高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程课后测评

第二章§3　抛物线

3.1　抛物线及其标准方程

A级 必备知识基础练

1.[2023重庆沙坪坝重庆南开中学高二期末]已知抛物线x2=2py(p>0),若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3,则p=(　　)

A. B.1 C.2 D.3

2.抛物线y=-4x2的焦点坐标为(　　)

A.(0,-1) 

B.0,-

C.0,- 

D.-,0

3.已知抛物线x2=2ay的准线方程为y=4,则实数a的值为(　　)

A.8 B. 

C.-8 D.-

4.[2023江苏淮安高二统考期末]以直线y=为准线的抛物线标准方程为(　　)

A.x2=-3y B.x2=3y

C.x2=-6y D.x2=6y

5.(多选题)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中抛物线y2=10x满足的条件有(　　)

A.焦点在y轴上

B.焦点在x轴上

C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)

6.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线上一点,|AF|=x0,则x0等于(　　)

A.4 B.2 

C.1 D.8

7.已知双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则m=　　　　. 

8.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,a)到焦点的距离为5,则焦点坐标为　　　　. 

9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;

(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.

B级 关键能力提升练

10.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是(　　)

A.x+4=0 B.x-4=0

C.y2=8x D.y2=16x

11.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,则△PFO的面积为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

12.[2023北京房山高三统考期末]若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3,则p的值为(　　)

A.1 B.2 C.1或9 D.2或9

13.已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为(　　)

A.3 B.2 C.4 D.2

14.(多选题)已知抛物线的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=8x B.y2=-16x

C.y2=-8x D.y2=16x

15.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则实数p的值为　　　　. 

16.已知抛物线y2=2px(p≠0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为　　　　　. 

17.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(a,a)(a>0),F为抛物线的焦点,且|PF|=5.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)若点Q为抛物线C上一动点,点M为线段FQ的中点,求点M的轨迹方程.

C级 学科素养创新练

18.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.

参考答案

§3　抛物线

3.1　抛物线及其标准方程

1.C　根据题意可作图:

因为抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3,又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离,所以2+=3,解得p=2.

2.B

3.C　因为抛物线x2=2ay的准线方程为y=4,所以-=4,解得a=-8.故选C.

4.C　因为抛物线的准线是直线y=,则该抛物线焦点在y轴上,开口向下,其标准方程为x2=-6y,所以所求抛物线标准方程为x2=-6y.

5.BD　抛物线y2=10x的焦点在x轴上,满足选项B,不满足选项A.设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,F为其焦点,则|MF|=1+=1+6,所以不满足选项C.由于抛物线y2=10x的焦点为,0,若由原点向该过焦点的直线作垂线,垂足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=kx-,则k=-2,此时直线存在,所以满足选项D.故选BD.

6.C　7.3

8.(1,0)　由已知可得,抛物线的准线方程为x=-根据抛物线的定义可知,点M(4,a)到准线的距离等于到焦点的距离5,即4+=5,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0).

9.解 (1)双曲线方程可化为=1,左顶点为(-3,0),

由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,

∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=m+.

又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9,

故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.

10.D　依题意可知,点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,焦点坐标为(4,0),所以其方程为y2=16x.故选D.

11.B

12.C　由题知,准线为x=-且对称轴为x轴,不妨令M(m,)且m>0,则可得=5,所以p2-10p+9=(p-1)(p-9)=0,解得p=1或p=9,均满足题设.

13.A　如图,在平面直角坐标系中作出图象,过点P作准线的垂线,垂足为N.由题意可得|PM|+|PF|=|PM|+|PN|≥|MN|,显然,当P,M,N三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1,所以当P,M,N三点共线,即点N的坐标为(1,-1)时,(|PM|+|PF|)min=|MN|=3.

14.AB　由准线平行于y轴,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0).当m>0时,2p=m,所以p=,抛物线的准线方程为x=-,依题意得1--=3,所以m=8,所以抛物线的方程为y2=8x;

当m<0时,2p=-m,所以p=-,抛物线的准线方程为x=-,依题意得1+=3,所以m=8或m=-16,显然m=8>0不符合此种情况,

所以m=-16,所以抛物线的方程为y2=-16x.

15.6

16.2或-14　∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又圆(x-3)2+y2=16与x轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),

=1或-7,解得p=2或p=-14.

17.解 (1)由抛物线C经过点P(a,a),可得a2=2pa,可得a=2p,又|PF|=5,可得a+=5,解得p=2,a=4,故抛物线C的标准方程为y2=4x.

(2)由(1)知C:y2=4x,则F(1,0),设Q(x1,y1),M(x,y),因为点M为线段FQ的中点,可得由点Q为抛物线C上一动点,可得(2y)2=4(2x-1),整理可得点M的轨迹方程为y2=2x-1.

18.解 (1)设直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=

由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.

故抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-2,y2=4

故A(1,-2),B(4,4).

设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4),又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.