新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用8数学探究活动二探究三次函数性质课件北师大版选择性必修第二册

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第2章§8　数学探究活动(二)探究三次函数性质三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图象及性质.一、三次函数图象和性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),令Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).1.三次函数的单调性性质1:当a>0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;当a<0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.性质2:若b2-3ac>0,则f'(x)=0有两个解:当a>0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减;当a<0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增.根据a和Δ的不同情况,其图象特征分别为: 2.三次函数的极值性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值.当b2-3ac>0时,二、经典案例1.含参三次函数单调区间的求解三次函数单调区间由f'(x)>0或f'(x)<0的解集来决定,因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论.求三次函数的单调区间,就是确定二次不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集,其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.【例1】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去.若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),可得当-10,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4.(2)f(x)=-x3+3x+4,存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,则-m≤f(x)max.由(1)可得,函数f(x)在区间[-3,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,2]上单调递减.而f(-3)=22,f(1)=6,∴f(x)max=22.∴-m≤22,解得m≥-22.∴m的取值范围是[-22,+∞).规律方法　1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式的单调性问题求参数.2.通过上述案例研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法.3.上述案例均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.