高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则测试题

第二章§5　简单复合函数的求导法则

A级 必备知识基础练

1.函数y=cos(2x+1)的导数是(　　)

A.y'=sin(2x+1)

B.y'=-2xsin(2x+1)

C.y'=-2sin(2x+1)

D.y'=2xsin(2x+1)

2.设f(x)=sin 2x,则f'=(　　)

A. B.- C.1 D.-1

3.已知某函数的导数为y'=,则这个函数可能是 (　　)

A.y=ln B.y=ln

C.y=ln(1-x) D.y=ln

4.设f(x)=ln(3x+2)-3x2,则f'(0)=(　　)

A.1 B. C.-1 D.-2

5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

6.[2023甘肃金昌永昌第一高级中学统考模拟预测]曲线y=(x2-2x)ln 2x在点(1,-ln 2)处的切线方程为　　　　　. 

7.[2023四川绵阳南山中学校考期中]f(x)=sin2(2x+3)的导函数f'(x)=　　　　　. 

8.[2023新疆乌鲁木齐第六十八中学校考阶段练习]求下列函数的导数:

(1)y=;(2)y=ln(5x+2);(3)y=.

B级 关键能力提升练

9.设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1,则x0的值为(　　)

A. B. C.1 D.

10.要得到函数f(x)=sin2x+的导函数f'(x)的图象,只需将f(x)的图象(　　)

A.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-x·f(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　)

A.a<b,b<c B.a>b,b>c

C.>1,b=c D.<1,b=c

12.设a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为(　　)

A.ln 2 B.-ln 2 C. D.-

13.(多选题)若直线y=x+b(b∈R)是曲线 y=f(x)的切线,则曲线y=f(x)可以是(　　)

A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tan x

C.f(x)=xex D.f(x)=ln

14.(多选题)设函数f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<π).若f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=(　　)

A. B.- C. D.-

15.[2023江苏南京溧水高级中学校考期中]已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex-3与g(x)=ex+2 022-2 022的公切线,则k=　　　　　. 

16.[2023北京海淀高二阶段练习]已知函数f(x)=asin x+b(ex-e-x)+1(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)的值为　　　　　. 

17.[2023广东清远阳山南阳中学阶段练习]设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a=　　　　　,b=　　　　　. 

18.[2023湖北黄冈浠水第一中学校考期中](1)已知函数f(x)=x2+2x-3ln x,求f'(x)>0的解集;

(2)设曲线y=e2ax+1在点(0,e)处的切线与直线2x-ey+1=0垂直,求a的值.

C级 学科素养创新练

19.曲线y=e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.

20.若曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线也是曲线y=eax的一条切线,则a=　　　　　. 

参考答案

§5　简单复合函数的求导法则

1.C　函数的导数y'=-sin(2x+1)(2x+1)'=-2sin(2x+1).

2.D　因为f(x)=sin2x,

所以f'(x)=(2x)'cos2x=2cos2x.

则f'=2cos2×=-1.

3.A　(ln)'=)'=,故A正确;

∵y=-ln,

∴y'=-,故B不正确;

y'=·(1-x)'=,故C不正确;

∵y=-ln(x-1),∴y'=-,故D不正确.

4.B　∵f'(x)=·(3x+2)'-6x=-6x,

∴f'(0)=.故选B.

5.B　设切点坐标是(x0,x0+1),

依题意有

由此得x0=-1,a=2.

6.x+y+ln 2-1=0　对函数y=(x2-2x)ln2x求导可得y'=(2x-2)ln2x+x-2,所以y'|x=1=-1,所求切线的斜率为k=-1,故所求切线方程为y+ln2=-(x-1),即x+y+ln2-1=0.

7.2sin(4x+6)　由题意得f'(x)=2sin(2x+3)×cos(2x+3)×2=2sin(4x+6).

8.解(1)∵y=,则y'=,故y'=.

(2)设u=5x+2,则y'=(lnu)'(5x+2)'=×5=,故y'=.

(3)∵y=,

则y'=

=

=-,

故y'=-.

9.B　由f(x)=ln(2x-1),得f'(x)=.

由f'(x0)==1,解得x0=.故选B.

10.C　∵f(x)=sin2x+,

∴f'(x)=2cos2x+=2sin+2x+=2sin2x++,

∴要得到导函数f'(x)=2sin2x++的图象,

只需将f(x)=sin2x+的图象向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变).

11.D　根据题意g(x)=e-x(ax2+bx+c),求导得g'(x)=-e-x(ax2+bx+c)+e-x(2ax+b)=-e-x[ax2-(2a-b)x+c-b],

观察g'(x)的图象可知,g'(0)=c-b=0,即b=c,

所以g'(x)的另一个零点为=2->1,即<1,

所以有<1,b=c.

12.A　对f(x)=ex+ae-x求导得

f'(x)=ex-ae-x,定义域为R,

又f'(x)是奇函数,故f'(0)=1-a=0,

解得a=1,故有f'(x)=ex-e-x,

设切点为(x0,y0),则f'(x0)=,得=2或=-(舍去),则x0=ln2.

故选A.

13.AC　因为直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,直线的斜率为,

所以y=f(x)在某点处的导数值为,

对于选项A,由f(x)=x3+2x2+8可得f'(x)=3x2+4x,令f'(x)=3x2+4x=,即6x2+8x-1=0,因为Δ=82-4×6×(-1)>0,所以f'(x)=有解,故选项A正确;

对于选项B,由f(x)=tanx可得f'(x)=,

令f'(x)=,则cos2x=2,方程无解,故选项B不正确;

对于选项C,由f(x)=xex可得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=,

即2x+2=e-x,作出y=2x+2和y=e-x的图象如图所示,

所以f'(x)=有解,故选项C正确;

对于选项D,由2x+1>0可得x>-,

所以f(x)=ln的定义域为,

由f(x)=ln可得f'(x)=-,令f'(x)=-,解得x=-,不满足x>-,

所以f'(x)=-无解,故选项D不正确.

故选AC.

14.AB　f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+π,

因为f(x)+f'(x)为偶函数,

则φ+π=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.

又-π<φ<π,所以φ=-.

15.　设直线y=kx+b与曲线f(x)相切于点P1(x1,y1),与曲线g(x)相切于点P2(x2,y2),

由于f(x)=ex-3,g(x)=ex+2022-2022,

所以f'(x)=ex-3,g'(x)=ex+2022,y1=,y2=-2022,

所以由点P1(x1,y1)在切线上,得切线方程为y-(x-x1),

由点P2(x2,y2)在切线上,得切线方程为y-+2022=(x-x2),

故

解得k=.

16.2　∵f(x)=asinx+b(ex-e-x)+1,

∴f(-x)=-asinx+b(e-x-ex)+1,f'(x)=acosx+b(ex+e-x),

∴y=asinx+b(ex-e-x)为奇函数,

∴f(x)+f(-x)=2,∴f(2022)+f(-2022)=2.

∵f'(x)=acosx+b(ex+e-x),

∴f'(-x)=acosx+b(e-x+ex),

∴f'(x)为偶函数,

∴f'(x)-f'(-x)=0,∴f'(2023)-f'(-2023)=0,

∴f(2022)+f(-2022)+f'(2023)-f'(-2023)=2.

17.1　2　函数f(x)=aexlnx+,求导得f'(x)=aex+bex-1,

因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,f(1)=b=2,所以a=1,b=2.

18.解(1)由题可得f'(x)=x+2-(x>0),

由f'(x)>0可得x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,

又因为x>0,故不等式的解集为{x|x>1}.

(2)由题可得f'(x)=2ae2ax+1,依题意f'(0)=2ae=-,解得a=-.

19.解 y'=(e2x)'·cos3x+e2x·(cos3x)'=2e2x·cos3x-3·sin3x,∴k=2.

∴在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),

即y=2x+1.

设符合题意的直线l的方程为y=2x+b,

根据题意,得,∴b=6或-4.

∴符合题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.

20.e-2　因为y=lnx,所以y'=,则y'|x=e=,

所以曲线y=lnx在点P(e,1)处的切线方程为y=x,

设y=x与y=eax相切于点(x0,),

因为(eax)'=aeax,所以

则a,a=,可得x0=e2,

从而a=e-2.