新高考物理三轮冲刺练习热点03 等效法（含解析）

热点03  等效法

利用等效思想，可以讲复杂问题简单化。例如利用平衡推理求多力合力，利用等效长度求解弯曲导线受到的安培力，求单摆的等效摆长，复合场中单摆做简谐运动时的等效重力加速度，等效法求解变力的功，带电小球在电场和重力场中可以看成等效重力场，等效电路、等效电源等问题。

例题1. 如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度

B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为

C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小

D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大

【答案】B

【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球进行受力分析，如图所示

由平衡关系可知

解得

故A错误；

B．小球静止时细线与竖直方向成角，则A点为小球绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等效最高点

A点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知

动能

联立解得

故B正确；

C．由机械能守恒定律可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即电场力做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C错误；

D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做负功后做正功，所以电势能先变大后变小，故D错误。

故选B。

例题2. （多选）将一带正电的小球用同一根绝缘细线先后悬挂于匀强电场和匀强磁场中，如图所示，电场的方向竖直向下，磁场的方向垂直纸面向外。小球偏离竖直方向相同角度由静止释放，均能在竖直面内来回摆动（绳子始终处于张紧状态），下列关于小球在摆动过程中的说法正确的是（　　）

A．小球在电场中的摆动周期小于在磁场中的摆动周期

B．小球在电场中的最大速度值大于在磁场中的最大速度值

C．无论在电场还是磁场中，小球位置越低细线上张力越大

D．无论在电场还是磁场中，小球在摆动过程中机械能守恒

【答案】AB

【解析】A．小球在电场中所受电场力和重力都竖直向下，可将二者合成为“等效重力”，则等效的重力加速度为

设绳子长度为，小球运动的周期为

由左手定则可知，小球在磁场中所受洛伦兹力的方向始终沿着细线的方向，洛伦兹力不提供单摆的回复力，小球运动周期为

由可知，小球在电场中的周期小于在磁场中的周期，选项A正确；

B．在电场中，仅有“等效重力”做功，当小球从最高点释放到达最低点的过程，小球下降的高度最大，做功最多，由动能定理可知，小球到达最低点时动能最大，即小球在最低点时速度最大，则有

解得

在磁场中，洛伦兹力对小球不做功，仅有重力做功，当小球从最高点释放到达最低点的过程，小球下降的高度最大，做功最多，由动能定理可知，小球到达最低点时动能最大，即小球在最低点时速度最大，则有

解得

因，故，即小球在电场中的最大速度大于在磁场中的最大速度，选项B正确；

C．在电场中的任意位置，设绳子与竖直方向的夹角为，小球所需向心力是由绳子张力和“等效重力”沿绳子方向的分力提供，即

可得绳子张力大小

由此式可知，在小球下摆的过程，小球位置越低，即越小、越大，由上式可知，绳子张力越来越大；小球在最低点时且速度最大，此时绳子张力达到最大值。在磁场中，假设小球在位置1、2高度相同，如图所示：

小球摆动过程中洛伦兹力始终不做功，根据机械能守恒定律可知小球在1、2位置速度大小相同。由左手定则可知小球在位置1所受洛伦兹力方向与细线张力方向相反，在位置2所受洛伦兹力方向与细线张力相同，由牛顿第二定律有

对比上述两式可知

小球从位置2向最低点运动过程中，选取一个略低于位置2的位置，定为位置3，则小球在位置3时细线张力与接近，仍然可能存在关系，由此可知，在磁场中，小球位置越低细线上张力不一定越大，选项C错误；

D．在电场中，小球从最高点向最低点摆动过程中，电场力做正功，小球机械能增大，从最低点向最高点摆动过程中，电场力做负功，小球机械能减小，由机械能守恒的条件可知，小球的机械能不守恒；在磁场中，细线张力不做功，洛伦兹力也不做功，小球在摆动过程中机械能守恒，选项D错误。

故选AB。

1．等效法在运动学中的应用

由于合运动与分运动具有等效性，所以平抛运动可看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，此外，轨迹完整的斜上抛运动可等效成从最高点沿两个相反方向的平抛运动．

2．等效重力法在复合场中的应用

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中典型的题型，对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大．若采用“等效重力法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简洁．“等效重力法”的解法是：先求出带电粒子所受重力和电场力的合力，将这个合力视为粒子受到的“等效重力”，将a＝视为“等效重力加速度”，再将粒子在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可．求解的关键是找出等效最高点和等效最低点，将等效重力平移到圆心，等效重力延长线与圆的两个交点就是等效最高点和等效最低点．

3．等效电源法在电路中的应用

(1)如图甲所示，把电源和定值电阻串联后看作一个等效电源，则等效电源电动势与原电源电动势相等，即该等效电源电动势为E′＝E，等效电源内阻大小为原电源内阻与串联定值电阻之和，即该电源的等效内阻为r′＝R1＋r.

(2)如图乙所示，把定值电阻接在电源的两端时，等效电源电动势为定值电阻和原电池内阻串联时定值电阻分到的电压，即该等效电源电动势为E′＝UAB＝E；等效电源内阻为原电源内阻和定值电阻并联后的总电阻，即该电源的等效内阻为r′＝.

4.用等效长度计算动生电动势和安培力大小

在电磁感应中，闭合电路中的一部分导体做切割磁感线运动将产生感应电动势，对于一些弯曲导体在磁场中做切割磁感线运动，我们可以把弯曲导体等效为沿垂直运动方向的直导体．

5．等效电阻法在变压器问题中的应用

如图甲所示，图中虚线部分可等效为一电阻R′，等效电阻R′＝2R，如图乙所示．这个结论在讨论交流电路动态变化问题时特别方便快捷，下面作一简单分析．

设原线圈两端的电压为U1，则副线圈两端的电压U2＝U1，那么副线圈中的电流I2＝＝，由此得到原线圈中的电流I1＝I2＝2，那么等效电阻R′＝＝2R.

（建议用时：30分钟）

一、单选题

1．如图所示，从距离墙壁为l的水平地面上的A点，以初速度、抛射角斜向上抛一球，球恰好在上升到最高点时与墙相碰，被水平反弹回来，落到地面上的C点，且，则小球被墙反弹的速度的大小与初速度的大小之比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将小球看成从B向A运动，则为平抛运动，可见从B到A的运动与从B到C的运动，高度相等，由

可见二者下落时间t相同，水平方向B到C的位移为B到A位移的一半，即

解得

故选D。

2．如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一可视为质点的质量为m、电荷量为q的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得沿切线方向的初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法不正确的是（    ）

A．小球带负电，且匀强电场的电场强度

B．小球做圆周运动过程中速度的最小值

C．小球从静止位置开始至其在竖直平面内运动一周的过程中，机械能先减小后增大

D．小球从静止位置运动至圆周轨迹最高点的过程中动能逐渐减小，电势能先减小后增大

【答案】C

【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成角，由平衡条件可知电场力水平向右，与场强方向相反，小球带负电，有

解得

故A正确；

B．小球恰能绕O点在竖直面内做圆周运动，在等效最高点A点速度最小，如图所示

根据平衡条件得

解得

故B正确；

C．小球从静止位置开始至其在竖直平面内运动一周的过程中，小球的机械能和电势能之和守恒，小球电场力先做正功后负功后再做正功，则电势能先减小后增大再减小，机械能先增大后减小再增大，故C错误；

D．小球从静止位置至圆周轨迹最高点的过程中，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，由圆周运动规律知，小球在等效最高点A点速度最小，动能最小，小球从静止位置至圆周轨迹最高点的过程中，小球动能逐渐减小，故D正确。

故选C。

3．如图所示电路中，电源内阻不能忽略，电流表、电压表均视为理想电表，滑动变阻器总阻值足够大；当滑动变阻器滑片从左端向右滑动时，下列说法中正确的是（　　）

A．电流表A示数减小

B．电压表V1、V2示数减小

C．电压表V3示数变化的绝对值与电流表示数变化的绝对值之比为R

D．滑动变阻器消耗的电功率先减小后增大

【答案】A

【解析】A．将R1、R3、E视为一个等效电源（E1、r1），如图虚线框所示

由闭合电路欧姆定律有

R增大时，I减小，电流表A示数减小，故A正确；

B．电压表V1的示数为电源E的路端电压，R增大时，外电阻增大，干路电流减小，由闭合电路欧姆定律有

可知电压表V1示数增大；由于电流表的示数减小，即流过R2的电流减小，所以R2两端的电压减小，即V2减小，故B错误；

C．将除R外的其余部分视为等效电源（E2、r2），则有

所以

而不是R，故C错误；

D．R消耗的功率即等效电源（E2、r2）的输出功率，由P出-R外函数规律可知，R从0逐渐增大到r2过程中，P逐渐增大；R=r2时，P最大；R继续增大，P减小，故D错误。

故选A。

4．如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向水平向右的匀强磁场。现将一段圆弧形导线ab竖直置于磁场中，圆弧的圆心为O点，半径为R。当导线中通以从a到b的恒定电流I时，通电导线受到的安培力（　　）

A．大小为 B．大小为

C．方向垂直纸面向外 D．方向垂直ab向下

【答案】A

【解析】AB．根据安培力的计算式

L为有效长度，a到b的连线长度

解得

故A正确，B错误；

CD．圆弧形导线等效于a到b的直线段，电流由a到b，由左手定则知安培力的方向垂直纸面向里，故CD都错误。

故选A。

二、多选题

5．氢原子核外只有一个电子，它绕氢原子核运动一周的时间约为，则下列说法正确的是（　　）

A．电子绕核运动的等效电流为

B．电子绕核运动的等效电流为

C．等效电流的方向与电子的运动方向相反

D．等效电流的方向与电子的运动方向相同

【答案】AC

【解析】根据电流的定义式

得等效电流为

等效电流的方向与电子的运动方向相反。

故选AC。

6．如图甲所示为某一理想变压器，原线圈接入如图乙所示的正弦交流电源，R0为定值电阻，R为滑动变阻器，图中各电表均为理想电表，t=0时刻滑片处于最下端，下列说法正确的是（　　）

A．在t=0时刻，电流表A2的示数不为0

B．滑片向上移动过程中，电压表V1和V2的示数不变，V3的示数变大

C．滑片向上移动过程中，电流表A1示数变小，滑动变阻器R消耗的功率变大

D．滑片向上移，V3示数的变化量与A2示数变化量的比值不变

【答案】ABD

【解析】A．电流表测量的是交流电的有效值，而不是瞬时值，故在t=0时刻，电流表A2的示数不为0，故A正确；

B．理想变压器的输出电压是由输入电压和匝数比决定的，由于输入电压和匝数比不变，故电压表V1和V2的示数不变，当滑片向上移动时，副线圈电阻变大，电路中的电流减小，定值电阻R0上的电压减小，因此电压表V3的示数变大，故B正确；

C．由于理想变压器的输入功率等于输出功率，副线圈电路中电流减小，结合原副线圈电流与匝数比的关系可知，电流表A1示数变小；在副线圈电路中，定值电阻R0可看作等效内阻，滑动变阻器R可看作外电阻，由于不确定滑动变阻器R与定值电阻R0的大小关系，因此无法判断滑动变阻器R的功率变化，故C错误。

D．电压表V2的示数不变，当滑片向上移动时，V3示数的变化量与A2示数变化量的比值等于，大小不变，故D正确。

故选ABD。

三、解答题

7．在竖直平面内，AB为水平放置的绝缘粗糙轨道，CD为竖直放置的足够长绝缘粗糙轨道，AB与CD通过四分之一绝缘光滑圆弧形轨道平滑连接，圆弧的圆心为O，半径R=2.0m，轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度的大小E=1.0×104N/C，现有质量m=0.10kg，电荷量q=＋4.0×10－4C的带电体（可视为质点），从A点由静止开始向右运动，已知A、B间距为L=6.0m，带电体与轨道AB、CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，假定带电体与轨道之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，g=10m/s2，求：

(1)带电体运动到圆弧形轨道C点时受轨道的支持力大小；

(2)带电体最终停止的位置与C点多远；

【答案】(1)31N；(2)与C点竖直距离为9m处

【解析】(1)设带电体到达C点时的速度为v，从A到C，由动能定理得

在C点，对带电体，由牛顿第二定律得

解得

 (2)设带电体沿竖直轨道CD上升的最大高度为h，从C到D由动能定理得

解得

在最高点，带电体受到的最大静摩擦力

重力

因为

所以带电体最终静止在与C点竖直距离为9m处。

8．在我们解决物理问题的过程中经常要用到“类比法”，这样可以充分利用已有知识快速构建物理模型、找到解决问题的途径。

(1)质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型。与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图(1)。已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）。静电力常量为k。不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q；

(2)如图(2)，用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为-q。悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板。小球在竖直平面内做小角度振动。已知重力加速度为g，不计空气阻力。

a.已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关。请证明∶带电平板所产生的静电场是匀强电场；

b.在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期。

【答案】(1)；(2)a.证明见解析；b.

【解析】(1)根据牛顿第二定律，依据库仑力提供向心力，则有

由几何关系，得

解得

(2)a.反证法

如图所示

若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，电场力做的总功

其中

Wab=qE1xab，Wcd=-qE2xcd=-qE2xab

bc段和da段电场力始终与运动方向垂直，故

Wbc=Wda=0

得

但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故Waa=0。

上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场。

所以，电场线都垂直平板的情况下，都是平行的，必须等间距，所以该静电场是匀强电场。

b.电场力

等效重力加速度

小球在库仑力作用下的振动周期