精品解析：广东省深圳市光明实验学校、公明中学、光明二中、勤诚达学校、凤凰实验学校2022-2023学年九年级上学期11月联考数学试卷

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光明实验学校、公明中学、光明二中、勤诚达学校、凤凰实验学校2022-2023学年第一学期九年级11月联考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图：
A图：正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，符合题意；
B图：圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
C图：圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
D图：球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．
故选A．
考点：简单几何体的三视图．
2. 同时抛掷两枚均匀的硬币，落地后两枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有4种等可能的结果，然后根据概率公式求解两枚硬币都是正面朝上的概率即可．
【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是明确题意，可以写出所有的可能性，并会用概率公式进行计算．
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故选B．

4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行且相等 B. 邻角互补
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．
【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　）
A. y＝（x﹣1）2+2 B. y＝（x﹣1）2﹣2 C. y＝（x+1）2﹣2 D. y＝（x+1）2+2
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
6. 反比例函数图像上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图像与性质，在轴中任取，从而对应到函数图像上相应的点，，，进而对应到轴上相应的值，得到，，的大小关系．
【详解】解：反比例函数图像上有三个点，，，其中，
先在轴上标出各点纵坐标，作图如下：

过这三个点向轴作垂线，并找到垂线与图像的交点，过交点作轴垂线，作图如下：

，
故选：C．
【点睛】本题考查利用反比例函数图像与性质比较自变量大小，熟练掌握作图法比较自变量或函数值大小是解决问题的关键．
7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8. 如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）

A. x＜﹣2或0＜x＜1 B. x＜﹣2 C. 0＜x＜1 D. ﹣2＜x＜0或x＞1
【答案】D
【解析】
【分析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
9. 如图，抛物线过点，对称轴为直线，给出结论：①；②；③若点、为抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的序号是（　　）

A. ①②④ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像与性质，从五个方面：①开口方向向下；②对称轴，或；③与轴交点纵坐标；④与轴交点情况；⑤最值（顶点坐标）；得到结论后再逐一判断：①正确；②正确；③根据二次函数增减性，图像开口向下，当时，随的增大而增大，由于，则，③正确；④，结合得到，从而，④错误；⑤根据，得到，⑤正确，从而确定答案．
【详解】解：根据函数图像知：
①开口方向向下，；
②对称轴，则或；
③与轴交点纵坐标；
，，，①正确；②正确；③根据二次函数增减性，图像开口向下，当时，随的增大而增大，由于，则，③错误；④，将代入，从而，④错误；⑤根据，得到，⑤正确，
综上可知正确的有①②⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及开口方向、对称轴、增减性、判断式子大小、确定式子正负等，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④若，则．其中正确的个数有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质，①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④的正确．
【详解】解：由题意得：，为的平分线，
，，
，
为等边三角形，
为的垂直平分线，
，故①的结论正确；
为等边三角形，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
垂直平分线段，故②的结论正确；
，，
，
．
，
，
，故③的结论错误；
，，
，
，再加上，
，
是等边三角形，
，故④的结论错误，
综上所述，结论正确的有①②，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 若＝，则的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为4.
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 设、是方程的两个实数根，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用“两根之和等于”，可求出的值．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
13. 如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为_____．

【答案】##
【解析】
【分析】首先根据直线经过点A，设A(a，a)，再利用勾股定理算出，进而得到，再利用菱形的面积公式计算出a的值，进而得到A点坐标，进而得到B点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数表达式．
【详解】∵直线y=x经过点A，
∴设A(a，a)，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵菱形OABC的面积是，
∴，
∴a=1，
∴，
∴，
设反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
故答案为：
【点睛】考查反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
【详解】解：如图：连接，

由题意得：
，
∴，
在中，，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图，已知在Rt△中，，点是线段上一点，连接，点是外一点，连接、，若，，，且满足，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】延长，过点作延长线于，根据在中，，，确定四边形是正方形，题中，得到正方形边长为， ，根据，设，则在中，，，，根据勾股定理得，即，解得，过点作于，根据在Rt△中，，得到，结合，确定，则，由于为等腰直角三角形，，得到，从而，解得，得到，进而利用梯形面积公式和三角形面积公式，结合求出结果即可．
【详解】解：延长，过点作延长线于，过点作于，如图所示：

，，，
四边形正方形，
在Rt△中，，，则，正方形边长为，
设，
，
在中，，，，根据勾股定理得，解得，即，
是正方形对角线，
，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
，解得，从而，




，
故答案为：．
【点睛】本题考查间接方法求三角形面积，涉及正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式和三角形面积公式，根据题意，准确作出辅助性，熟练运用相关判定与性质是解决问题的关键．
三．解答题（共55分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先计算零指数幂， 负整数指数幂，特殊角三角函数值和化简二次根式，最后根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）原式

．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 如图，小王将一个可转动的圆形转盘分成三个大小相同的扇形，分别标上字母，，，然后转动转盘，并观察转盘停止后指针的位置（当指针指在分界线上时重转）．

（1）填空：小王任意转动转盘一次，指针停在标有字母的扇形内的概率是　　；
（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求两次指针都停在标有字母的扇形内的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可得到答案；
（2）画树状图，得到所有可能结果，共有9种等可能的结果，两次指针都停在标有字母的扇形内有1种，利用概率公式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：小王任意转动转盘一次，指针停在标有字母的扇形内的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，小王两次指针都停在标有字母的扇形内的结果有1个，
∴小王两次指针都停在标有字母B的扇形内的概率为．
【点睛】本题考查一步概率及二步概率问题，读懂题意，掌握概率公式及列举法求二步概率是解决问题的关键．
18. 已知二次函数．

（1）请直接写出该二次函数的顶点式：_____________；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；
（3）根据图像回答问题：当时，的取值范围是___________．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据配方法将二次函数一般式化为顶点式；
（2）根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图像；
（3）根据二次函数图像与性质，求出当时，；当时，；从而得到答案．
【小问1详解】
解：


，
该二次函数的顶点式为；
小问2详解】
解：列表如下：
x
..．
﹣1
0
1
2
3
..．
y
..．
0
3
4
3
0
..．
描点、连线，如图所示：
【小问3详解】
解：由函数图像可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及将二次函数一般式化为顶点式、作二次函数图像及已知自变量范围，利用二次函数图像求函数值等，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
19. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米
【解析】
【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．
【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，

由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，
∴四边形BMEN为矩形，
∴NE=BM=5米，BN=ME，
在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
【点睛】
本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
20. 2022年冬奥会期间，某奥运经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，每件进价50元，当每件90元售出时，平均每天可售出20件，一段时间以后，为了尽快销售完库存，增加盈利，经销商决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降2元，平均每天可以多售出4件．
（1）若降价后，商场销售这批文化衫每天盈利1200元，单价降了多少元？
（2）当文化衫的单价定为多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）单价降了10或20元
（2）当文化衫单价定为75元时，才能使每天的利润最大，最大利润是1250元
【解析】
【分析】（1）根据问题设单价降了元，由商场销售这批文化衫每天盈利1200元，列方程求解即可得到答案；
（2）根据题意得到每天利润，根据二次函数图像与性质确定当时，有最大值，最大值为，从而得到答案．
【小问1详解】
解：设单价降了元，则，
，即，解得或，
答：单价降了10或20元；
【小问2详解】
解：设每天利润为元，则


，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当文化衫的单价定为元时，才能使每天的利润最大，最大利润是元，
答：当文化衫的单价定为元时，才能使每天的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题、二次函数解实际应用题，读懂题意，找准关系正确得到一元二次方程及二次函数，根据十字相乘法解方程，由二次函数图像与性质求最值是解决问题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3

（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．
【答案】（1）b=5，k=6
（2）不，理由见详解
【解析】
【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
∴b=5，k=6；
【小问2详解】
解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，

由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
∴点，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为，
∴点C的横坐标为，
∴点C坐标为，
∴CF=4，OF=1，
∴，，
由旋转的性质可得：，
根据等积法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，的值为 ；
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，．求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，证明结论；
（4）过点作于点，连接交于点，与相交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可．
【小问1详解】
解：设与交于点，如图1：

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，即；
【小问2详解】
解：设与交于点，如图2：

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
证明：过点作交的延长线于点，如图3：

，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问4详解】
解：过点作于点，连接交于点，与相交于点，如图4：

，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，设，则，
，
，
或（线段长的负值舍去），
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．