高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值同步训练题

第六章§3　离散型随机变量的均值与方差

3.1　离散型随机变量的均值

A级 必备知识基础练

1.若离散型随机变量X的分布列如下表,则EX=(　　)

A. B. C. D.

2.[2023山西太原高二校考期中]设随机变量X服从两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,则EX=(　　)

A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

3.[2023黑龙江绥化高二校考期末]设ξ的分布列如表所示,又设η=2ξ+5,则Eη等于(　　)

A. B. C. D.

4.一射手对靶射击,直到第一次命中或子弹用完为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,则停止射击后剩余子弹数目X的均值为(　　)

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

5.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又因为X的均值EX=3,则a+b=　　　　. 

6.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击了一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分,他向乙靶射击了两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成了以上三次射击.

(1)求该射手恰好命中一次的概率;

(2)求该射手的总得分X的数学期望EX.

7.若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为,乙解出该题的概率为,设解出该题的人数为ξ,求Eξ.

B级 关键能力提升练

8.[2023黑龙江大庆东风中学校考期中]若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则E(3X+2)和D(3X+2)的值分别是(　　)

A.4和4 B.4和2

C.2和4 D.2和2

9.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则EX为(　　)

A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22

10.(多选题)已知随机变量X的分布列为

若EX=7.5,则以下结论正确的是(　　)

A.a无法确定 B.b=0.4

C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9

11.已知随机变量X的分布列如表:

若X的数学期望EX=,则ab=　　　　　. 

12.袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3只球,若用X表示取出的球的最大号码,则EX=　　　　　. 

13.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　　　,Eξ=　　　　　. 

14.甲、乙、丙三人进行竞技类比赛,每局比赛三人同时参加,有且只有一个人获胜,约定有人胜两局(不必连胜)则比赛结束,此人直接赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,丙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.

(1)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率;

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).

C级 学科素养创新练

15.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率;

(2)求X的分布列和数学期望.

参考答案

§3　离散型随机变量的均值与方差

3.1　离散型随机变量的均值

1.D　EX=0+1+2+3+4+5

2.D　由题意得P(X=1)+P(X=0)=1,又因为P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×0.7+0×0.3=0.7,故选D.

3.D　依题意可得Eξ=1+2+3+4,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2+5=故选D.

4.C

5.-　∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,∴EX=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,∴14a+6b=3.              ①

又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,

∴6a+3b=1. ②

∴由①②可知a=,b=-,∴a+b=-

6.解 (1)恰好命中一次包含射击甲靶击中,射击乙靶不中和射击甲靶不击中,射击乙靶的两次中只击中一次,

所以该射手恰好命中一次的概率P=1-2+1-

(2)依据题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

因为P(X=0)=2=,

P(X=1)=2=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=2=,

P(X=5)=2=,

所以EX=0+1+2+3+4+5

7.解 记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,ξ可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)=P()P()=,

P(ξ=1)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)

=,

P(ξ=2)=P(A)P(B)=

所以,ξ的分布列为

故Eξ=0+1+2

8.B　由于服从两点分布,P(X=0)=,P(X=1)=,因此EX=0+1,DX=0-2+1-2,所以E(3X+2)=3EX+2=4,D(3X+2)=9DX=2.故选B.

9.B

10.BCD　由分布列的性质,可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;又由EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,解得a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正确;又由E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD.

11　由题意可得解得

所以ab=

12.4.5

13　从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法,其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种,所以P(ξ=2)=,由已知可得ξ的取值有1,2,3,4,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,所以Eξ=1+2+3+4

14.解 (1)用A表示“甲在3局以内(含3局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,Ck表示“第k局丙获胜”,

则P(A)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=1-+1-

(2)依题意X的可能取值为2,3,4,

所以P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)+P(C1C2)=,

P(X=4)=P(A1B2C3)+P(A1C2B3)+P(B1A2C3)+P(B1C2A3)+P(C1A2B3)+P(C1B2A3)=6,P(X=3)=1-P(X=2)-P(X=4)=,

所以X的分布列为

所以EX=2+3+4

15.解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28(种),当X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=

(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形;X=0时,有8种情形.

所以X的分布列为

EX=(-2)+(-1)+0+1=-