁=0.1=10%，x₂=-2.1(不合题意，舍去)
答：这两年绿地面积的年平均增长率是10%．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题的应用，看懂图，从中找到相关的信息是解题的关键．
9. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，
∴D（，0），A（3，0），C（0，4），
∴H（，0），
设直线CH解析式为，
把C、H两点坐标代入得，，
解得，，
y=x+4，当x=3时，y=，
∴点E坐标（3，）
故选B．
10. 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到 ，即a2+2ab-b2=0，从而求得，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，得到HO=b，通过证得△MHO∽△MFE，得到，进而得到，进一步得到.
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴，
∴EM＝OM，
∴，
∴
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴
故④错误，
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11. 已知，则的值为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据可设（k≠0），则，再代入化简即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴设（k≠0），则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出两数是解决本题的关键．
12. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 _____个．
【答案】15
【解析】
【分析】根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：∵共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，
∴摸到黑球的概率为240400=0.6，
∴袋中的黑球大约有25×0.6=15（个）；
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13. 在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ____________．
【答案】x1=3，x2=8
【解析】
【分析】根据运算得出（x-3）2-5（x-3）=0，求出方程的解即可．
【详解】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，能新运算推出（x-3）2-5（x-3）=0是解此题的关键．
14. 如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，AB=3cm，CD=6cm，则EF=______．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据AB∥CD，求出AE和CE的关系，得到，根据AB∥EF，得到，又AB=3cm，求出EF的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∵AB∥EF，
∴，
又∵AB=3cm，
∴EF=2cm．
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
15. 如图，四边形ABCD是矩形，边AB长为6，∠ABD＝60°，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN，利用勾股定理求出EG=4，运用三角形中位线定理得出PM∥CD，PM=CD=3，PN∥EF，PN=EG=2，运用平行线性质证明∠MPN=90°，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠BCD=90°，CD=AB=6，
∵EF∥BC，
∴∠BEG=∠A=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠BGE=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∴BG=2BE=2×4=8，
∴EG==4，
∵M、P、N分别是DG、CG、CE中点，
∴PM∥CD，PM=CD=3，PN∥EF，PN=EG=2，
∴∠MPG=∠DCG，
∵PN∥EF，EF∥BC，
∴PN∥BC，
∴∠NPG=∠BCG，
∴∠MPG+∠NPG=∠DCG+∠BCG=∠BCD=90°，
∴∠MPN=90°，
∴MN=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，正确添加辅助线是解题关键．
三．解答题（共7小题）
16. 解下列方程：
（1）x2+3x﹣10＝0；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用求根公式法，先确定a=2，b=3，c=-4，再b2-4ac=9+32=41>0，再代入公式求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴(x+5)(x-2)=0，
∴x+5=0，x-2=0，
∴；
（2）2x2+3x-4=0
∵a=2，b=3，c=-4，
∴b2-4ac=9+32=41>0，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
17. 2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【答案】（1）见解析；（2）恰好抽到同性别学生的概率为．
【解析】
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再用总人数乘以“重视”的人数所占的百分比，即可补全条形统计图；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）调查的学生人数为16÷20%=80（人），
“重视”的人数为80×30%=24（人），补全条形统计图如图：
（2）根据题意画树状图如下：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
18. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为 ．
【答案】（1）见解析，C1（1，-2）；（2）见解析，C2（-1，1）；（3）π+
【解析】
【分析】（1）将A、B、C分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，顺次连接即可得出△A1B1C1，即可得出写出C1点的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A2B2C2，即可写出C2点的坐标；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3）∵AB=，AC=，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC=××=，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
=+
=π+．
故答案为：π+．
【点睛】本题考查了旋转作图及平移作图的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、平移的特点．
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF的长为．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA=AC，
∵BE=AC，
∴BE=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8，
∴BD=2OB=16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE，
∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，
∵∠DBE=90°，
∴BF=DE=，
故BF的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．
20. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【解析】
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．
21. 如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止．
（1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形．
（2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）说明出后，再利用矩形的性质得到，即可完成求证；
（2）先设，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标得以确定，然后利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式；
（3）先设出D点坐标，再分别表示出、、，利用勾股定理的逆定理分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）证：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）存在；
理由：∵矩形且点B的坐标为，
∴，；
设
∴，
∴，
当四边形是菱形时，
则，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
设直线的解析式为：；
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）由（2）知，
设，
∴，
，
当时，，解得：，
此时，
∴，此时点与点重合，不合题意，故舍去；
当时，，解得：，（舍去），
此时，，
∴；
当时，，解得：，
此时，，
∴；
综上可得：或．
【点睛】本题综合考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理及其逆定理等内容，同时涉及到了解一元二次方程等知识，本题综合性较强，要求学生具备一定的综合分析能力和计算能力，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
22. 把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时，＝ ．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）8；（2）不会改变，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意易证得，然后由相似三角形的性质即可求得答案；
（2）不会改变，关键还是证，已知一组角，再证明，由此可证得两三角形相似，因此结论不变；
（3）首先可得当，即时，，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，再根据即可求得答案．
【详解】解：（1），，
．
．
，
，斜边中点为，
，
；
故答案为：8；
（2）的值不会改变，理由如下：
在与中，，
∴，
∵，
∴，
，
．
．
；
∴的值不会改变；
（3）当，即时，，
此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
，
由（2）知：，
∴，
则
，
与的函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及反比例函数等知识的综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用．
2021-2022学年广东省深圳市海滨中学、文汇中学等五校联考九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1. 一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A x1=3，x2=﹣1 B. x=3 C. x=1 D. x1=3，x2=0
【答案】A
【解析】
【分析】把（x-1）2=4两边开方得到x-1=±2，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x-1=2，x-1=-2，
∴x1=3，x2=-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法：对于形如ax2+c=0（a≠0）的一元二次方程，可先变形为x2=-，当ac≤0，可利用平方根的定义求解．
2. 九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，
其中抽出的同学是女生的有4种情况，
∴抽出的同学为女生的概率是．
故选择：B．
【点睛】本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率的方法，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，所有种情况，找出其中抽出的同学是女生的情况是解题关键．
3. 如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A. ＝ B. ＝ C. ∠ABP＝∠C D. ∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
4. 如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'=2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质求解．
【详解】解：∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A'B'C'和△ABC的位似比=OA′：OA，
∵OA'=2AA'，
∴OA′：OA=2：3，
即△A'B'C'和△ABC的位似比为2：3．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）；位似比等于位似中心到对应点的连线段的比，也等于相似比．
5 已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜1 B. m＞1 C. m＜1，且m≠0 D. m＞1，且m≠0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式进行解答即可得．
【详解】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：m＜1且m≠0，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是要熟记一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式．
6. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A. （x﹣3）2＝15 B. （x﹣3）2＝3 C. （x+3）2＝15 D. （x+3）2＝3
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0，
两边都加9得：
故选A
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形
C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；
B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法正确，符合题意；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等且垂直平分四边形是正方形，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法．
8. 近年来某市不断加大对城市绿化的经济投人，使全市绿地面积不断增加，从年底到年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图上可以看出，2016年底、2018年底的城市绿化面积，设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意得：
300(1+x)2=363
解得：x₁=0.1=10%，x₂=-2.1(不合题意，舍去)
答：这两年绿地面积的年平均增长率是10%．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题的应用，看懂图，从中找到相关的信息是解题的关键．
9. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，
∴D（，0），A（3，0），C（0，4），
∴H（，0），
设直线CH解析式为，
把C、H两点坐标代入得，，
解得，，
y=x+4，当x=3时，y=，
∴点E坐标（3，）
故选B．
10. 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到 ，即a2+2ab-b2=0，从而求得，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，得到HO=b，通过证得△MHO∽△MFE，得到，进而得到，进一步得到.
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴，
∴EM＝OM，
∴，
∴
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴
故④错误，
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11. 已知，则的值为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据可设（k≠0），则，再代入化简即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴设（k≠0），则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出两数是解决本题的关键．
12. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 _____个．
【答案】15
【解析】
【分析】根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：∵共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，
∴摸到黑球的概率为240400=0.6，
∴袋中的黑球大约有25×0.6=15（个）；
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13. 在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ____________．
【答案】x1=3，x2=8
【解析】
【分析】根据运算得出（x-3）2-5（x-3）=0，求出方程的解即可．
【详解】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，能新运算推出（x-3）2-5（x-3）=0是解此题的关键．
14. 如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，AB=3cm，CD=6cm，则EF=______．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据AB∥CD，求出AE和CE的关系，得到，根据AB∥EF，得到，又AB=3cm，求出EF的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∵AB∥EF，
∴，
又∵AB=3cm，
∴EF=2cm．
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
15. 如图，四边形ABCD是矩形，边AB长为6，∠ABD＝60°，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN，利用勾股定理求出EG=4，运用三角形中位线定理得出PM∥CD，PM=CD=3，PN∥EF，PN=EG=2，运用平行线性质证明∠MPN=90°，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠BCD=90°，CD=AB=6，
∵EF∥BC，
∴∠BEG=∠A=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠BGE=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∴BG=2BE=2×4=8，
∴EG==4，
∵M、P、N分别是DG、CG、CE中点，
∴PM∥CD，PM=CD=3，PN∥EF，PN=EG=2，
∴∠MPG=∠DCG，
∵PN∥EF，EF∥BC，
∴PN∥BC，
∴∠NPG=∠BCG，
∴∠MPG+∠NPG=∠DCG+∠BCG=∠BCD=90°，
∴∠MPN=90°，
∴MN=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，正确添加辅助线是解题关键．
三．解答题（共7小题）
16. 解下列方程：
（1）x2+3x﹣10＝0；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用求根公式法，先确定a=2，b=3，c=-4，再b2-4ac=9+32=41>0，再代入公式求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴(x+5)(x-2)=0，
∴x+5=0，x-2=0，
∴；
（2）2x2+3x-4=0
∵a=2，b=3，c=-4，
∴b2-4ac=9+32=41>0，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
17. 2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【答案】（1）见解析；（2）恰好抽到同性别学生的概率为．
【解析】
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再用总人数乘以“重视”的人数所占的百分比，即可补全条形统计图；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）调查的学生人数为16÷20%=80（人），
“重视”的人数为80×30%=24（人），补全条形统计图如图：
（2）根据题意画树状图如下：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
18. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为 ．
【答案】（1）见解析，C1（1，-2）；（2）见解析，C2（-1，1）；（3）π+
【解析】
【分析】（1）将A、B、C分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，顺次连接即可得出△A1B1C1，即可得出写出C1点的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A2B2C2，即可写出C2点的坐标；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3）∵AB=，AC=，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC=××=，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
=+
=π+．
故答案为：π+．
【点睛】本题考查了旋转作图及平移作图的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、平移的特点．
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF的长为．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA=AC，
∵BE=AC，
∴BE=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8，
∴BD=2OB=16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE，
∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，
∵∠DBE=90°，
∴BF=DE=，
故BF的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．
20. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【解析】
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．
21. 如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止．
（1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形．
（2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）说明出后，再利用矩形的性质得到，即可完成求证；
（2）先设，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标得以确定，然后利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式；
（3）先设出D点坐标，再分别表示出、、，利用勾股定理的逆定理分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）证：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）存在；
理由：∵矩形且点B的坐标为，
∴，；
设
∴，
∴，
当四边形是菱形时，
则，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
设直线的解析式为：；
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）由（2）知，
设，
∴，
，
当时，，解得：，
此时，
∴，此时点与点重合，不合题意，故舍去；
当时，，解得：，（舍去），
此时，，
∴；
当时，，解得：，
此时，，
∴；
综上可得：或．
【点睛】本题综合考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理及其逆定理等内容，同时涉及到了解一元二次方程等知识，本题综合性较强，要求学生具备一定的综合分析能力和计算能力，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
22. 把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时，＝ ．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）8；（2）不会改变，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意易证得，然后由相似三角形的性质即可求得答案；
（2）不会改变，关键还是证，已知一组角，再证明，由此可证得两三角形相似，因此结论不变；
（3）首先可得当，即时，，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，再根据即可求得答案．
【详解】解：（1），，
．
．
，
，斜边中点为，
，
；
故答案为：8；
（2）的值不会改变，理由如下：
在与中，，
∴，
∵，
∴，
，
．
．
；
∴的值不会改变；
（3）当，即时，，
此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
，
由（2）知：，
∴，
则
，
与的函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及反比例函数等知识的综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用．
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