新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合测评北师大版选择性必修第二册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合测评北师大版选择性必修第二册，共12页。

第二章综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023甘肃金昌永昌第一高级中学校考期中]已知函数f(x)=ex-cos x+1(e为自然对数的底数),则f'(0)等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.e
2.已知函数y=f(x)(x∈R),其导函数为y=f'(x),有以下两个命题:
①若y=f'(x)为偶函数,则y=f(x)为奇函数;
②若y=f'(x)为周期函数,则y=f(x)也为周期函数.
那么(　　)
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①,②都是真命题
D.①,②都是假命题
3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
4.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是 (　　)
A.2 B.1
C.0 D.由a确定的
5.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为(　　)
A.-5 B.7 C.10 D.-19
6.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,给出下列结论:

①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)内单调递增.
则正确结论的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
7.[2023江西高二校联考期中]设曲线f(x)=a+2x在点(1,f(1))处的切线与直线xln 2-y+3=0平行,则实数a=(　　)
A.ln 2-2 B.-ln 2 C.-2ln 2 D.-3ln 2
8.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(2)=0,且g(x)=f(x+1),则(x+1)f(x)>0的解集为(　　)
A.(3,+∞)
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列求导运算错误的是(　　)
A.x+'=1+
B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x
D.(x2cos x)'=-2xsin x
10.设点P是曲线y=ex-x+上的任意一点,点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含区间(　　)
A.,π B.
C.0, D.0,∪,π
11.对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2) D.若f(x)1
12. 已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
A.函数f(x)的极大值点有2个
B.函数f(x)在[0,2]上单调递减
C.若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=e2x,那么f'(x)=　　　　　　. 
14.已知曲线y=sin在x=处的切线为m,则过点(2,-3)且与切线m垂直的直线方程为　　　　　. 
15.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则实数a的取值范围是　　　　. 
16.已知函数f(x)=ln x-的极小值大于0,则实数m的取值范围为　　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2023四川内江第六中学校考期中]已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln x,g(x)=x2-2bx+.
(1)当0 (2)当a=时,函数f(x)在(0,2]上的最大值为M,若存在x∈[1,2],使得g(x)≥M成立,求实数b的取值范围.






18.(12分)[2023全国新高考卷Ⅰ,19]已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+.









19.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.







































20.(12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.
(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.










21.(12分)已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点,试求实数m的值.




















22.(12分)已知函数f(x)=ex+t-x在x=1处的切线是x轴.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x≥1,f(x)-m(ln x-x+1)≥0恒成立,求实数m的取值范围.









参考答案
第二章综合测评
1.B　由已知可得f'(x)=ex+sinx,所以f'(0)=e0+sin0=1.故选B.
2.D　对①,取f(x)=sinx+1,则f'(x)=cosx为偶函数,故①为假命题;对②,取函数f(x)=x+sinx,则函数不是周期函数,但f'(x)=1+cosx是周期函数,故②为假命题.故选D.
3.D　f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
4.C　∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.
5.A　∵f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴最大值为f(-2)=2+a=2,
∴a=0,函数f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为f(-1)=a-5=-5.
6.D　由导函数y=f'(x)的图象可知,当x<-3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=-3是函数y=f(x)的极小值点,也是最小值点,故①④正确,②③错误.故选D.
7.C　由f(x)=a+2x得f'(x)=+2xln2,故f'(1)=a+2ln2,
由于点(1,f(1))处的切线与直线xln2-y+3=0平行,且直线xln2-y+3=0的斜率为ln2,所以f'(1)=a+2ln2=ln2,解得a=-2ln2,故选C.
8.A　因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,则g(-2)=g(2)=0.因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,故g(x)单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)单调递增,故当x<-2或x>2时,g(x)>0,当-20等价于(x+1)g(x-1)>0,
所以
解得x>3,所以(x+1)f(x)>0的解集为(3,+∞).
故选A.
9.ACD　x+'=1-,故A错误;(log2x)'=,故B正确;(3x)'=3xln3,故C错误;(x2cosx)'=2xcosx+x2(-sinx)=2xcosx-x2sinx,故D错误.故选ACD.
10.CD　y=ex-x+的导数为y'=ex-,由ex>0,可得切线的斜率k>-,由tanα>-,可得0≤α<<α<π,故选CD.
11.ACD　函数的导数为f'(x)=(x>0),令f'(x)=0得x=e,当00,函数单调递增,当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,则当x=e时,函数取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;
当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0,

则f(x)的大致图象如图:
由f(x)=0,得lnx=0,解得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误;
因为f(4)==f(2),f(3)>f(π)>f(4),
所以f(2) 若f(x) 则k>,设h(x)=(x>0),
则h'(x)=-,当00,当x>1时,h'(x)<0,即当x=1时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值,最大值为h(1)=1,故k>1成立,故D正确.
故选ACD.
12.AB　由f'(x)的图象可知,当-1≤x<0或20,当0 函数f(x)在[0,2]上单调递减,故B正确;

作出f(x)的大致图象如图:若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t满足0≤t≤5,即t的最大值是5,故C错误;
由y=f(x)-a=0得f(x)=a,
若f(2)≤1,当1

若1 故选AB.
13.2e2x　∵f(x)=e2x,∴f'(x)=2e2x.
14.x-y-5=0　由函数y=sin,可得y'=cos,则y'cos=-1,即切线m的斜率为k=-1,所以所求直线的斜率为1,其方程为y+3=x-2,即x-y-5=0.
15.(-2,2)　令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,f(x)的大致图象如图所示,当-2
16.-∞,-　由f(x)=lnx-,得f'(x)=(x>0).
令f'(x)=0,则x=-m,
当x>-m时,f'(x)>0,当0 f(x)在(0,-m)内单调递减,在(-m,+∞)内单调递增,
所以当x=-m时,f(x)取得极小值,所以-m>0,m<0.
f(x)极小值=f(-m)=ln(-m)+1>0,解得m<-.
综上,m的取值范围为-∞,-.
17.解(1)由题设f'(x)=ax-(a+1)+,
由01,当x变化时f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,1)
1



f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗

↘

↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),,单调递减区间为.
(2)由(1)知,当a=时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,所以M=f(1)=-,
存在x∈[1,2]使g(x)=x2-2bx+≥-,
所以解得b≤,
所以b的取值范围是.
18.(1)解f'(x)=aex-1,x∈R.
①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln=-lna.
随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表:
x
(-∞,-lna)
-lna
(-lna,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递增区间是(-lna,+∞),单调递减区间是(-∞,-lna).
综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;
当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-lna,+∞),单调递减区间是(-∞,-lna).
(2)证明当a>0时,要证f(x)>2lna+恒成立,即证f(x)min>2lna+成立.
当a>0时,由(1)知,f(x)的极小值同时也是最小值,是f(-lna),下面证明f(-lna)>2lna+.
f(-lna)=a(e-lna+a)-(-lna)=1+a2+lna.
令g(a)=f(-lna)-2lna-=a2-lna-,a∈(0,+∞),(关键点:这里构造新函数,研究新函数的单调性、最值)
则g'(a)=2a-,令g'(a)=0,得a=.
随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表:
a
0,

,+∞
g'(a)
-
0
+
g(a)
↘
极小值
↗
所以在a=时,g(a)取最小值.
g(a)min=g=-ln=-ln=ln>ln1=0.
因此f(-lna)>2lna+成立.
因此当a>0时,f(x)>2lna+.
19.解(1)∵f(x)=a2lnx-x2+ax,x>0,
∴f'(x)=-2x+a=-,x>0,
由于a>0,∴f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,结合(1)知f(x)在[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只要解得a=e.
20.解(1)Q=P·=v4-v3+15v·=v3-v2+15·400=v2+6000(0 (2)Q'=-5v,令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当00,
∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=(元).
21.解(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2=ex(x+1)+2ax+2,
由f'(-1)=0得-2a+2=0,
则a=1,f(x)=xex+x2+2x+1,
f'(x)=ex(x+1)+2x+2=(x+1)(ex+2),
由f'(x)>0,得x>-1;由f'(x)<0,得x<-1.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).
(2)函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点等价于方程xex=-x2-2x+m,即f(x)=m+1只有一个实数解.
由(1)f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调递增,故f(x)在x=-1处取极小值(最小值)-.
因为方程f(x)=m+1只有一个实数解,
所以m+1=-,解得m=--1.
22.解(1)f'(x)=ex+t-1,f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=e1+t-1,
∵f(x)在x=1处的切线是x轴,
∴k=e1+t-1=0,解得t=-1,
∴f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1,
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得x<1,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)构造函数h(x)=x-1-lnx(x≥1),则h'(x)=1-≥0,
∴函数h(x)在[1,+∞)内单调递增,则h(x)≥h(1)=0,
∴当x≥1时,x-1≥lnx.
由f(x)-m(lnx-x+1)≥0得ex-1-x-mlnx+m(x-1)≥0,即ex-1+m(x-1)≥x+mlnx=elnx+mlnx,
构造函数g(x)=ex+mx,则g(x-1)≥g(lnx).
∵x≥1,∴x-1≥0,lnx≥0,
∴函数g(x)=ex+mx在[0,+∞)内单调递增,
∴g'(x)=ex+m≥0在[0,+∞)内恒成立,
即m≥-ex在[0,+∞)内恒成立,
∴m≥-1,即实数m的取值范围为[-1,+∞).