山东省德州市夏津育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

万隆高二月考详解

1.【答案】 

解：由题意可知，，所以以线段为直径的圆的半径是．故选A．

2.【答案】 

解：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，

则，，，
则，
而，，则，
则，
即．
故选B．

3.【答案】D

解：联立，解得，
把代入，得，，
点到原点的距离，
当且仅当时取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故选D．

4.【答案】 

解：由题意可知，，

因为，，，四点共面，所以存在实数，使

，

所以所以．

故选：．

5.【答案】 

解：由直线的方程为，，化为，
由，则，
又倾斜角的范围为由正切函数的性质可得直线的倾斜角范围是．
故选：．

6.【答案】C

解：若  是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得  ，由空间向量基本定理知，正确；

若两条不同直线，的方向向量分别是  ，  ，则  ，由方向向量的定义知正确；

若  是空间的一个基底，且  ，则，，，四点共面，由空间向量共面定理知，正确；

若两个不同平面，的法向量分别是  ，且  ，  ，易得不成立，所以不成立.

故选：

7.【答案】 

解：由题意可得圆是关于，的阿波罗尼斯圆，

且，则，
设点的坐标为，则，
整理得，，
由已知该圆的方程为，则，解得，
点的坐标为，
，
由图象可知，当点位于或时取得最小值，
且最小值为．
故选：．

8.【答案】 

解：在长方体中，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
则，，，，，
当时，为的中点，，
，显然为平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值
，，故A错误；
当时，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面的一个法向量为，
，
，故B正确；
当时，，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面的一个法向量为，
平面，是平面的一个法向量，
，，
可知二面角的平面角为锐角，
则二面角的余弦值为，故C正确；
设，
，
若，，，
，故D正确；
故选：．

9.【答案】 

解：直线与2都经过原点，而无论为何值，直线2总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线2与另两条直线不平行，所以

10.【答案】 

解：，，
，
设两向量的夹角为，
与夹角为钝角，
，且，
 且，
即的取值范围是．
故选BD．

11.【答案】A 

解：由，得，
联立，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
因为圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于，
所以圆心到直线的距离，解得，故B正确；
曲线：化为标准式，
圆心，半径，
曲线：化为标准式，
圆心，半径，
圆心距，所以两圆外离，有条公切线，故C错误；
圆：的圆心为，半径，
当与直线垂直时，取得最小值，其最小值为点到直线的距离，则，
则有，
故四边形的面积的最小值为，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，则，
则建立以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
对于：，，
，，
故异面直线与所成角的余弦值是，故A正确；
对于：将直三棱柱补成直四棱柱，
可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球，
外接球半径，
故三棱柱的外接球的表面积是，故B错误；
对于：连接，则是的中点，
点是线段的中点，
，
平面，是棱上的动点，
点到平面的距离就是点到平面的距离，
又
，故C正确；
对于：由选项C得是的中点，
则平面，平面，平面，
在中，，，且，
在平面中，建立以为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，，
过作直线的对称点，当时，

此时的值最小，且为，也就是点到轴的距离，
设，可得的中点坐标为，
直线的方程为，
即，
，解得，的最小值是，故D错误，
故选：．

13.【答案】 

解：设，
由已知，
所以，因为，，，四点共面，
所以，解得．
故答案为．

14.【答案】 

解：如图所示：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，

直线的方程为，

设，则，即，

所以，

所以．

故答案为：．

15.【答案】 

解：如图，在菱形中，取中点，
，，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，，
又，，，平面，平面，
又平面，，
故建立以为坐标原点，平行为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，
则，，，
即，，．
设平面的法向量是．
则，得
令，则；
设面的法向量是，
则由得
则令，得，则 

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是 ．故答案为 ．

16.【答案】 

解：由，解得，
由，解得，
因为点是线段的中点，所以，
即有，，，
由，解得，，
因为为线段的三等分点，所以，
即有，
即，两边平方化为，
即有，由于，
解得．
故答案为：．

17. 解：空间三点，，，
    ，，      -------------------------（2分）
    ，     -------------------------（3分）
    ，     -------------------------（4分）
    以为边的平行四边形的面积为：
    ．   ------------------（5分）
    ，且分别与垂直，
    设，则，        ----------------------- （6分）
    由分别与垂直得，    -------------- （8分）
    联立解得，，或，，，
    向量的坐标为或．     -----------------------------（10分）

18.解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，
即，      ------------------------------------------（2分）
因为点在直线与边上的中线的交点，
由，解得，，
所以顶点的坐标，   -----------------------------------（5分）

而为线段的中点，所以，即的坐标； ----------（6分）
当直线经过原点时，设直线的方程为，
将的坐标代入可得，解得，
这时直线的方程为；  -------------------------------------------（8分）
当直线 不过原点时，设直线 的方程为，
将代入可得，解得，
这时直线的方程为，-------------------------------------（11分）
综上所述：直线 的方程为 或 ．    --------------------（12分）

19.解：当直线斜率不存在时，  显然与  相切；--------------（1分）

当直线斜率存在时，可设  ，
由过点的直线与圆相切可得  ，解得  ，  --------（4分）
故  ，即  ，     ----------------------------（5分）
故过点  且与圆  相切的直线  的方程为  或  ； -------（6分）

设  ，设  中点为  ，
因为  是等腰直角三角形，
所以  ，即圆心到直线距离  ，  -------------------（9分）
解得  或，                  -----------------------------------------（10分）
故直线  或  ，
即  或  ．      -------------------------------------（12分）

20.解：（1）连接交于点，连接，

因为，所以，   ---------------------------（1分）

又，所以，所以， --------------------------（2分）

又平面，平面，

所以平面.                        ----------------------------（4分）

（2）过作，垂足为，连接，

因为，所以为的中点，

因为平面平面，平面平面，且平面，

所以平面，                 -----------------------------（5分）

因为为正三角形，为的中点，

所以.  -------------------------------------------------------------------（6分）

如图，以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，，，

则，，    -----------------------------（7分）

设平面的法向量为，

则，得，取，  -------------------（9分）

平面的法向量可取，-----------------------------------------------（10分）

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.   ---------------（12分）

21．（1）P的坐标为,

当斜率不存在时可设线为，

此时圆心到直线的距离，不符合切线要求，舍去；  -----------（1分）

当斜率不存在时可设线为，即，

此时圆心到直线的距离，即，  ------------------（3分）

可得或，过点的切线方程为或.  ------------------（5分）

（2）设，

联立，消去，可得，

化简可得：，    ----------------------------（6分）

则，即，

解得，                     -----------------------（7分）

由韦达定理可得，，     -----------------------（8分）

，------------------（10分）

又，

.   ---------------------------------（12分）

22.证明：平面，平面，
．         -------------------------（1分）
又，，、平面，
平面，       ----------------------（3分）

而平面，

平面平面．  -----（4分）
（i）解：如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，  --（5分）
设平面的一个法向量为，
则，
则，且，取，       ----------------（7分）
点到平面的距离．   ------------------------ ------（8分）

（ii）设平面的一个法向量为，则，
则，且，取，         -----------------（10分）
记直线AB与平面ADE所成角为θ，

则  ------------------------ ------（12分）