北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程达标测试

第二章§2　双曲线

2.1　双曲线及其标准方程

A级 必备知识基础练

1.[2023河南郑州四中高二期末]已知曲线C的方程为=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(　　)

A.-1<k<5 B.k>

C.k≠-1或5 D.2<k<

2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　　)

A.-y2=1 B.=1

C.x2-=1 D.=1

3.已知双曲线=1上的点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为(　　)

A.7 B.23

C.5或25 D.7或23

4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)

A.3或7 B.6或14 C.3 D.7

5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在(　　)

A.一个椭圆上 B.一个圆上

C.一条直线上 D.双曲线的一支上

6.已知双曲线方程=1(a>0,b>0),F(c,0)为双曲线的右焦点,则的取值范围是　　　　. 

7.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.(多选题)[2023黑龙江齐齐哈尔第八中学高二期末]若方程=1表示的曲线为C,则下列说法中正确的有(　　)

A.若C为椭圆,则1<t<3

B.若C为双曲线,则t>3或t<1

C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则1<t<2

9.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　)

A.=1 

B.=1(x≥4)

C.=1 

D.=1(x≥3)

10.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,,O为坐标原点.若|PF1|=10,则|OQ|=(　　)

A.10 B.1或9 C.1 D.9

11.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为(　　)

A.1 B. C.2 D.4

12.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

13.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为　　　　. 

14.已知点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),若动点M(x,y)满足|MA|+|AC|=|MB|+|BC|,则点M的轨迹方程为　　　　　　　　. 

15.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.

(1)求线段AB的长度;

(2)求顶点C的轨迹方程.

C级 学科素养创新练

16.已知△OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点.

(1)设<m<4,求的夹角θ的正切值的取值范围;

(2)设以O为中心,F为右焦点的双曲线经过点Q,||=c,m=-1c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.

参考答案

§2　双曲线

2.1　双曲线及其标准方程

1.D　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得2<k<

2.C

3.D　设F1(-5,0),F2(5,0),F1,F2正好为双曲线的焦点,则由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以点P到点(-5,0)的距离|PF1|=7或23.

4.A

5.D　由x2+y2-8x+12=0,

得(x-4)2+y2=4,

画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,

∵圆P与圆O和圆M都外切,

∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,

则|PM|-|PO|=1<4,

∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.

6.　由c2=a2+b2,且a>0,b>0,c>0,得2=,当且仅当a=b时,等号成立.所以又2=,所以,综上所述,

7　在△ABP中,根据正弦定理得

由条件可知,c2=16+9=25,∴|AB|=2c=10,

且||PB|-|PA||=2a=8,

8.BC　对于A,若C为椭圆,则解得1<t<2或2<t<3,A错误;对于B,若C为双曲线,则(3-t)(t-1)<0,解得t<1或t>3,B正确;对于C,当t=2时,方程表示圆,所以C正确;对于D,若C为椭圆,且焦点在y轴上,则t-1>3-t>0,解得2<t<3,D错误.

9.D

10.D　由双曲线C:=1,得a=4,由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,又|PF1|=10,所以|PF2|=18或|PF2|=2(舍去).又P为双曲线C上一点,,所以Q为线段PF1的中点,则|OQ|=|PF2|=9.

11.A　不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,解得|PF1|=,|PF2|=,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,|PF1|·|PF2|=2=1.

12.C

13.(2,+∞)

14.y2-=1(y≤-1)　因为|MA|+|AC|=|MB|+|BC|,|AC|==3,|BC|==5,所以|MA|-|MB|=2<4,故点M的轨迹是以(0,2),(0,-2)为焦点的双曲线的下支.此时a=1,c=2,b2=c2-a2=3.故点M的轨迹方程为y2-=1(y≤-1).

15.解 (1)∵椭圆的方程可变形为+y2=1,∴a2=5,b2=1,c2=4.∴c=2.

∵A,B分别为椭圆+y2=1的左焦点和右焦点,

∴A(-2,0),B(2,0).∴|AB|=4.∴线段AB的长度为4.

(2)在△ABC中,根据正弦定理,得=2R(R为△ABC外接圆半径),∴sinA=,sinB=,sinC=sinB-sinA=sinC,|AC|-|BC|=|AB|=2<|AB|=4.∴顶点C的轨迹是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且|AC|-|BC|=2=2a',|AB|=4=2c'.∴a'=1,c'=2,b'2=c'2-a'2=3,

∴顶点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).

16.解 (1)由题可得

所以tanθ=

又<m<4,所以1<tanθ<4,

即tanθ的取值范围为(1,4).

(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),

所以S△OFQ=|·|y1|=2,

则y1=±

又=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=-1c2,

解得x1=c,

所以||==2,

当且仅当c=4时,取等号,此时||最小,

这时点Q的坐标为()或(,-).

因为所以

于是所求双曲线的标准方程为=1.