北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则课后练习题

4.1　导数的加法与减法法则~4.2　导数的乘法与除法法则

A级 必备知识基础练

1.[2023江西高二校联考期中]衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.函数f(x)=3ln x的图象在(1,f(1))处的曲率为(　　)

A. B. C. D.

2.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数,又不是偶函数

3.(多选题)[2023安徽合肥工业大学附属中学联考期中]下列选项正确的是(　　)

A.y=ln 2,则y'=

B.f(x)=,则f'(3)=-

C.(x3ex)'=3x2ex+x3ex

D.'=

4.(多选题)[2023河南南阳高二统考期中]若f(x)=cos x+2xf',则(　　)

A.f'=- B.f'

C.f'=1- D.f'=1+

5.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为　　　　. 

6.求下列函数的导数:

(1)f(x)=(1+sin x)(1-4x);

(2)f(x)=-2x(x≠-1);

(3)y=x·tan x.

B级 关键能力提升练

7.设曲线f(x)=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于(　　)

A.2 B. C.- D.-2

8.(多选题)[2023广东广州花都圆玄中学校考期中]已知函数f(x)=x++2,则(　　)

A.f(x)的值域为[6,+∞)

B.直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线

C.f(x-1)图象的对称中心为(1,2)

D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根

9.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)-3f'(3)=(　　)

A.1 B.0 C.2 D.4

10.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是 (　　)

A.1 B. C. D.-

11.(多选题)[2023江苏连云港高二校考期末]关于切线,下列结论正确的是(　　)

A.过点且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x-y+2=0

B.过点(1,2)且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+1=0

C.过点(0,-1)且与曲线f(x)=xln x相切的直线l的方程为x-y+1=0

D.曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0

12.曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=　　　　　. 

13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则这个图象的序号是　　　　　,f(-1)=　　　　　. 

14.已知函数y=x2ln x.

(1)求这个函数的图象在x=1处的切线方程;

(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数图象相切,求l的方程.

15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.

C级 学科素养创新练

16.(1)若函数f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),则f'(2 021)=(　　)

A.-2 B.-1

C.0 D.1

(2)设函数y=f″(x)是y=f'(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-,则f+f+f+…+f=(　　)

A.2 021 B.

C.2 022 D.

参考答案

§4　导数的四则运算法则

4.1　导数的加法与减法法则~

4.2　导数的乘法与除法法则

1.D　因为f(x)=3lnx,所以f'(x)=,f″(x)=-,

所以f'(1)=3,f″(1)=-3,

所以K==3×1.

故选D.

2.B　f'(x)=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

令F(x)=-xsinx,x∈R,

则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),

∴f'(x)是偶函数.

3.BC　对于A,y=ln2,则y'=0,故A错误;

对于B,f(x)==x-2,则f'(x)=-,f'(3)=-,故B正确;

对于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正确;

对于D,'=,故D错误.

故选BC.

4.BC　由f(x)=cosx+2xf'可得f'(x)=-sinx+2f',

令x=,则f'=-sin+2f',

解得f'=sin,故B正确,A不正确;

所以f'(x)=-sinx+1,令x=,则f'=-sin+1=-+1,故C正确,D不正确.故选BC.

5.1　∵f'(x)=-f'sinx+cosx,

∴f'=-f'×,

解得f'=-1,

∴f(x)=(-1)cosx+sinx,∴f=1.

6.解 (1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.

(2)f(x)=-2x=1--2x,

则f'(x)=-2xln2(x≠-1).

(3)y'=(x·tanx)'='

=

=

=.

7.D　∵f(x)==1+,

∴f'(x)=-(x≠1),∴f'(3)=-.

∴-a×-=-1,即a=-2.

8.BCD　对A,当x>0时,f(x)=x++2≥2+2=4+2=6,当且仅当x=2时等号成立,当x<0时,f(x)=x++2≤-2+2=-4+2=-2,当且仅当x=-2时等号成立,故A错误;

对B,令f'(x)=1-=-3,得x=±1,当x=1时,f(1)=7,所以图象在点(1,7)处的切线方程是y-7=-3(x-1),得3x+y-10=0,当x=-1时,f(-1)=-3,所以图象在点(-1,-3)处的切线方程是y+3=-3(x+1),得3x+y+6=0,故B正确;

对C,y=x+的对称中心是(0,0),所以f(x)=x++2的对称中心是(0,2),向右平移1个单位得f(x-1),对称中心是(1,2),故C正确;

对D,f2(x)-5f(x)-14=0,解得f(x)=-2或f(x)=7,若x++2=-2,则(x+2)2=0,解得x=-2,有1个实数根,若x++2=7,解得x=1或x=4,有2个实数根,所以共有3个实数根,故D正确.故选BCD.

9.A　将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程,可得3k+2=1,解得k=-,所以f'(3)=k=-,由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,则f(3)=1,对函数g(x)=xf(x)求导可得g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)-3f'(3)=f(3)=1.故选A.

10.AB　因为点(0,0)在直线l上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为f'(x)=3x2-6x+2,则f'(0)=2,所以直线l的方程为y=2x,又直线l与y=x2+a相切,

所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,解得a=1;

当O(0,0)不是f(x)的切点时,

设切点为(x0,-3+2x0)(x0≠0),

则f'(x0)=3-6x0+2,

所以=3-6x0+2,

解得x0=,所以f'=-,

所以直线l的方程为y=-x.

由得x2+x+a=0,

由题意得Δ=-4a=0,所以a=.

综上得a=1或a=.

11.ABD　对于A,点在圆x2+y2=1上,设切线斜率为k,则×k=-1,所以k=,切线方程为y-,即x-y+2=0,A正确;

对于B,设切线斜率为k(k≠0),切线方程为y-2=k(x-1),与y2=4x联立,得y2-y+2-k=0,则Δ=1-4××(2-k)=0,解得k=1,所以切线方程为y-2=1×(x-1),即x-y+1=0,B正确;

对于C,对f(x)=xlnx求导得f'(x)=lnx+1,设切点为(x0,x0lnx0),切线斜率k=lnx0+1,则lnx0+1=,解得x0=1,切点为(1,0),斜率k=1,所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0,C错误;

对于D,对y=求导得y'=,点(-1,-3)处的切线的斜率k==5,切线方程为y+3=5×(x+1),即5x-y+2=0,D正确.故选ABD.

12.-1　由y=lnx+1求导可得y'=,则曲线y=lnx+1在(1,1)处的切线斜率为1,切线方程为y=x,

设直线y=x与曲线y=ex+a相切于点(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,

于是得解得所以a=-1.

13.③　-　∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,

∴f'(x)的图象开口向上,排除图象②④;

又a≠0,∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故f'(x)的图象的序号为③.

由图象特征可知,f'(0)=0,

∴a2-1=0,且图象的对称轴x=-a>0,

∴a=-1,∴f(x)=x3-x2+1,

则f(-1)=-.

14.解(1)令y=f(x),则f(x)=x2lnx,

函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2xlnx+x,

所以f'(1)=2ln1+1=1.

又因为f(1)=0,

所以函数在x=1处的切线方程为y=x-1.

(2)设切点为(x0,lnx0),

由(1)知,f'(x0)=2x0lnx0+x0,

又因为直线l的斜率为kl==x0lnx0,

有2x0lnx0+x0=x0lnx0,解得x0=e-1,

所以kl=x0lnx0=-e-1,

所以直线l的方程为y=-x.

15.解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.

又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x).

故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.

∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.

∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,

∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1.

∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=,c=-.

∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.

16.(1)A　(2)B　(1)令g(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2022),则f(x)=(x-2021)·g(x),f'(x)=1·g(x)+(x-2021)·g'(x),

所以f'(2021)=g(2021)=2×1×(-1)=-2.

故选A.

(2)由f(x)=2x3-3x2+9x-,可得f'(x)=6x2-6x+9,f″(x)=12x-6,令f″(x)=12x-6=0,解得x=,又因为f=2×-3×+9×,所以对称中心为,所以f+f=1,f+f=1,…,f+f=1,f.

所以f+f+f+…+f=1010×1+.故选B.