北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解课文ppt课件

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知识点　二分法1.定义　 　　　　　　　　 此条件不可缺少对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,　　　　　　　,则每次取区间的　　　　,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 
f(a)·f(b)<0
2.用二分法求方程f(x)=0近似解的过程
其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
名师点睛二分法的步骤的记忆口诀定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断.
过关自诊1.[人教A版教材例题]借助信息技术,用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
解 原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用信息技术画出函数y=f(x)的图象如图,并列出它的对应值表.
观察图或表,可知f(1)f(2)<0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用信息技术算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5).由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以,原方程的近似解可取为1.375.
2.[人教B版教材例题]已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)内是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,因此满足条件的函数图象的示意图如图①②所示.
因此(2-a)(a+2)<0且|a|≥2,解得a<-2或a>2.
探究点一　二分法定义的理解
【例1】 (1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为(　 )A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]
解析 由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,且f(x)为R上的增函数,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
(2)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是(　　)
解析 能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧附近的函数值符号相反,由图象可得,选项A,B,D不能满足此条件,故选C.
规律方法　1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)A.f(x)=2x+3B.f(x)=ln x+2x-6C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=2x-1
解析 因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f(4)·f(3)>0,则函数零点所在的区间是(　　)A.(2,4)B.(2,3)C.(3,4)D.无法确定
解析 由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3)>0知f(2)·f(3)<0.故函数零点所在的区间是(2,3).
探究点二　用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
解 令f(x)=lg x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增(证明略),所以f(x)最多有一个零点.又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.使用二分法求解,如下表:
至此,得到区间[0.493 75,0.55],其区间长度为0.55-0.493 75=0.056 25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
规律方法　利用二分法求方程近似解的注意事项(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
变式训练2求 的近似值(精确度为0.01).
解 设x= ,则x3-2=0.令f(x)=x3-2,则函数f(x)零点的近似值就是 的近似值.以下用二分法求其零点的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01,所以 的近似值可以取1.26.
探究点三　二分法的实际应用
【例3】 现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平(无砝码),限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称?
解 先在天平左右各放4个球.有两种情况:(1)若平,则“坏球”在剩下的4个球中.取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端,①若仍平,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重;②若不平,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重.从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能.①若平,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重;②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻;③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
规律方法　二分法在实际问题中的应用二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛,在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
变式训练3在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一架天平,则应用二分法的思想,最多称　　　　　次就可以发现这枚假币. 
解析 从26枚金币中取18枚,将这18枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,①若天平不平衡,则假币一定在质量小的那9枚金币里面.从这9枚金币中拿出6枚,然后将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定在剩下的那3枚金币里;若不平衡,则假币一定在质量小的那3枚金币里面,从含有假币的3枚金币里取两枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.②若天平平衡,则假币在剩下的8枚金币里,从这8枚金币中取6枚,将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,假币在剩下的两枚里,若天平不平衡,假币在质量小的3枚里.在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右两端,即可找到假币.综上可知,最多称3次就可以发现这枚假币.
1.知识清单:(1)二分法的定义;(2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤.2.方法归纳:转化与化归、二分法.3.常见误区:二分法并不适用于求所有零点,只能用于求函数的变号零点.
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　)A.x1D.x4
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0.而x3左右两边的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相异的条件,故选C.
2.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值 与真实零点的误差最大不超过(　　) C.εD.2ε
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0, f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为　　　 　　　.(精确度为0.1) 
0.6(答案不唯一)　
解析 ∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.
4.某方程有一无理根在区间(1,3)内,若用二分法,求此根的近似值,则将D至少等分　　　　　次后,所得近似值的精确度为0.1.