新教材2023_2024学年高中数学第一章数列培优课2数列的求和问题课件北师大版选择性必修第二册

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第1章培优课2　数列的求和问题重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 重难探究·能力素养全提升探究点一　分组法求和【例1】 已知在正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和.解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0),∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.(2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn,则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)规律方法　1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为 其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和.变式训练1已知在等差数列{an}中,Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+).(1)求an;解 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+),所以Sn+2-Sn=an+1+an+2=2n+3,可得an+2+an+3=2n+5,两式相减可得2d=2,所以d=1;所以an+1+an+2=an+1+an+2=2n+3,可得an=n.探究点二　裂项相消法求和【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an>0,设bn=log2(3an+3),求数列 的前n项和.解 (1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn,因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,当q=-2时,a1=-5,所以an+1=(-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1. 规律方法　把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的拆项公式:变式训练2在①Sn>0, -a3=4,②数列 的前3项和为6,③an>0且a1,a2,a4+2成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=1,　　　　　. (1)求an;(2)设 ,求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)选条件①:设等差数列{an}的公差为d,则由 -a3=4得(a1+d)2-(a1+2d)=4,将a1=1代入,解得d=2或d=-2,因为Sn>0,所以d=2,所以an=2n-1.选条件②:设等差数列{an}的公差为d,选条件③:设等差数列{an}的公差为d,则由a1,a2,a4+2成等比数列得(a1+d)2=a1(a1+3d+2),将a1=1代入得d2-d-2=0,解得d=2或d=-1,因为an>0,所以d=2,所以an=2n-1.探究点三　错位相减法求和【例3】 设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.规律方法　1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时要注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练3已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{anbn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解 (1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn>0,∴d=-10应舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1,n∈N+.(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.∴Tn=n·3n,n∈N+.成果验收·课堂达标检测12345C12345A.13 B.10 C.9 D.6 D123453.数列 的前2 021项的和为　 .  123454.若数列{an}对任意n∈N+满足:a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列 的前n项和为　　　　　. 解析 由a1+2a2+3a3+…+nan=n,得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n-1(n≥2),两式相减得nan=1,123455.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=36,a2是4a1与18的等差中项.(1)求{an}的通项公式;(2)设 ,求数列{bn}的前n项和.12345