贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县思源实验中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题

印江思源实验中学八年级数学月考试卷

数学试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；命题人：吴繁

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（每小题4分，共48分）

1．下列代数式中，是分式的是（）

A． B． C． D．

2．2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船发射．神舟十五号载人飞船飞行大约需要．数据0.000127用科学记数法表示为（）

A． B． C． D．

3．如果把中的与都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（）

A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的5倍

4．下列运算正确的是（）

A． B． C． D．

5．化简结果正确的是（）

A． B．1 C． D．

6．下列分式是最简分式的是（）

A． B． C． D．

7．下列计算正确的是（）

A． B． C． D．

8．分式的最简公分母是（）

A． B． C． D．

9．若，则的值为（）

A． B． C．2 D．

10．在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（）

A． B． C． D．

11．若关于的分式方程无解，则的值为（）

A．－6 B．－10 C．0或－6 D．－6或－10

12．两个分式，其中，则与的关系是（）

A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．大于

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．当______时，分式的值为零．

14．若，则______．

15．关于的方程有增根，则______．

16．甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动．甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为千米/小时，则根据题意可列方程为______．

三、解答题（共7个题，共86分）

17．（6分）计算：；

18．（6分）计算：；

19．（12分）王老师在黑板上写了一道题目，计算：．爱民同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让爱民同学回去认真检查．请你仔细阅读爱民同学的计算过程，帮助爱民同学改正错误．

（1）上述计算过程中，哪一步开始出现错误？______；（用序号表示）

（2）从①到②是否正确？______；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是______；

（3）请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当时的值．

20．（12分）解分式方程：

（1）；（2）．

21．（10分）先化简，再求值：，请在三个数中选择一个合适的整数代入求值．

22．（10分）甲乙两辆车分别从两地同时开向学校，已知地到学校的路程为300千米，地到学校的路程为250千米，甲车的速度比乙车的速度快5千米/时，结果两辆车同时到达学校，求两车的速度？

23．（16分）某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的1.5倍，设第一次购进水果的重量为千克，

（1）用含的式子表示：第一次购进水果的单价为______元/千克，第二次购进水果的重量为______千克；

（2）该水果店老板两次购进水果各多少千克？

（3）若水果店老板将两次购进的水果均按15元/千克的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出千克后将余下部分每千克降价（为正整数）元全部售出，共获利1440元，求的值．

24．（14分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是______（填写序号即可）；

（2）若为正整数，且为“和谐分式”，请写出的值；

（3）在化简时，

小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：原式，

小强：原式，

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是______：请你接着小强的方法完成化简．

参考答案：

1．C【分析】根据分式的定义，进行判断即可．

【详解】解：由题意，得：只有，分母中含有字母，是分式，故选C．

【点睛】本题考查分式的识别．熟练掌握形如中含有字母，这样的式子叫做分式，是解题的关键．

2．A  【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】．

故选：A．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．

3．D  【分析】将与都扩大为原来的5倍，代入分式进行化简后，判断即可．

【详解】解：由题意，得：，

代数式的值扩大为原来的5倍；

故选：D．

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质，正确的进行化简．

4．B【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项正确，符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

5．B  【分析】根据分式的加减法法则计算即可得出正确选项．

【详解】解：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

6．C【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．

【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意；

B．，故选项不是最简分式，不符合题意；

C．是最简分式，故选项符合题意；

D．，故选项不是最简分式，不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查了最简分式，分子和分母中除了1以外，没有其它公因式的分式叫做最简分式，熟练掌握最简分式的定义和分式的约分是解题的关键．

7．C  【分析】根据分式的乘方：把分子、分母分别乘方，从而可判断A，C，D，根据合并同类项可判断B，从而可得答案．

【详解】解：；故A不符合题意；

不是同类项，不能合并，故B不符合题意；

，故C符合题意；

，故D不符合题意；

故选C

【点睛】本题考查的是分式的乘方运算，合并同类项，熟记分式的乘方运算的运算法则是解本题的关键．

8．C  【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

【详解】解：

故最简公分母为：

故选：C

【点睛】本题考查最简公分母．将各分式分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义即可求解．

9．A【分析】根据，得到代入化简即可得到答案．

【详解】解：，，

，

故选：A．

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握化简方法是解题关键．

10．B  【分析】如果设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间＝小范跳120下所用的时间，据此可列出方程．

【详解】解：由于小季每分钟跳下，所以小群每分钟跳下．

根据题意，得．

故选：B．

【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．

11．D【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．

【详解】，

方程两边同时乘以，得

整理，得，

当或时，分式是无意义的，

故当时，，解得；

当时，，解得；

故或－10，

故选D．

【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．

12．C【分析】把化简，化成最简分式，后与比较判断即可．

【详解】因为，

故与互为相反数，

故选C．

【点睛】本题考查了分式的化简，熟练进行通分化简是解题的关键．

13．2【分析】根据使分式的值为零时，分子为零，分母不等于零进行计算即可．

【详解】解：分式的值为零，，

解得：．故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握要使分式的值为零时，分子为零，分母不等于零．

14．3【详解】．

故答案为3．

15．5  【分析】先将原方程变形为整式方程，再将代入求得的值即可．

【详解】解：

方程左右两边同时乘以得：

原方程有增根

，解得．

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查了分式方程的增根、解分式方程等知识点，正确理解分式方程的增根的概念是解题关键．

16．【分析】设乙的速度为千米/小时，则甲的速度为千米/小时，根据时间路程速度结合甲比乙提前10分钟到达目的地，即可得出关于的分式方程．

【详解】解：设乙的速度为千米/小时，则甲的速度为千米/小时，

根据题意得：

故答案为：．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

17．（1）－8   （2）

【分析】（1）根据负整指数幂、零指数幂和有理数混合运算的运算法则计算即可；

【详解】（1）解：

（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．

【详解】（1）

【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．

18．（1）①（2）否；错用去括号法则（3）

【分析】（1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误；

（2）去括号时，出现错误；

（3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可．

【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，爱民同学第①步先算的减法，∴从第①步开始出现错误；

故答案为：①；

（2）解：在去括号时，括号前面是“－”号，括号里面的每一项都要变号，爱民同学括号里的第二项没有变号，出现错误，

∴从①到②不正确，错用去括号法则；

故答案为：否，错用去括号法则；

（3）解：原式

；

，

原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．

19．（1）（2）无解

【分析】（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【详解】（1）解：，

方程变形为：，

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并，得，．

经检验，是分式方程的解．

所以原分式方程的解为．

（2），

．

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并，得，

．

经检验，不是分式方程的解．

所以原分式方程无解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决此题的关键是了解：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

20．；

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出的值，将的值代入原式即可求出答案．

【详解】解：原式

要使分式有意义，故且，

且，

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．

21．甲的速度是30千米/时，乙车的速度为25千米/时

【分析】设乙的速度是千米/时，那么甲的速度是千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．

【详解】设：乙车的速度为千米/时，甲的速度是千米/时，

解：

则甲的速度是30千米/时

答：甲的速度是30千米/时，乙车的速度为25千米/时．

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是正确的列出方程．

22．（1）（2）（3）2或3

【分析】对于（1），根据题意即可解答；

对于（2），先表示出第二次购进水果的单价，再根据第二次购进水果的单价－第一次购进水果的单价列出方程，求出解得出答案；

对于（3），根据总利润＝1440列出方程，进而得出关于和的关系式，用含有的代数式表示，再结合取值范围，得出答案即可．

【详解】（1）根据题意可知第一次购进水果的单价是元/千克，第二次购进水果的重量是；

故答案为：；

（2）根据题意，得，解得．

经检验，是原方程得解，且符合题意．

所以第一次购进水果为，第二次购进水果为；

（3）根据题意，得，

整理得，即．

，且是正整数，

当时，；

当时，．

所以的值为2或3．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和理解，根据商贩两次购进水果的质量和价格之间的等量关系列出方程是解题的关键．

23．（1）②；（2）4，5；（3）见解析．

【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；

（2）根据和谐分式的定义可以得到的值；

（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．

【详解】（1）②分式，不可约分，

分式是和谐分式，

故答案为②；

（2）分式为和谐分式，且为正整数，

（舍），；

（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，

原式

故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．

【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．