北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.4 圆与圆的位置关系测试题

第一章2.4　圆与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[2023江苏镇江扬中高级中学高二期末]已知圆C1:(x-1)2+y2=2与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为(　　)

A.x+y-1=0 B.4x-4y+1=0

C.x-y-1=0 D.x+2y-1=0

2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有(　　)

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

3.(多选题)[2023吉林梅河口市第五中学高二期末]已知圆O1:x2+y2+2x-3=0和圆O2:x2+y2+2y-1=0的交点为A,B,则(　　)

A.两圆的圆心距|O1O2|=2

B.直线AB的方程为x-y-1=0

C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|

D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+

4.若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)

A.4 B.4 C.8 D.8

5.已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的值是　　　. 

6.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为　　　　　　　　. 

7.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4,则两圆公共弦所在直线方程为　　　　,公共弦的长度为　　　　. 

8.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,判断圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系.

B级 关键能力提升练

9.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)

A.5 B.7 

C.9 D.11

10.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　)

A.x2+y2-x-=0

B.x2+y2-x+=0

C.x2+y2+x-=0

D.x2+y2+x+=0

11.与圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1都相切,且半径为3的圆的数量为(　　)

A.9 B.7 

C.5 D.3

12.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是(　　)

A. B.1 

C. D.2

13.(多选题)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有(　　)

A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0

B.2ax1+2by1=a2+b2

C.x1+x2=a

D.y1+y2=2b

14.[2023浙江丽水中学联考期末]已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-1)2+(y-1)2=10相交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

15.已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则-4x0的最大值为　　　　. 

16.[2023江苏南通高二校考期末]已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,且过点A的直线m与圆C有公共点,求直线m的斜率k的取值范围;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

C级 学科素养创新练

17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.

(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;

(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,请说明理由.

参考答案

2.4　圆与圆的位置关系

1.A　依题意可得C1(1,0),C2(-1,2),因为|C1A|=|C1B|,|C2A|=|C2B|,所以直线C1C2是线段AB的垂直平分线.所以直线C1C2的方程为,即x+y-1=0.

2.C

3.BD　由题可得圆O1:(x+1)2+y2=4和圆O2:x2+(y+1)2=2,则圆O1的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆O2的圆心坐标为(0,-1),半径为对于A,两圆的圆心距|O1O2|=,故A错误;对于B,将两圆方程相减可得x-y-1=0,即得直线AB的方程为x-y-1=0,故B正确;对于C,易知直线AB经过圆O2的圆心坐标(0,-1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆心O1到直线AB的距离为d=,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,故D正确.

4.C　∵两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标都相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,方程整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.

∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,

∴|C1C2|==8.

5.-1　6.(x-6)2+(y±4)2=36

7.x=1　2　由圆C1:x2+y2-4=0,圆C2:x2+y2-4x=0, 两个方程作差,可得x=1.即两圆公共弦所在直线方程为x=1.将x=1代入x2+y2=4,可解得y=±,则公共弦的长度为|y1-y2|=2

8.解 把圆M的方程化为标准方程为x2+(y-a)2=a2,所以M(0,a),r1=a.所以点M到直线x+y=0的距离d=,由题意可得,2+2=a2,所以a=2,所以M(0,2),r1=2.又N(1,1),r2=1,所以|MN|=,所以|r1-r2|<|MN|<r1+r2,所以两圆相交.

9.C　由题意知圆C1的圆心C1(-3,1),半径长r1=2;圆C2的圆心C2(1,-2),半径长r2=2.

因为两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆相离,从而|MN|的最大值为d+r1+r2=5+2+2=9.故选C.

10.A

11.B　由题,设圆心C(a,b),半径R=3.当圆C与两圆都外切时,有即有|CC1|=|CC2|,可得C在C1C2的垂直平分线上,即a=0,由|CC1|==4,可得b=±2,有2个圆满足;

当圆C与圆C1相外切,与圆C2相内切时,有解得即有2个圆满足;同理,当圆C与圆C2相外切,与圆C1相内切时,有2个圆满足;当圆C与两圆都内切时,有即有|CC1|=|CC2|=2,解得即有1个圆满足.综上,共有7个圆满足条件.

12.D

13.ABC　由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项AB正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC.

14.2　将两圆方程相减,即得AB的方程为x+y+2=0,则圆C1:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则(0,0)到直线AB的距离为d=,所以|AB|=2=2

15.4　5　(1)由于两圆外切,所以=r+1,所以r=4.

(2)因为点A(x0,y0)在圆C1上,所以=1,且-1≤x0≤1,所以-4x0=1-4x0.因为-1≤x0≤1,所以-4x0的最大值为5.此时x0=-1.

16.解 (1)因为圆心在直线l:y=2x-4上,也在直线y=x-1上,则由求得可得圆心C的坐标为(3,2).设过点A(0,3)的直线m的方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,由题意可得1,求得-k≤0.

(2)根据圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1,点C(a,2a-4).若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,设M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以=2,化简可得x2+(y+1)2=4.故点M在以D(0,-1)为圆心、半径为2的圆上.根据题意,点M在圆C上,故圆C和圆D有交点,所以2-1≤|CD|≤1+2,即13,得解得0≤a

17.解 (1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,两圆的圆心距为|a-1|=r,

因为两圆外切,所以r=r+9,所以r=+1.

(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),

①若该条切线斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,

②若该条切线斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),

则d==r=对任意的a都成立,,

两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,

当k=1时,直线与l1重合,当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.