精品解析：广东省深圳市南山区2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题

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2021—2022学年度第一学期九年级10月份学情调查
数学学科
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据比例的性质逐项分析即可；
【详解】A．由交叉相乘得：，与题干不符，故A错误．
B．由交叉相乘得：，与题干一致，故B正确．
C．由交叉相乘得：，与题干一致，故C正确．
D．由交叉相乘得：，与题干一致，故D正确．
故选A．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）．
2. 用配方法将x2﹣8x＋5＝0化成（x＋a）2＝b的形式，则变形正确的是（ ）
A. （x﹣4）2＝11 B. （x﹣4）2＝21 C. （x﹣8）2＝11 D. （x＋4）2＝11
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法将方程配方即可，二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可
【详解】x2﹣8x＋5＝0

即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
3. 九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图求解即可．
【详解】解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为、、、，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，
恰好抽到小华和小明的概率为，
故选：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用平行四边形的性质以及矩形的性质与判定方法分析得出即可.
【详解】解：A、平行四边形的两组对边分别相等，正确，不合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是偶像四边形，正确，不合题意；
C、矩形的对角线相等，正确，不合题意；
D、对角线相等的四边形是矩形，错误，等腰梯形的对角线相等，故此选项正确.
故选D.
“点睛”此题主要考查了命题与定理，正确把握矩形的判定与性质是解题的关键.
5. 已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＜1 B. m＞1 C. m＜1，且m≠0 D. m＞1，且m≠0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式进行解答即可得．
【详解】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：m＜1且m≠0，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是要熟记一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)

A. 4 B. 8 C. 6 D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】解：设AG与BF交点为O，
∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，
∴∠BAO=∠FAO，
∴△ABO≌△AFO（SAS），
∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，
∵AB=5，
∴，
∵AF∥BE，
∴∠FAO=∠BOE，
又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴AO=EO，
∴AE=2AO=8，
故选B．


【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．

7. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵ ，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
8. 九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．
【详解】解：设全组共有名同学，那么每名同学送出图书是本；
则总共送出的图书为；
又知实际互赠了132本图书，
则．
故选：B．
【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．
9. 定义：是一元二次方程的倒方程，下列四个结论中，错误的是（ ）
A. 如果是的倒方程的解，则
B. 如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C. 如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解
D. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解，根的判别式分别判断即可．
【详解】解：A 、倒方程是c＋2x＋1＝0，将x＝2代入，，故A正确；
B、∵ac＜0，∴−4ac＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
C、∵无解，∴4−ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4−ac＜0，∴它的倒方程也无解，故C正确；
D、若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，根据判别式判断一元二次方程的解是解题的关键．
10. 如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动(不与点，重合)，同时点从点出发沿着线段向点运动(不与点，重合)，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论：

①是定值；
②平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是
其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③
C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出AF⊥BE，即可判断①；②假设BF平分∠AFC，则角平分线的性质得到BG=BC，则BG=AB，又由∠BGA=90°，得到AB＞BG，由此即可判断②；③先利用勾股定理求出BF的长，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解；④根据△BAE≌△ADF，即可得到S四边形GEDF，然后根据时，得到，再由即可得到，则．
【详解】证明：∵E在AD边上(不与A，D重合)，点F在DC边上(不与D，C重合)，
又∵点E，F分别同时从A，D出发以相同的速度运动，
∴AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴∠1=∠2，
∵，
∴ 即，
∴即∠BGF是定值，故①正确；

假设BF平分∠AFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥FC，BC=AB
∵BG⊥AF，
∴BG=BC，
∴BG=AB，
又∵∠BGA=90°，
∴AB＞BG，
∴假设不成立，
∴②不正确；
③当E运动到AD中点时，则F运动到CD中点，
∴，
∴，
∵∠BGF=90°，H为BF的中点
∴，故③正确；
④∵△BAE≌△ADF，
∴
∴S四边形GEDF
∴当时，，
∵，
，
∵，
∴S四边形GEDF =故④正确；
故选C．
【点睛】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题(每题3分，共15分)
11. 已知，那么______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据合比性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例的性质，主要考查等比性质，若，则．
12. 某地区为估计该地区的绵羊只数，先捕捉20只绵羊给它们分别做上记号，然后放还，待有标记的绵羊完全混合于羊群后第二次捕捉40只绵羊，发现其中有2只有记号，从而估计这个地区有绵羊______只．
【答案】400．
【解析】
【分析】设这个地区有绵羊x只，根据第二次捕捉40只绵羊，其中有2只有记号，即可列方程求解.
【详解】设这个地区有绵羊x只，由题意得

解得
则估计这个地区有绵羊400只．
考点：本题考查的是用样本估计总体
点评：解答本题的关键是读懂题意，得到第二次捕捉的绵羊中有记号的占全部有记号的比例.
13. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则_______．

【答案】12
【解析】
【分析】根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解．
【详解】解：、分别为、的中点，
．
四边形是矩形，
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，熟悉相关性质是解题的关键．
14. 一元二次方程的两根为、，则的值是_______．
【答案】-2
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出m2+4m-2=0，m+n=-4，将所求式子变形后，把各自的值代入即可求出值．
【详解】解：∵一元二次方程x2+4x-2=0的两根为m、n，
∴m+n=-4，m2+4m-2=0，即m2+4m=2，
则m2+5m+n=（m2+4m）+（m+n）=2-4=-2．
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
15. 如图，在中，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，则的最小值为________．


【答案】
【解析】
【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．
【详解】解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．


在中，依据勾股定理可知，
，
，
∵AE平分，
∴∠EAF=∠EA，
∵，AE=AE，
∴△EAF≌△EA，
∴，
∴，
当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题．
三、解答题(共55分，其中16题12分，17题5分，18题7分，19题7分，20题7分，21题8分，22题9分)
16. 解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【解析】
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解的方法解方程即可；
（3）直接利用平方差公式进行解方程即可；
（4）利用公式法解方程即可．
【详解】解：（1）∵，
∴即，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，；
（3）∵，
∴，
∴即，
∴，；
（4）∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
17. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图，
各年级参赛作文篇数统计图

请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇：
（2）图中： ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 ；
（3）把条形统计图补充完整：
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【答案】（1）100篇；（2），；（3）见解析；（4）．
【解析】
【分析】（1）根据七年级的篇数以及百分比，求出总篇数即可；
（2）先求出八年级的篇数，再计算百分比即可；有总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；
（3）求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；
（4）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．利用列表法画出图形即可解决问题．
【详解】解：（1）
参赛作文的篇数共100篇；
（2）八年级的篇数为：篇
，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为
（3）由（2）知，八年级的篇数为45篇，补全条形图如图所示：

（4）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
列表如下：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
AB

BC
BD
C
AC
BC

CD
D
AD
BD
CD

由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的有6种结果，
∴七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率为．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
18. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若=﹣1，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2>0，
解得：k>﹣；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；
（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．
19. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝，
∵，
∴AH＝，
∵点E是BC中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，
∴EF＝AH＝．
【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．
20. 某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元?
【答案】（1）平均下降率为10%；（2）单价应降低15元．
【解析】
【分析】（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低y元，根据题意可得每天的销售量为(20+2y)件，然后根据题意可列方程求解．
【详解】解：（1）设平均下降率为x，由题意可得：
200(1−x)2=162，
解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），
∴x=0.1=10%，
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低y元，根据题意可得：
(200−162−y)(20+y)=1150，
解得：y1=13，y2=15，
根据题意，为了减少库存，所以应该降低15元，
答：单价应降低15元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
21. (1)对于任意实数和，都有，，于是得到，当且仅当时，等号成立．
(2)任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则．如：，等．
例：已知，求证：．
证明：，
，当且仅当时，等号成立．
请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙(墙足够长)，另外三边用篱笆围成(如图所示)．设垂直于墙的一边长为米．

(1)若所用的篱笆长为米，那么：
①当花圃的面积为平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米?
②设花圃的面积为，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大?并求出这个最大面积；
(2)若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米?
【答案】（1）①垂直于墙的一边的长为6米或12米；②当垂直于墙的一边的长为9米时，这个花圃的面积最大，最大面积为；（2）需要用的篱笆最少是40米．
【解析】
【分析】（1）①根据题意可得平行墙的一边的长为米，则由长方形面积公式可得，然后解方程即可；
②根据长方形面积公式可得，然后利用二次函数的性质进行求解即可；
（2）设需要的篱笆长度为L米，平行于墙的一边的长为y米，则由题意可得，然后根据题目所给的不等式进行求解即可．
【详解】解：（1）①∵垂直墙的一边长为x米，
∴平行墙的一边的长为米，
∴，
∴，即，
解得或，
∴垂直于墙的一边的长为6米或12米；
答：垂直于墙的一边的长为6米或12米；
（2）由题意得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为162，
∴当垂直于墙的一边的长为9米时，这个花圃的面积最大，最大面积为；
（2）设需要的篱笆长度为L米，平行于墙的一边的长为y米，
由题意得：，
∴，
∴需要用的篱笆最少是40米，
答：需要用的篱笆最少是40米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，完全平方公式的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，将沿直线折叠，使点落在点处．

（1）求点的坐标．
（2）若点沿射线运动，连接，当与面积相等时，求直线的解析式．
（3）在（2）的条件下，当点在第一象限时，沿轴平移直线，分别交，轴于点，，在平面直角坐标系中，是否存在点）和点，使四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，，．
【解析】
【分析】(1)先分别算出A、B的坐标，再根据勾股定理得出BH的长度，从而OC的长度即可得出C点坐标；
(2)分两种情况讨论：①点D在第一象限时，②点D在第二象限时；
(3)设直线平移后的解析式为，得到，，过点作轴于，过点作轴于，可以得到，即可得出结果．
详解】解：(1)直线分别交、轴于、两点，
则点、的坐标分别为：、，
设直线与轴交于点，
则，
则，
则
故答案为：．
(2)①点在第一象限时，

∵与面积相等，
∴，
∴点的纵坐标为3，
当时，，
解得：，
∴点的坐标动．
∴直线的解析式为：．
②点在第二象限时，，

设点到轴的距离为，
则，

，
∴与面积相等，
∴，
解得，
∴点的横坐标为－3，
当时，，
∴点的坐标为，
∴直线的解析式为：，
故直线得解析式为或．
(3)设直线平移后的解析式为，
令，则，
解得，
令，则，
所以，，
过点作轴于，过点作轴于，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
，．
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，．
故存在点和点，使四边形为正方形．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与几何综合，正确利用一次函数的知识点是解题的关键．