精品解析：广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2022-2023学年九年级上学期段考数学试卷（12月份）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校九年级（上）段考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是(      )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据主视图是从正面看所得到的图形可直接选出答案．

【详解】解：A. 从正面看到的形状是正方形，故错误；

B. 从正面看到的形状是圆，故正确；

C. 从正面看到的形状是三角形，故错误；

D. 从正面看到的形状是长方形，故错误.

故选B.

【点睛】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力，难度适中．

2. tan45°的值等于（　　）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值求解．

【详解】解：tan45°＝1．

故选D．

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

3. 已知与是位似图形，位似比是：，则与的面积比是（   ）

A. ： B. ： C. ： D. ：

【答案】C

【解析】

【分析】利用为位似的性质得到与相似比是，然后根据相似三角形的性质求解．

【详解】解：与是位似图形，位似比是，

与相似比是，

与的面积比是．

故选：C．

【点睛】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，解题的关键是掌握位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；位似比等于相似比．

4. 同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．

【详解】列表得：

∴一共有36种等可能的结果，两个骰子的点数相同的有6种情况，

∴两个骰子的点数相同的概率=6÷36=．

故选D．

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握列表法和概率公式，是解题的关键．

5. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据，，，是成比例线段得a：b=c：d，再根据比例的基本性质，求得d．

【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，

∴a：b=c：d

∴

∵，，，

∴

故选：A．

【点睛】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解．

6. 点是线段的黄金分割点（），若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据黄金比和，直接求出长即可．

【详解】解：点是线段的黄金分割点，，

，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金分割的定义和黄金比．

7. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】A

【解析】

【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．

【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，

∴sinα=，

∴BC= sinαAB=12 sinα（米），

故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．

8. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．

【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，

∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，

∴，AB∥OD，

∴AB⊥y轴，

∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，

∴，

∴，

解得：．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．

9. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．

【详解】解：如图，连接、．

则：，．

、、都是正方形的对角线，

．

，．

，是直角三角形．

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．

10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（    ）

A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：

①通过证明得到EC=FD，再证明得到∠EAC=∠FBD，从而证明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；

②通过等弦对等角可证明；

③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明得到，代入前式得，最后根据三角形面积公式得到，整体代入即可证得结论正确；

④作EG⊥AC于点G可得EGBO，根据，设正方形边长为5a，分别求出EG、AC、CG的长，可求出，结论错误；

⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用，可证明S四边形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF =S△COD即可证明结论正确．

【详解】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，

∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°

∵

∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°

∴∠DOF=∠EOC

在△DOF与△COE中

∴

∴EC=FD

∵在△EAC与△FBD中

∴

∴∠EAC=∠FBD

又∵∠BQP=∠AQO

∴∠BPQ=∠AOQ=90°

∴AE⊥BF

所以①正确；

②∵∠AOB=∠APB=90°

∴点P、O在以AB为直径的圆上

∴AO是该圆的弦

∴

所以②正确；

③∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

所以③正确；

④作EG⊥AC于点G，则EGBO，

∴

设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，

若，则，

∴

∴

∴

∵EG⊥AC，∠ACB=45°，

∴∠GEC=45°

∴CG=EG=

∴

所以④错误；

⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF

∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD

∵S△COD=

∴S四边形OECF=

所以⑤正确；

综上，①②③⑤正确，④错误，

故选 B

【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 方程的根为_______．

【答案】

【解析】

【详解】解：x（x－3）=0 ，

解得：x1=0，x2=3．

故答案为：x1=0，x2=3．

12. 在中，若，，，则______

【答案】4

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．

【详解】解：

，，

，

故答案为4．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．

13. 点，反比例函数图象上，则______（填“，，”）．

【答案】

【解析】

【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．

【详解】解：，

反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，

又点，在反比例函数图象上，且，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．

14. 如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据相似图形的性质即可求解；

【详解】矩形矩形，

∴，即，

整理得，，

解得，（舍去），，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．

15. 如图，已知菱形的边长为，是的中点，平分交于点，交于点．若，则的长是______．

【答案】##

【解析】

【分析】方法一：过点作于点，过点作于点，根据，可得，所以，然后证明是的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题；

方法二：作垂直于，延长和交于点由已知可得，所以设，则，，由三角形相似于三角形即可得结论．

【详解】解：方法一，如图，过点作于点，过点作于点，

菱形的边长为4，

，

，

，

，

是的中点，

，

，

是的垂直平分线，

，

平分，

，

，

，

，

，

设，

，，

，

，

，

，

，

，

解得，

则的长是．

或者：，，

四边形的等腰梯形，

，

则，

解得，

则的长是．

方法二：如图，作垂直于，延长和交于点，

菱形的边长为4，

，

，

，

是的中点，

，

，

是的垂直平分线，

，

所以，

设，

则，，

，

，

，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握菱形的性质．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），；（2），

【解析】

【分析】（1）根据公式法进行求解一元二次方程；

（2）先将方程进行化简，然后利用配方法进行解一元二次方程．

【详解】解：（1），

，，，

，

，；

（2），

，

，

，．

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法与配方法解一元二次方程是解题的关键．

17. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

【详解】解：原式

．

【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则．

18. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

（1）本次抽查总人数为        ，“合格”人数的百分比为        ．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为        ．

（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为         ．

【答案】（1）50人，；   

（2）见解析    （3）   

（4）

【解析】

【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；

（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；

（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；

（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【小问1详解】

解：本次抽查的总人数为（人，

“合格”人数的百分比为，

故答案为：50人，；

小问2详解】

解：不合格的人数为：；

补全图形如下：

【小问3详解】

解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，

故答案为：；

【小问4详解】

解：列表如下：

由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，

所以刚好抽中甲乙两人的概率为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．

19. 如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）

【答案】这条江的宽度AB约为732米

【解析】

【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长；

【详解】解：如图，∵，

∴，

在中，∵，

∴米，

在中，∵，

∴（米），

∴（米） ，

答：这条江的宽度AB约为732米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含表示出的长．

20. 如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，则的值为_______．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；

（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．

【小问1详解】

证明：，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

四边形是菱形；

【小问2详解】

解：，

设，则，

四边形是菱形；

，，

，

在中，，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．

21. 如图所示，直线与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数相交于点，轴于点，且，点的坐标为．

（1）求双曲线的解析式；

（2）直接写出在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值；

（3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．

【答案】（1）双曲线解析式为   

（2）当时，反比例函数的值大于一次函数的值   

（3）或

【解析】

【分析】（1）把坐标代入直线解析式求出的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出的值，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出双曲线解析式；

（2）根据的横坐标直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．

（3）设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当时，由相似得比例求出的值，进而确定出的值，即可得出坐标．

【小问1详解】

解：把代入中，求得，

，

由，把代入中，得，即，

把代入得：，

则双曲线解析式为；

【小问2详解】

解：，

当时，反比例函数的值大于一次函数的值；

【小问3详解】

解：设，

在上，

，

当时，可得，即，

，即，

整理得：，

解得：或（舍去），

；

当时，可得，即，

整理得：，

解得：或（舍），

．

综上，或．

【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．

22. 如图，中，，点是边上一点，且点不与、重合，于点．

（1）当时，

①观察猜想：线段与线段的数量关系是______；

②当绕点旋转到如图的位置时（）①中的与关系是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．

（2）当时，将绕点旋转到，若，，请直接写出线段的长．

【答案】（1）①；②成立，证明见解析   

（2）线段的长为或

【解析】

【分析】（1）①先根据锐角三角函数求出，进而求出，先判断出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论；②根据和都是直角三角形，得到，进而得到，由，证得，所以，即可得出结论．

（2）分两种情况：①先求出，再求出，进而利用勾股定理求出，得出，最后判断出，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论．

【小问1详解】

解：中，，，

，

，

①如图1，过点作于点，

，

，

四边形是矩形，

即，

在中，，

，

．

故答案为：；

②成立，

理由：和都是直角三角形，

，

，

，，

，

，

，

中，，

，

即；

【小问2详解】

解：，

，

，

，

，，

将绕点旋转，分两种情况：

①如图3所示，过作交的延长线于，

则，

当时，，

，

四边形是正方形，

，

，

根据勾股定理得，，

在中，，

，

和都是直角三角形，且，

，

，，

，

，

，

即，

；

②如图4所示，过作于，

则，

当时，，

，

四边形是正方形，

，

，

，

在中，，

，

，

，

即，

，

综上所述，线段的长为或．

【点睛】本题考查了几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，分两种情况画出图形是解本题的关键．