精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

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2021-2022学年广东省深圳市龙岗区宏扬学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1. 某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（　　）A. 150 B. 100 C. 50 D. 200【答案】A【解析】【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，设有草鱼x条，根据题意得：＝0.5，解得：x＝150，故选：A．【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．2. 书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝＝．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．3. 下列说法错误的是（ ）A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（　　）A. 18° B. 19° C. 20° D. 40°【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．5. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点，下列条件中，不能判断四边形是菱形的是（  ）A.  B.  C. 平分 D. 【答案】B【解析】【分析】由点E，F分别是OA，OC的中点得出OF=OE，证出四边形EBFD是平行四边形，添加AC⊥BD时，得出四边形BEDF是菱形，A正确；添加AC平分∠BAD，得出∠DAC=∠BAC，证出BE=DE，因此四边形EBDF是菱形，选项C正确； 添加AB=AC，可证得BE=BF，则四边形EBDF是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF= OA=OC， ∴四边形EBDF是平行四边形， 添加AC⊥BD时， ∴四边形EBFD是菱形，选项A正确； 添加AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=AB=BC， 在和中，， ∴（SAS）， ∴BE=DE， ∴四边形EBFD是菱形，选项C正确； 添加AB=BC时， ∴∠BAE=∠BCF， 点分别是的中点，四边形ABCD是平行四边形， 在和中,， （SAS）， ∴BE=BF， ∴四边形EBFD是菱形，选项D正确； 只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形； 故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定是关键．6. 矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）A.  B.  C. ﹣ D. 2﹣【答案】D【解析】【分析】根据题意由矩形的性质得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，
∴∠BAM=∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=2，
∴CM=，
∴DM=CD-CM=2-.故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质和等腰三角形的判定以及平行线的性质和勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键．7. 已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（　　）A. 3 B. 5 C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．【详解】解：∵，当时，∴，当时，，为有理数，的最小值为故选A【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．8. 用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　）A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝【答案】C【解析】【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．【详解】解：判别式故选：C【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．9. 方程x2﹣5x﹣6＝0左边化为两个一次因式的乘积为（　　）A. （x﹣5x）（x﹣3）＝0 B. （x﹣2）（x+3）＝0C. （x﹣1）（x+6）＝0 D. （x+1）（x﹣6）＝0【答案】D【解析】【分析】使用因式分解法对方程的左边进行等价变形即可．详解】解：∵，，∴．∴．故选：D．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键．10. 某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x元，月销售利润可以表示为（　　）A. （x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元 B. （x﹣40）（10x﹣500）元C. （x﹣40）（500﹣10x）元 D. （x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元【答案】D【解析】【分析】由题意直接利用每千克利润×销量=总利润，进而即可得出代数式．【详解】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润=（x-40）[500-10（x-50）]．
故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题抽象出二次函数，理解题意并正确表示出销量是解题的关键．二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）11. 把方程配方，化为的形式为________．【答案】【解析】【分析】先把常数项－6移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．【详解】解：，，，，，∴一元二次方程2x2－x－6＝0化为的形式是：．答案为：．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．【答案】﹣3【解析】【详解】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13. 有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为_____．【答案】 【解析】【分析】设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；【详解】设其中一双鞋分别为a，a′．画树状图得：∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：．故答案为．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______．【答案】10%【解析】【分析】设降价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解．【详解】解：设降价百分率为x，列方程：40（1﹣x）2＝32.4．解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．15. 图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD面积和等于_____．
 【答案】12【解析】【分析】过点A作交CD于点F，过点D作交AC于点G．根据菱形的性质确定AD和CD的长度，然后根据等腰三角形的性质确定AG的长度，再结合勾股定理确定DG的长度，再根据三角形面积公式确定AF的长度，即直线AB与直线CD之间的距离．再根据三角形面积公式和乘法分配律即可求出阴影部分的面积．【详解】：如下图所示，过点A作交CD于点F，过点D作交AC于点G．
 ∵四边形ABCD为菱形，AB=5，∴AD=CD=AB=5．∵，AC=6，∴AG=CG=3．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴直线AB与直线CD之间的距离为．∵点E是直线AB、CD之间一点，∴设点E到直线AB的距离为，点E到直线CD的距离为．∴．∴S阴．故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．三、解答题（本题有7小题，共55分）16. 按要求解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）x2﹣1＝2x+2（因式分解法）．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）先化一般式，再根据公式法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．【详解】解：（1）整理得∴∴ ，  （2） 整理得∴ ∴或∴，．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知公式法与因式分解法的运用．17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证：▱ABCD是菱形．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA，进而利用菱形的判定证明即可．【详解】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，∴∠CFB＝∠AEB＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC＝BA∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形．【点睛】此题考查菱形的判定，关键是根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA．18. 在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字,,，乙口袋中的小球上分别标有数字,,，从两口袋中分别各摸一个小球.求摸出小球数字之和为的概率【答案】【解析】【分析】画树状图展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解．【详解】解：利用树状图表示为：由树状图可知，共有种情况，每种情况的可能性相等.摸出的两个小球数字之和为有种情况.（数字之和为）.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．19. 平行四边形 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；    （2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DF=5，求矩形BFDE的面积．【答案】（1）详见解析；（2）20【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）由平行线和角平分线定义得出∠DFA=∠DAF，证出AD=DF=5，由勾股定理求出DE==4，即可得出矩形BFDE的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形（2）解：∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠DFA， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∴∠DFA=∠DAF， ∴AD=DF=5，∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．20. 已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程，即可得出答案；（2）根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行计算即可得出结果．【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：把x=﹣1代入方程得，(a+b)－2c+(b－a)=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=（2c）2－4（a+b）(b－a)，∴a2+ c2= b2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关概念，熟知一元二次方程根的判别式对应的根的情况是解本题的关键．21. 用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？【答案】（1）长方形的长为5m，宽为1m；（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）设长方形的宽为xm，而长方形的周长为12，由此得到长为（12-2x）=（6-x）m，由于长方形的面积为5m2，由此列出方程x（6-x）=5，根据x≤6－x， 即可求解；（2）由于长方形的面积为10m2，由此列出方程x（6-x）=10，判断方程的根的情况即可求解；．【详解】解：(1)设长方形的宽为xm，则长为（12-2x）= (6－x)m，根据题意得x(6－x)=5，解得：x1=5，x2=1，又x≤6－x，∴x1=5 (舍去)．∴ 当长方形的宽为1m，长为(6－x)m=5m时，面积为5m2．（2）当面积为10 m2时，x(6－x)=10，即x2－6x＋10=0，此时Δ=36－40<0，故此方程无实数根，∴这样的长方形不存在．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22. 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC.（1）求证：ABCD是正方形.（2）EOB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用菱形的对角线平方每组对角即可求解证明；（2）根据已知条件证得△ECO≌△FDO，即可得证.【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∠BAD=2∠DAC, ∠ABC=2∠DBC ;   ∴∠DAB+∠ABC=180°;   ∵∠DAC=∠DBC;∴∠BAD=∠ABC,               ∴2∠BAD=180°;   ∴∠BAD=90°;   ∴四边形ABCD是正方形.    （2）证明：∵四边形ABCD是正方形；∴AC⊥BD,AC=BD,CO=AC，DO=BO∴∠COB=∠DOC=90°，CO=DO ∵DH⊥CE，垂足为H；∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH=90°又∵∠ECO+∠DEH=90°∴∠ECO=∠EDH∴△ECO≌△FDO；  ∴.【点睛】此题主要考查正方形的性质证明，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质.