新教材2023_2024学年高中数学第一章数列培优课1数列的通项公式问题课件北师大版选择性必修第二册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第一章数列培优课1数列的通项公式问题课件北师大版选择性必修第二册，共23页。
第1章培优课1　数列的通项公式问题重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 重难探究·能力素养全提升探究点一　利用累加法、累乘法求数列的通项公式【例1】 (1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求数列{an}的通项公式;解 ∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).这n-1个等式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),(2)已知数列{an}满足 ,求an. 规律方法　1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.变式训练1已知在数列{an}中,a1=2,且满足an+1=an+2n+n,求数列{an}的通项公式.解 由条件知an+1-an=2n+n,∴a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,…,an-an-1=2n-1+n-1(n≥2,n∈N+),把以上(n-1)个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1),探究点二　构造等差(比)数列求通项公式【例2】 (1)在数列{an}中,a1= ,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).①证明:数列 是等差数列;②求数列{an}的通项公式.(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an. 解 由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以数列{an-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.规律方法　1.对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.2.形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步　假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第二步　由待定系数法,解得第三步　写出数列 的通项公式;第四步　写出数列{an}的通项公式.变式训练2已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明 由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1= (an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为 的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.探究点三　利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 【例3】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于(　　)A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2n-2A 解析 因为Sn=2an-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以 =2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A. 规律方法　已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤:第一步　利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;第二步　利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.变式训练3在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan= an+1(n∈N+),求数列{an}的通项公式an.成果验收·课堂达标检测123451.数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,则a9=(　　)A.1 024 B.1 023C.510 D.511D 解析 由题意可得an+1-an=2n,则a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a9-a8) =1+21+22+…+28=29-1=511.故选D.123452.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=　　　　　.  解析 ∵log2(Sn+1)=n+1,∴Sn=2n+1-1.当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.∵当n=1时,上式不满足,123453.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　　.  -63 解析 由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,S1-1=-2.当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn-1=2(Sn-1-1),所以数列{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1,则Sn=1-2×2n-1=1-2n,当n=6时,S6=-63.123454.已知在数列{an}中,a1=1,对于任意的n∈N+,都有a1a2a3…an=n2,则a10=　　　　. 12345