北师大版 (2019)必修 第一册5 信息技术支持的函数研究随堂练习题

第四章§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究

A级 必备知识基础练

1.(多选题)有一组实验数据如表所示:

则下列所给函数模型较不适合的有(　　)

A.y=logax(a>1) 

B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0) 

D.y=logax+b(a>1)

2.(多选题)以下四种说法中,不正确的是(　　)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,xa>logax

C.对任意的x>0,ax>logax

D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax

3.[2023江西南昌高三检测]茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根据生活常识,从这三个函数模型中选择一个,模拟茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的关系,并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(　　)(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)

A.2.72分钟 

B.2.82分钟

C.2.92分钟 

D.3.02分钟

4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:

关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　. 

5.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?

B级 关键能力提升练

6.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=的大小关系是(　　)

A.h(x)<g(x)<f(x) 

B.h(x)<f(x)<g(x)

C.g(x)<h(x)<f(x) 

D.f(x)<g(x)<h(x)

7.在国家大力发展新能源汽车产业政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年年底新能源汽车保有量为1 500辆,2020年年底新能源汽车保有量为2 250辆,2021年年底新能源汽车保有量为3 375辆.

(1)根据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1),y=ax+b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2019年年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆,求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式;

(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2019年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)

C级 学科素养创新练

8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;

(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).

参考答案

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

　*§5　信息技术支持的函数研究

1.ABD　由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.

2.ABC

3.B　依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,得到解得因此20+75·()t≤60⇒()tt2.82.

4.y2　从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.

从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.

5.解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).

观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.

6.D　

在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.

7.解(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),由题意得解得所以y=1500·()x.

(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得,50000(1-r)5=50000(1-10%),解得1-r=0设从2019年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆,则有y=50000(1-r)x=50000,设从2019年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车,则有1500·()x>50000,

化简得3·()x>100,所以lg3+x(lg3-lg2)>2+(2lg3-1),解得x>8.09,故从2019年年底起经过9年后,即2028年年底该地区的新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.

8.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以解得所以该函数模型的关系式是y=(x∈N+).

(2)当x=0时,y=,所以元旦放入时凤眼莲的面积是m2.

由>10,得>10,所以x>lo10=因为5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.