北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列2 等差数列2.1 等差数列的概念及其通项公式教学演示ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　等差数列与一次函数的关系突出了首项、公差、项数的特征
名师点睛对于等差数列an=a1+(n-1)d,当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.(　　)(2)如果等差数列的通项公式为an=pn+q(其中p,q为常数),则其公差为p. (　　)(3)如果等差数列的公差d<0,则该等差数列为递减数列.(　　)
2.若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为(　　)A.p+q　　　　　　B.0C.-(p+q) D.
知识点2　等差中项如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的　　　　　　　,且A= . 
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a1,a2,a3成等差数列,则a2叫作a1和a3的等差中项.(　　)(2)若a1,a2,a3成等差数列,则a1+a3=2a2.(　　)(3)1和5的等差中项是3.(　　)
2.已知{an}是等差数列,且a3-1是a2和a5的等差中项,则{an}的公差为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.-2B.-1C.1 D.2
解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知条件,得a2+a5=2(a3-1),即a1+d+(a1+4d)=2(a1+2d-1),解得d=-2.故选A.
知识点3　等差数列的常用性质当m=1时,该公式就变为了等差数列的通项公式
名师点睛1.在等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N+),ap为am和an的等差中项.2.在等差数列{an}中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N+).3.在等差数列{an}中,
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若{an}为等差数列,且m+n=p,则am+an=ap.(　　)(2)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.(　　)(3)等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.(　　)(4)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(　　)
2.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,那么am,an,ap,aq,…也成等差数列吗?若成等差数列,公差是什么?
提示 成等差数列,若{an}的公差为d,则am,an,ap,aq,…的公差为(n-m)d.
探究点一　等差中项及其应用
【例1】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
规律方法　在等差数列{an}中,由定义有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+),即an= ,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
变式训练1若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6,所以m和n的等差中项为 =3.
探究点二　等差数列性质的应用
【例2】 已知在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.又a2a4a6=45,∴a2a6=9,∴(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N+.
变式探究在例2中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,那么,在等差数列{an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N+,是否有am+an+ap=aq+ar+as?
解 设数列{an}的公差为d,则am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,ar=a1+(r-1)d,as=a1+(s-1)d,∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d,∵m+n+p=q+r+s,∴am+an+ap=aq+ar+as.
规律方法　解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是利用通项公式,转化为关于等差数列的首项与公差的式子求解,这是通用方法;三是前面两种兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
变式训练2已知数列{an}为等差数列,若a1+a5+a9=15,则a2+a8的值为(　　)A.4B.6C.8D.10
解析 由题意得a1+a5+a9=3a5=15,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10,故选D.
探究点三　an=am+(n-m)d的应用
【例3】 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
解 设等差数列{an}的公差为d.因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.
规律方法　灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
变式训练3已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　. 
解析 ∵{bn}为等差数列,∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.∴b8=2×8-8=8.
探究点四　等差数列性质的综合应用
角度1.等差数列的设法与求解【例4】 已知三个数成递增的等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,求这三个数.
规律方法　设等差数列的三个技巧(1)对于连续三个数成等差数列,可设为…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.(2)对于连续四个数成等差数列,通常可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.(3)等差数列的通项公式可设为an=pn+q.
变式训练4三个数成等差数列,这三个数的和为6,三个数之积为-24,求这三个数.
角度2.等差数列的实际应用【例5】 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为(　　)
规律方法　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点1.解答数列实际应用问题的基本步骤:
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
变式训练5《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列,问:5人各得多少橘子.”根据这个问题,5人所得橘子个数的中位数是(　　)A.6B.8C.10D.12
解析 设5个人所得橘子数为a-6,a-3,a,a+3,a+6,∴(a-6)+(a-3)+a+(a+3)+(a+6)=60,解得a=12,∴5人所得橘子数的中位数为12.故选D.
1.知识清单:(1)等差中项的定义.(2)等差数列性质的应用.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:等差数列性质的混用、乱用.
1.在等差数列{an}中,若a4+a5+a6+a7+a8=90,则a3+a9=(　　)A.18B.30C.36D.72
解析 由已知得,5a6=90,a6=18,所以a3+a9=2a6=36.故选C.
2.设数列{an}为等差数列,若a2+a5+a8=15,则a5=　　　　　. 
解析 ∵数列{an}为等差数列,且a2+a5+a8=15,∴3a5=15,得a5=5.
3.已知四个数成递增的等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解 设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四个数成递增的等差数列,∴d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.