高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课时练习

第五章4.2　二项式系数的性质

A级 必备知识基础练

1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)

A.11 B.10 C.9 D.8

2.[2023福建漳州校考期中]若二项式x2+7的展开式中的各项系数之和为-1,则a的值为(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.[2023山西运城高二统考阶段练习](1+x+x2)(1-x)6的展开式中x4的系数是(　　)

A.-10 B.10 C.-20 D.50

4.若的二项式系数之和为128,则展开式中含的项是(　　)

A. B. C. D.

5.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　)

A.64 B.32 C.63 D.31

6.(多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(　　)

A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想:

B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:

C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+…+=2n

D.由“111=11,112=121,113=1 331”猜想:115=15 101 051

7.[2023浙江高二校联考期中]1+(1-x)5的展开式中所有项的系数和为　　　　　. 

8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:

(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;

(3)a1+a3+a5.

9.[2023江苏扬州高二阶段练习]已知+2n(n∈N*)的展开式的二项式系数和为64.

(1)求n的值;

(2)求展开式中二项式系数最大的项.

B级 关键能力提升练

10.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为(　　)

A.8 B.9 C.10 D.11

11.若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则+…+的值为(　　)

A.2 B.0 C.-1 D.-2

12.(多选题)[2023广东江门华侨中学校考期中]已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,下列结论正确的有(　　)

A.各项二项式系数和为128

B.式子a1+a2+…+a7的值为2

C.式子a1+a3+a5+a7的值为-1 094

D.式子a0+a2+a4+a6的值为1 093

13.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N*)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(　　)

A.26 B.27 C.7 D.8

14.(多选题)[2023山东聊城聊城一中校考期中]已知ax2+10(a>0)展开式的各项系数和为1 024,则下列说法正确的是(　　)

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在含x6的项

D.展开式中含x15项的系数为45

15.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是　　　　　　　　　. 

16.若(2x+)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为　　　　　. 

17.[2023福建高二福建师大附中校考期中]在①a1=35,②展开式中二项式系数最大值为7m,③+…+=32(m∈N*)条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.

已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且　　　　　. 

(1)求m的值;

(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果保留指数形式).

(注:如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分.)

18.已知函数f(n,x)=n(m>0,x>0).

(1)当m=2时,求f(7,x)的展开式中二项式系数最大的项;

(2)若f(10,x)=a0++…+,且a2=180,

①求ai;

②求ai(0≤i≤10,i∈N)的最大值.

C级 学科素养创新练

19.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:

(1)求第20行中从左到右的第4个数;

(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.

参考答案

4.2　二项式系数的性质

1.D

2.D　令x=1,得二项式x2+7的展开式中的各项系数之和为(1+a)7,所以(1+a)7=-1,解得a=-2,故选D.

3.B　(1+x+x2)(1-x)6=(1-x)6+x(1-x)6+x2(1-x)6,

由(-x)4+x(-x)3+x2(-x)2=10x4,可得x4的系数是10.故选B.

4.C

5.B　由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则=32.

6.ABC　A,B,C显然正确,115=(10+1)5,当系数超过10时,需要向前进一位,故115=161051,所以D错误.故选ABC.

7.0　令x=1有1+×(1-1)5=0,故1+(1-x)5的展开式中所有项的系数和为0.

8.解 (1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①

(2)∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.

令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35. ②

则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.

(3)由①②两式联立,得

则a1+a3+a5=(1-243)=-121.

9.解 (1)由题意+2n(n∈N*)的展开式的二项式系数和为64,即2n=64,解得n=6.

(2)因为n=6,根据展开式中间项的二项式系数最大,所以二项式系数最大的项为T4,即T4=3(2)3=160

10.B　

11.C　令x=0,则a0=1,令x=,则a0++…+=0,故+…+=-1.

12.ACD　对于选项A,二项式(1-2x)7的各项二项式系数和为27=128,故A正确;

对于选项BCD,令x=1,则(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7,即a0+a1+a2+…+a7=-1,

令x=-1,则(1+2)7=a0-a1+a2-…+a6-a7,

即a0-a1+a2-…+a6-a7=37=2187,

令x=0,则a0=1,所以a1+a2+…+a7=-2,故B错误;

由

解得a1+a3+a5+a7=-1094,a0+a2+a4+a6=1093,故C正确,D正确;故选ACD.

13.D　第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即(r=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8.

14.BD　∵展开式的各项系数之和为1024,∴令x=1,得(a+1)10=1024.∵a>0,解得a=1.

则二项式为x2+10,其展开式的通项为Tr+1=(x2)10-rr=,展开式中奇数项的二项式系数和为1024=512,故A错误;

由展开式的通项可知,项的系数与其二项式系数相同,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,故B正确;

令20-r=6,可得r=不是自然数,则展开式中不存在含x6的项,故C错误;

令20-r=15,解得r=2,所以展开式中含x15项的系数为=45,故D正确.

故选BD.

15　16.1　

17.解 (1)若选①,a1=35,根据二项式展开式的通项可得a1=16·m=7m=35,解得m=5;

若选②,展开式中二项式系数最大值为7m,由二项式系数的性质可得=7m或=7m,解得7m=35,即m=5;

若选③,+…+=32(m∈N+),由二项式系数和可得2m=32,解得m=5.

(2)(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,

令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=67,

令x=-1,可得a0-a1+a2-…-a7=-47,

相减可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,所以a1+a3+a5+a7=

18.解 (1)当m=2时,f(7,x)=1+7的展开式共有8项,二项式系数最大的项为第四项或第五项,

所以T4=3=或T5=4=

(2)①f(10,x)=10的二项式通项为Tk+1=10-kk=210-k·m2k-10x-k,

且f(10,x)=a0++…+,所以的系数为a2=28m-6=180,解得m=2,

所以f(10,x)的二项式通项为Tk+1=k=2kx-k,

所以ai=2k,当k=0时,a0=1,

令x=1,ai=310-1=59048.

②设ak=2k为ai(0≤i≤10)中的最大值,则解得k,k∈N,所以k=7,所以ai的最大值为a7=27=15360.

19.解 (1)=1140.

(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.