高中北师大版 (2019)1.2 乘法公式与事件的独立性课堂检测

第六章1.2　乘法公式与事件的独立性

A级 必备知识基础练

1.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为(　　)

A.1-a-b B.1-ab

C.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)

2.下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)

A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”

B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”

D.A表示“人能活到20岁”,B表示“人能活到50岁”

3.[2023上海普陀高二曹杨二中校考期末]某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率为,在下雨天里,刮风的概率为,则既刮风又下雨的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.若0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B).若P()=0.6,P(B|)=0.2,则P(AB)等于(　　)

A.0.12 B.0.8 C.0.32 D.0.08

5.[2023上海金山校考期中]已知P(B|A)=,P(A)=,则P(A∩B)=　　　　　. 

6.已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是　　　　　. 

7.生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:

(1)至少有1件废品的概率;

(2)恰有1件废品的概率.

B级 关键能力提升练

8.袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　)

A.A与B,A与C均相互独立

B.A与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥,A与C相互独立

9.如图,A,B,C表示三个开关,设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,那么该系统正常工作的概率是(　　)

A.0.994 B.0.686 

C.0.504 D.0.496

10.[2023广西河池高二统考期末]已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75,在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64,则感染该病毒且确诊的概率是(　　)

A.0.40 B.0.45 C.0.48 D.0.50

11.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,若现从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　)

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为

D.2个球中恰有1个红球的概率为

12.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现,上、下两学期成绩均得优的学生占5%,仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%,则(　　)

A.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.388

B.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.139

C.上、下两学期均未得优的概率约为0.782

D.上、下两学期均未得优的概率约为0.95

13.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　. 

14.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人(相互独立)来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　. 

15.现有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.

C级 学科素养创新练

16.甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:

(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

参考答案

1.2　乘法公式与事件的独立性

1.C　2.A

3.C　记事件A=“下雨”,事件B=“刮风”,AB=“刮风又下雨”,则P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=故选C.

4.D

5.0.06　因为P(B|A)=,P(A)=,

所以P(A∩B)=P(B|A)·P(A)==0.06.

6　设“从1号箱取到红球”为事件A,“从2号箱取到红球”为事件B.由题意,P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=,所以两次都取到红球的概率为

7.解 “从甲机床生产的产品中取1件是废品”记为事件A,“从乙机床生产的产品中取1件是废品”记为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.04,P(B)=0.05.

(1)设“至少有1件废品”为事件C,则P(C)=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.

(2)设“恰有1件废品”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.

8.A　标记1,2,3表示3个白球,4,5表示2个黑球,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},用古典概型概率计算公式易得P(A)=,P(B)=,P(C)=而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”,所以P(AB)==P(A)P(B),所以A与B相互独立.同理,事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”,P(AC)==P(A)P(C),所以A与C相互独立.故选A.

9.B　A,B,C表示三个开关,

在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,

设事件A表示A开关正常工作,事件B表示B开关正常工作,事件C表示C开关正常工作,

则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,

当系统正常工作时,C正常工作且A,B至少有一个正常工作,C正常工作的概率为P(C)=0.7;

A,B至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,

所以这个系统正常工作的概率为P=0.7×0.98=0.686.

故选B.

10.C　记“感染该病毒”为事件A,“确诊”为事件B,则P(A)=0.75,P(B|A)=0.64,所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.75×0.64=0.48.即感染该病毒且确诊的概率是0.48.故选C.

11.ACD　12.AC

13.0.46　14

15.解 设事件A为“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B为“取出的两瓶中另一瓶是红色”,事件C为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”,事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.

又因为P(A)=,

P(AB)=,P(AC)=,

故P(D|A)=P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=

故取出的两瓶中有一瓶是蓝色,另一瓶是红色或黑色的概率为

16.解 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”为事件Bi,

依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi相互独立.

(1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件A3,且这三次试跳相互独立,

∴P(A3)=P()P()P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.

P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88.

(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0,1,2),“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),

∵事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0,M2N1为互斥事件,则所求的概率为P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=0.7×0.3×0.42+0.720.6×0.4=0.0672+0.2352=0.3024.

∴甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.