新教材2023_2024学年高中数学第一章直线与圆测评北师大版选择性必修第一册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第一章直线与圆测评北师大版选择性必修第一册，共12页。

第一章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0
3.[2023重庆渝中巴蜀中学校考期末]设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为(　　)
A.± B.±2 C.±2 D.±4
4.过圆x2+y2-4x=0外一点(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线相互垂直时,m,n满足的关系式是(　　)
A.(m-2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4
C.(m-2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8
5.[2023湖北武汉第十七中学联考期末]过点M(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,且直线m:ax+3y+2a=0与l平行,则m与l间的距离是(　　)
A. B. C. D.
6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
7.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A.-1 B.
C. D.3-
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2023天津宁河芦台第一中学高二期末]已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两点,下列说法正确的是(　　)
A.圆M的圆心为(1,-2),半径为1
B.直线AB的方程为x-2y-4=0
C.线段AB的长为
D.取圆M上点C(a,b),则2a-b的最大值为4+
10.已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
11.[2021新高考Ⅱ,11]已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
12.[2023山东烟台第一中学高二期末]已知圆M:(x+1)2+y2=2(M为圆心),直线l:x-y-3=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M相切于点A,B,则下列说法正确的是(　　)
A.四边形PAMB面积的最小值为2
B.|PA|最短时,弦AB长为
C.|PA|最短时,弦AB所在直线方程为x-y-1=0
D.直线AB过定点-,-
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为　　　　. 
14.已知A(0,-1),点B在直线x-y+2=0上,若直线AB平行于直线x+2y-3=0,则B点坐标为　　　　　. 
15.已知直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0,m∈-,1与两坐标轴分别交于A,B两点.当△OAB的面积取最小值时(O为坐标原点),则m的值为　　　　　. 
16.已知圆O:x2+y2=1,过点P向圆O引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　　;若点P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.











18.(12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求点P的坐标.















19.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,若|PM|=|PO|,求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标.




































20.(12分)已知以点Ct,(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的标准方程.













21.(12分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与新桥BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.

(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?













22.(12分)如图,已知圆O:x2+y2=1,点P(t,4)为直线y=4上一点,过点P作圆O的切线,切点分别为M,N.
(1)若t=1,求切线的方程;
(2)直线MN是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由;
(3)若t>1,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON的面积为S1,三角形PAB的面积为S2,求S1·S2的最小值.










参考答案
第一章测评
1.A　由题意知<0,即<0,解得-2 2.B
3.B　设直线方程为y=x+a,圆心(0,0)到直线距离d==r=,解得a=±2.
4.C　圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径r=2.由题意,知(m-2)2+n2=8.
5.D　由题意知点M(-2,4)在圆C上,圆心坐标为C(2,1),所以kCM==-,故切线的斜率为k=.所以切线方程为y-4=(x+2),即4x-3y+20=0.因为直线l与直线m:ax+3y+2a=0平行,所以-,解得a=-4.所以直线m的方程是-4x+3y-8=0,即4x-3y+8=0.所以直线m与直线l间的距离为.
6.A
7.D　由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,
所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.
又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.
两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
8.A　如图所示,设点A关于直线x+y=4的对称点为A'(a,b),军营所在区域的圆心为O,连接A'O.
根据题意,|A'O|-1为最短距离.
又线段AA'的中点在直线x+y=4上,直线AA'的斜率为1,所以直线AA'的方程为y=x-3.
根据题意,得解得所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O|=,所以|A'O|-1=-1,
即“将军饮马”的最短总路程为-1.

9.ABD　圆M的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,则圆M的圆心为(1,-2),半径为1,故A正确;两圆方程相减可得直线AB的方程为x-2y-4=0,故B正确;圆心O到直线x-2y-4=0的距离d=,圆O的半径为2,则线段AB的长为2,故C错误;令t=2a-b,即2a-b-t=0,由M(1,-2)到直线2x-y-t=0的距离等于圆M的半径,可得=1,解得t=4±.所以2a-b的最大值为4+,故D正确.
10.CD
11.ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,
则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,
则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=<|r|,
则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.
12.ABD　A选项,四边形PAMB的面积可以看成两个直角三角形的面积之和,即S四边形PAMB=S△MPA+S△MPB,又由切线长定理可知,即S四边形PAMB=S△MPA+S△MPB=·(|PA|+|PB|)=|PA|,所以当|AP|最短时,四边形的面积最小.又|MP|与|AP|及圆M的半径R构成直角三角形,所以|MP|最短时,|AP|最短,此时|MP|=2.所以|AP|=,所以S四边形PAMB==2,故A正确.
由上述可知,MP⊥l时,|PA|最短,由等面积法可知,S四边形PAMB=|MP|·|AB|,得|AB|=,故B正确.因为MP⊥AB,MP⊥l,kl=1,所以kAB=1,可设直线AB的方程为x-y+m=0,由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知,弦心距=,所以圆心M(-1,0)到直线AB的距离d=,解得m=0(m=2,舍去),即直线AB的方程为x-y=0,故C错误.设圆上一点A为(xA,yA),B(xB,yB),P(xP,yP),所以=(xA+1,yA),=(xB+1,yB),=(xA-xP,yA-yP),易知=0⇒(xA+1)(xA-xP)+yA(yA-yP)=0⇒(xP+1)(xA+1)+yP·yA=2,同理=0⇒(xP+1)(xB+1)+yP·yB=2,所以直线AB:(x+1)(xP+1)+y·yP=2.因为yP=xP-3,所以原式=(x+1)(xP+1)+y(xP-3)=2,将-,-代入得·xP+xP+=2等号成立,故直线AB过定点-,-,D正确.
13.4　依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1,由kAC=3kBC得=3×,所以m=4.
14.(-2,0)　因为直线AB平行于直线x+2y-3=0,所以设直线AB的方程为x+2y+m=0,又点A(0,-1)在直线AB上,所以0+2×(-1)+m=0,解得m=2,所以直线AB的方程为x+2y+2=0.
联立解得
故B点坐标为(-2,0).
15.-　由题设得A,0,B0,,所以△OAB的面积S=,令1+m=t∈,则S=,所以当t=,即m=-时,S取得最小值4.
16.2x+y-1=0　　由题意,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),则以OP为直径的圆的圆心为1,,半径为r=|OP|=.
可得以OP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,
两圆的方程相减即可得直线AB的方程为2x+y-1=0.
因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆O的切线,所以OA⊥PA,OB⊥PB.
所以AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦,
可得以PO为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+,又由圆O的方程为x2+y2=1,
两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,即m(-2x+y)+4x-1=0,
可得满足上式,即直线AB过定点.
17.解 (1)由题意可知,E为线段AB的中点,
∴E(3,2),且kCE=-=1,
∴CE所在直线方程为y-2=x-3,即x-y-1=0.
(2)联立得C(4,3),∴|AC|=|BC|=2,|AB|=2,由勾股定理可得AC⊥BC,
∴S△ABC=|AC|·|BC|=2.
18.解 (1)因为直线AC的斜率为kAC==-,所以直线l的斜率为k=2.
因为AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)点A与点C关于直线l对称,又点P在线段AC垂直平分线上,所以|PA|+|PB|=|PC|+|PB|,当点P位于直线BC与l交点处时,|AP|+|BP|取最小值|BC|.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为=1,即x-2y-10=0,联立方程解得所以点P的坐标为,-.
19.解 (1)将圆C的方程化为标准方程,为(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心C(-1,2),半径r=.
①当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线的方程为y=kx,则圆心到切线的距离为,
即k2-4k-2=0,解得k=2±.
所以切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为0时,
设切线的方程为x+y-a=0,则圆心到切线的距离为,即|a-1|=2,解得a=3或-1.
所以切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上所述,所求切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)因为PM为圆C切线,所以△PMC为直角三角形.
又|PO|=|PM|,
所以|PM|2=|PO|2=|PC|2-r2.
所以=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
化简得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,即|OP|取得最小值,也就是点O到直线2x-4y+3=0的距离.
由点到直线距离公式,可得|PM|最小值为.当|PM|取最小值时,OP⊥l,所以直线OP的方程为2x+y=0,
解方程组
所以P点坐标为-.
20.(1)证明 设圆C半径为r.
∵圆C过原点O,∴r2=OC2=t2+.
设圆C的方程是(x-t)2+y-2=t2+.
令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.
∴S△OAB=|OA|×|OB|=××|2t|=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.∴直线OC的方程是y=x.
∴t,解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,
此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,
此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,
圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意,舍去.∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
21.解 (1)如图,以O为原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(170,0),A(0,60),

由题意kBC=-,直线BC方程为y=-(x-170).
又kAB=-,故直线AB方程为y=x+60,
联立两直线方程解得即B(80,120),所以|BC|==150(m).
(2)设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)得直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,圆M的半径为r=,由题意要求可得
由于0≤t≤60,因此r==136-t,
所以所以10≤t≤35,
所以当OM=10m时,r取得最大值130m,此时圆形保护区的面积最大.
22.解 (1)当切线斜率不存在时,切线方程为x=1;
当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0.
由题意,得=1,解得k=,切线方程为x-y-+4=0,即15x-8y+17=0.综上,切线方程为x=1,15x-8y+17=0.
(2)点M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上,
即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上,由圆O与圆P的方程相减得两者公共弦所在直线的方程为tx+4y-1=0,所以直线MN过定点0,.
(3)S1=2S△PMO=2×|PM|·|OM|=.
设直线PM,PN斜率分别为k1,k2,则lPM:y-4=k1(x-t),lPN:y-4=k2(x-t),
得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),所以|AB|=|k1-k2|t.
S2=S△PAB=|AB|·|t|=|k1-k2|·t2.
当t>1时,过点P的圆O的切线设为y-4=k(x-t),
即kx-y-kt+4=0,
由题意,得=1,整理,得(t2-1)k2-8tk+15=0,显然k1,k2是这个方程的两个根,
所以|k1-k2|=,
所以S2=,则S1·S2=(t>1),
记m=t2-1(m>0),y==m++17≥2+17=25,当且仅当m=,即m=4时,等号成立,即当t=时,=25.